高中数学 第1章 三角函数 1.1.1 任意角优化训练 苏教

1.1.1 任意角
5分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.按逆时针旋转所成的角叫做____________角，按顺时针方向旋转所成的角叫做_________角.如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做_______________角.
思路解析：认真阅读课本上的内容.在平面内，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转而成的角叫做正角，按顺时针方向旋转而成的角叫做负角，当射线没有旋转时，把它看成零角，旋转而生成的角——旋转角，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
答案：正 负 零
2.下列四个命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角
B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等
D.第二象限的角必大于第一象限的角 思路解析：361°的角是第一象限角，但它不是锐角，所以A 错；1°与361°的角终边相同，但它们不相等，所以C 错；91°的角是第二象限角，361°的角是第一象限角，但91°＜361°，所以D 错；最后看B ，因为锐角α满足0°＜α＜90°，α属于第一象限的角的集合{β|k ·360°＜β＜k ·360°+90°，k ∈Z ＝，故应选B.
答案：B
3.1 422°的角是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角 思路解析：1 422°=3×360°+342°，342°的角为第四象限角.
答案：D
4.与186°角终边相同的最大负角是( )
A.-186°
B.-6°
C.-174°
D.-4° 思路解析：186°=360°-174°.
答案：C
10分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.以下四个角：-398°，38°，142°，1 042°中，终边相同的角是( )
A.-398°，38°
B.-398°，142°
C.-398°，1 042°
D.142°，1 042°
思路解析：-398°=-1×360°-38°，1 042°=3×360°-38°.
答案：C
2.下列命题中正确的是( )
A.第二象限的角是钝角
B.钝角的补角是第一象限的角
C.小于90°的角是锐角
D.第一象限的角一定小于第二象限的角 思路解析：由一个角与它的外角互补，知钝角的外角必为锐角，而锐角是第一象限角. 答案：B
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=2k π，k ∈Z }
B.{α|α=k π，k ∈Z }
C.{α|α=k π+2π，k ∈Z }
D.{α|α=2
πk ，k ∈Z } 思路解析：终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为A={α|α=2k π，k ∈Z }，
终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为B={α|α=2k π+π，k ∈Z }，
故终边与x 轴重合的角的集合是C=A ∪B={α|α=k π，k ∈Z }.
同理可得，终边与y 轴重合的角的集合D={α|α=k π+
2π，k ∈Z }. 故终边与坐标轴重合的角的集合是C ∪D={α|α=
2
πk ，k ∈Z }. 答案：D
4.终边与y=3x 重合的角的集合为( ) A.{β|β=k ·360°+60°，k ∈Z } B.{β|β=k ·180°+30°，k ∈Z }
C.{β|β=k ·180°+60°，k ∈Z }
D.{β|β=k ·360°+45°，k ∈Z } 思路解析：y=3x 的图象如下图所示，可知所求角与60°角的终边或240°角的终边相同，即{β|β=k ·360°+60°，k ∈Z }∪{β|β=k ·360°+240°，k ∈Z }={β|β=2k ·180°+60°，k ∈Z }∪{β|β=（2k+1）·180°+60°，k ∈Z }={β|β=k ·180°+60°，k ∈Z }.
答案：C
5.在0°到360°范围内，与7 156°终边相同的角是_______________.
思路解析：7 156°=19×360°+316°.
答案：316°
6.命题P ：α是第二象限角；命题Q ：α是钝角.若分别以P （Q ）为条件，以Q （P ）为结论，则正确的命题是( )
A.若P 则Q
B.若Q 则P
C.若P 则Q 且若Q 则P
D.以上都不对
思路解析：α是第二象限角，即α∈{α|k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°，k ∈Z }；又α是钝角，即α∈{α|90°＜α＜180°}，所以第二象限角不一定是钝角，而钝角必是第二象限角.
答案：B
7.设A={锐角}，B={小于90°的角}，则以下正确的是( )
A.A=B
B.A ⊆B
C.A ⊇B
D.以上都不对 思路解析：A={α|0°＜α＜90°＝，B={α|α＜90°＝，故A B.
答案：B
志鸿教育乐园
爸爸睡着了
儿子不想睡觉，爸爸坐在他的床头，开始给他讲故事，一个小时过去了，房间里一片寂静。

这时妈妈打开房间：“他睡着了吗？”
“睡着了，妈妈。

”儿子小声回答。

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.(2005 全国卷Ⅲ)已知α为第三象限角，则2
α所在的象限是( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
思路解析：∵α为第三象限角，∴k ·360°-180°<α<k ·360°-90°(k ∈Z ).∴k ·180°-90°<2α<k ·180°-45°(k ∈Z ).∴2
α在第二或第四象限. 答案：D
2.如果θ=k ·360°+α，φ=n ·360°-α，k 、n ∈Z ，则角θ和φ终边的位置关系是( )
A.重合
B.关于原点中心对称
C.关于x 轴对称
D.关于y 轴对称
思路解析：φ与α终边相同，φ与-α终边相同，由α与-α角的终边关于x 轴对称，知θ和φ的终边关于x 轴对称.
答案：C
3.终边在y 轴非正半轴上的角的集合是( )
A.{α|α=k ·360°+90°，k ∈Z }
B.{α|α=k ·360°-90°，k ∈Z }
C.{α|α=k ·180°+90°，k ∈Z }
D.{α|α=k ·90°，k ∈Z }
思路解析：终边在y 轴非正半轴上的角是与270°或-90°终边相同的角，观察选项，知α=k ·360°-90°，k ∈Z .
答案：B
4.如果k ·360°+90°<α<k ·360°+180°，k ∈Z ，则2α是( )
A.第二象限或第四象限角
B.第二象限或第三象限角
C.第三象限或第四象限角
D.以上都不对
思路解析：因为k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°，k ∈Z ，
2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°，
所以2α的终边在下图的阴影部分，即2α终边可能落在第三、四象限，也可能落在y 轴的非正半轴上.故D 正确.
答案：D
5.角α和β的终边关于直线y=-x 对称，且α=30°，则β=_______________.
思路解析：如下图，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，由α=30°，得∠AOC=75°.根据对称性，∠BOC=75°，因此∠BOx=120°.所以β=k ·360°-120°，k ∈Z .
答案：k ·360°-120°，k ∈Z
6.已知角α的终边与120°角的终边相同，则在-360°到180°范围内与
3α角终边相同的角的集合是_______________.
思路解析：∵α=k ·360°+120°，k ∈Z ， ∴3α
=k ·120°+40°.
由已知-360°≤3
α
＜180°，即-360°≤k ·120°+40°＜180°，
化简得-310≤k ＜67. 又k ∈Z ，∴k=-3，-2，-1，0，1.代入3α
=k ·120°+40°即得.
答案：{-320°，-200°，-80°，40°，160°}
7.写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
解：如下图，在直角坐标系中画出直线y=x ，可以发现它与x 轴的交角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y=x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x 上的角的集合S={β|β=45°+k ·360°，k ∈Z }∪{β|β=225°+k ·360°，k ∈Z }.
S 中适合-360°≤β＜720°的元素是
45°-1×360°=-315°，
45°+0×360°=45°，
45°+1×360°=405°，
225°-1×360°=-135°，
225°+0×360°=225°，
225°+1×360°=585°.
8.已知集合A={α|α=k ·120°±30°，k ∈Z }，B={β|β=k ·60°+90°，k ∈Z }，则集合A 和B 有什么关系？
思路解析：对于此类题型，因为表示形式不一样，初学者一般认为两个集合是不同的.分析过程中一定要抓住k ∈Z ，也就是k 可以取任何整数这一条件来分析.这类题型在高考中很常见，一定要学会解决此类问题的方法.
解：设θ∈A ，则θ=k ·120°+30°或θ=k ·120°-30°，k ∈Z ，
所以θ=（2k-1）·60°+90°或θ=（2k-2）·60°+90°.
因此θ∈B ，A ⊆B.设θ∈B ，则θ=k ·60°+90°，k ∈Z .
当k=2n ，n ∈Z 时，θ=（2n ）·60°+90°=n ·120°+90°=（n+1）·120°-30°； 当k=2n-1，n ∈Z 时，θ=（2n-1）·60°+90°=n ·120°+30°.
所以θ∈A ，B ⊆A.综上可得A=B.。