H-矩阵的预条件对角占优性

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王学忠 等 H-矩阵的预条件对角占优性
我们所遇到的系数矩阵 A 不一定是严格对角占优的。H-矩阵作为实际应用中常见的一种矩阵，它不一定对角占 优，因此，对原方程组进行预条件等价变形，把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要。例如， 我们可以找两个非奇异矩阵 P 和 Q 使得 PAQ 严格对角占优，这样便把解 Ax b 的问题转化为解其同解问题
T
， Q diag r1 , r2 , , rn 0 1
其中 1 , 2 , , n 是参数， r r1 , r2 , , rn 是使得 A r 0 的正向量。 定理 1：若 A 是对角元全为 1 的 H-矩阵，假设存在一个正的向量 r r1 , r2 , , rn 使得 A r>0 让
m
2rm A r m


A r i 2 aim r
2
m
aim r
1 。
T
m
定理 2：A 是对角元全为 1 的 H-矩阵，假设存在一个正向量 r r1 , r2 , , rn ，使得 A r 0 ，如果满足条 件 0 i c ，那么， Pα A 是 H-矩阵，并且 Pα AQ 是严格对角占优矩阵，其中 1 , 2 , , n 是常数。 证明：让
j i,m

aij i aim amj rj aij rj
j i , m
j i,m


i aim amj rj
1) 当 i 1 时，

Pα A r i ri i aim ami ri aim rm i aim rm
j i ,m

aij rj i aim
j i,m

amj rj
ri | aij |rj i aim rm amj rj A r i i aim j i j i 2) 当 1 i c 时，

A r m 0

Pα A r i ri i aim ami ri aim rm i aim rm
rm
, i 1, 2, , n, m r , s, , t
那么， Pα A 是 H-矩阵，并且 Pα AQ 是严格对角占优矩阵，其中 1 , 2 , , n 是常数。 定理 3：如果 0 i
2
aim 2rm 1
aim
rm
，那么 Pα AQ 是比 AQ 对角占优性更强的矩阵。
Pα Aij aij i aim amj ,
取 r r1 , r2 ,, rn ，则
T
i, j 1, 2, , n, m r , s, , t ，

Pα A r i 1 i aim ami ri aim i aim rm ri i aim ami ri 1 i aim rm
Xuezhong Wang, Xiaomei Li
School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye Email: xuezhongwang77@ Received: Nov. 28th, 2011; revised: Dec. 27th, 2011; accepted: Dec. 30th, 2011.
T
引理 2[5]：A 是对角元全为 1 的 H-矩阵，若 A
n
1
mij ，则成立不等式 i 1, 2, , n
j 1 mij 1,
3. 主要结论
若 A 是对角元全为 1 的 H-矩阵，我们考虑如下预条件矩阵 Pα R nn 和 Q R nn ，
1a1s 1 1 2 a2t Pα I S ( ) r arm n anr
H-矩阵的预条件对角占优性
王学忠，李晓梅
河西学院，数学与统计学院，张掖 Email: xuezhongwang77@ 收稿日期：2011 年 11 月 28 日；修回日期：2011 年 12 月 27 日；录用日期：2011 年 12 月 30 日
摘 要：对于线性方程组 Ax b ，当 A 是严格对角占优矩阵时大部分迭代法都收敛。当 A 不是对角占 优矩阵时，预条件技术常被采用。本文给出了一种选取预条件矩阵 P 和 Q 的方法，把一个非对角占优 的 H-矩阵转化为严格对角占优矩阵。数值例子也说明了该方法的有效性。 关键词：迭代法；H-矩阵；预条件矩阵；对角占优性
Abstract: It is well-known that most iterative methods converge for linear system whose coefficient matrix A is strictly diagonally dominant. When A is not diagonally dominant, preconditioned techniques can be employed. This paper presents a method to establish appropriate preconditioned matrices P and Q for transforming an H-matrix which is non-diagonally dominant matrix into the diagonally dominant matrix. Numerical examples also show the effectiveness of this method. Keywords: Iterative Method; H-Matrix; Preconditioned Matrix; Diagonally Dominant Properties
j i,m

aij rj i aim
j i , m

amj rj
ri aij rj 2 aim rm i aim rm amj rj 2rm j i j i A r i 2 aim rm i aim 2rm A r m 0
1. 引言
对于给定的线性方程组
Ax b
其中 A R n n 和 b R n 已知， x R n 未知。当用迭代法求解时迭代格式为
(1)
x Gx
k
0
k 1
c, k 1, 2,
其中 G R n n 称为迭代矩阵， x R n 称为初值[1]。 A M N ，M 非奇被称为矩阵 A 的一个分裂，对 A 进行不同的分裂可得到经典的 Jacobi 迭代法， Gauss-Seidel 迭代法，SOR 0 1 迭代法，AOR 迭代法以及它们的变形。当系数矩阵 A 为严格对角占优矩 阵时，这些迭代法都收敛，而且系数矩阵的对角占优性越强时，迭代法的收敛速度越快。但是，在实际问题中
r A
可得下面的定理。
1
e 0, e 1,1, ,1 ，Q diag r
T 1
推论 1：A 是对角元全为0, e 1,1,,1 和 Q diag r ，如果
T
i
1 2
aim 2rm 1
aim
j i ,m

amj rj
ri | aij | rj 2 aim rm i aim rm amj rj 2rm j i j i 1 2 aim rm i aim 2rm 1 1
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2
证明 显然
aim 2rm 1
aim
rm
1 ，只需表明

Pα A r i A r i 1,i 1, 2, , n 即可，
1) 当 i 1 时，

Pα A r i ri i aim ami ri aim rm i aim rm ri aij rj i aim rm amj rj j i j i 1 i aim 1
Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 39-44 doi:10.4236/pm.2012.21008 Published Online January 2012 (/journal/pm)
Preconditioned Diagonally Dominant Properties of H-Matrix
T
c

aim 2rm A r m
A r i
2
aim
rm
那么 c > 1。
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王学忠 等 H-矩阵的预条件对角占优性
证明：由 A I ，及 r 0 知， r A r ，因而
c

aim
A r i 2 aim r
PAQy Pb
和
x Qy
(2) (3)
因此，找到好的 P 和 Q 便成为问题的关键，这里 P 和 Q 被称为预条件矩阵。 本文主要考虑了当系数矩阵 A 是 H-矩阵时，怎样建立适当的预条件矩阵 P 和 Q，使得 PAQ 严格对角占优。
2. 预备知识
定义 1[2,3]：设 A aij Zn n ，若 A 可以表示为 A sI B ，其中 B 0 ，则当 s B 时，称 A 为非奇异 的 M-矩阵，简称 M-矩阵，这里 () 表示矩阵的谱半径， Z nn 表示 n 阶 Z 矩阵。 定义 2[4] ： n n 矩阵 A 是 H- 矩阵，如果它的比较矩阵 A mij 是一个 M- 矩阵，这里 mii aii ，
j i,m

aij rj i aim
j i ,m

amj rj
2) 当 1 i
2
aim 2rm 1
aim
rm
时，

Pα A r i ri i aim ami ri aim rm i aim rm
j i,m

aij rj i aim
因此， Pα A 是 H-矩阵，并且 Pα AQ 是严格对角占优矩阵。 从上面的定理 2，我们可以看出，只要存在一个正向量 r r1 , r2 , , rn ，使得 0 A r i 2,i 1, 2, , n ，
T
那么结论就是成立的，但在具体的应用过程中，我们很难确定 r 数值，从而给应用带来不便，因此可考虑 r 取 特殊值来避免此不便。现对 r 取特殊值为
mij aij i j 。
定义 3[3]：设 A aij C nn ，若 A 满足
aii j i aij , i 1, 2, , n
且至少有一个 i 使上述不等式严格成立，则称 A 为弱严格对角占优矩阵；如果上述 n 个不等式都严格成立，则 称 A 为严格对角占优矩阵。 定义 4[3]：设 A aij C nn ，若存在正对角矩阵 Q，使得 AQ QA 为行(列)严格对角占优矩阵，则称 A 为 行(列)广义对角占优矩阵。 引理 1[4]：A 是 H-矩阵的充要条件是存在 r 0 使 A r 0 ，其中 r r1 , r2 , , rn 。