长沙县实验中学等多校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题(原卷版)

2025届高三第一次大联考
数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（）
A. 2
B.
C. 1
D.
2. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（）
A. B. C. D.
3. 设集合，则（）
A. B.
C. ⫋
D.
4. 的展开式中的常数项为（）
A. 45
B. 55
C. 105
D. 75
5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 已知是方程的两个实根，则（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. 若函数在上有3个零点，则的取值范围是（）
A B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正数满足，则（）
A B.
C D.
10. 已知，且，则（）
A B. C. D.
11. 已知曲线与直线分别相切于点，与直线
分别相切于点，且相交于点，则（）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定为__________.
13. 在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾驶､医疗健康､教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点
求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则______.
14. 棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最大值为
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最大值.
16已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.
17. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围.
18. 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：
交于（异于）两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的取值范围.
19. 记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设
的“最值数列”的前项和为.
（1）若，且中有3个元素，求的取值范围；
（2）若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数；
（3）若，求中能被2整除且不能被4整除的个数.。