2020届山东省济宁市嘉祥一中高三第三次质量检测数学试题(解析版)

2020届山东省济宁市嘉祥一中高三第三次质量检测数学试题
一、单选题
1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）
A ．[0,4]
B ．{0,2,4}
C ．{2,4}
D ．[2,4]
【答案】B
【解析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】
{}
{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，
故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π
表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A
【解析】计算3
1cos
sin 3322
π
ππ=+=+i e i ，得到答案. 【详解】
根据题意cos sin ix
e x i x =+，故3
1cos
sin 3322
π
ππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ）
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．l α⊥ 且l β⊥
C ．αγ⊥ 且γβ⊥
D ．α内的任何直线都与β平行
【答案】B
【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；
B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；
C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；
D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
4．已知角α的终边经过点P(0
sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=
A ．
12
B
C ．12
-
D
． 【答案】A 【解析】【详解】
由题意可得三角函数的定义可知：
22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47
α==+o o o o
，则： ()
()
sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131
cos 4713cos 60.
2
ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o
本题选择A 选项.
5．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b ＞c ＞a
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
【答案】A
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（
12）lnx ＞（1
2
）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，
∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单
位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．56
x π
=
D ．1912
x π
=
【答案】D
【解析】由三角函数的周期可得23
π
ω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其对称轴方程即可. 【详解】
解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是3π，则函数2
()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为
22
44sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++=+
⎪ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=
+∈Z ，当1k =时，1912
x π
=. 故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
7．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A
． B
C
． D
．
【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =
，则7781a a q f === 故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若
1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n n a
q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*
3,n n N ≥∈），则
数列{}n a 是等比数列.
8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A
．
B
1
C
D
1
【答案】D
【解析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲
线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2
p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：22
22y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨=
=，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，
2c ＝p ，
∴离心率e
c
a ===1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．
二、多选题
9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N δ
，()40.84P ξ<=，则
()240.16P ξ<<=．
B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．
C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，
3y =，则1a =．
D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16．
【答案】BC
【解析】根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D. 【详解】
因为随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N δ
，()40.84P ξ<=，
所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；
ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+Q ，
0.34ln 0.34z x y x =+∴=+Q ，从而40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；
y a bx =+Q 过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=Q ，即C 正确；
因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8⨯，即D 错误； 故选：BC 【点睛】
本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15
C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是1
6
D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949
【答案】BD
【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是
1
3
可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】
甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2
615C =种选法，故B 正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是21
63
=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为
3
7
，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749
⨯=，故D 正确； 故选BD . 【点睛】
本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
11．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCD
B ．若B
C DE ⊥时，直线EA 与平面ABC
D 10C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心
D ．若平面CD
E ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN 【答案】AC
【解析】推导出BC ⊥平面CDE ，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；设
CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，证明出EF ⊥平面ABCD ，找出直线EA 与平面ABCD 所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B 选项的正误；利用反证法可判断
C 选项的正误；计算出线段BM 和EN 的长度，可判断
D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD DE D =I ，所以BC ⊥平面CDE ，
BC ⊂Q 平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；
设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.
Q 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD I 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .
EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，
223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，
则6
sin 4
EF EA θ=
=
，B 项错误；
连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；
连接FN ，FN ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，
F Q 、N 分别为CD 、BD 的中点，则1
12
FN BC =
=， 又3EF
=故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=则BM EN ≠，D 项错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12．已知数列{}{},n n a b 满足
111131
2,2ln
(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n
*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.
【答案】BCD
【解析】计算得到2211ln 2a b a b -=--，A 错误，化简()1
113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，
B 正确，1
111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确，
1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，
D 正确，得到答案. 【详解】
因为111
2,2ln
n n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n
+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；
113
1
3()ln
n n n n n a b a b n ++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1
113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；
11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正
确；
因为131ln
n n n n n b b a b n
++=+++，所以1
111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确. 故选：BCD . 【点睛】
本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.
三、填空题
13．已知向量(1,1)a x =+v
，(,2)b x =v ，若满足a b v v
P ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1
【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】
∵a b r r
P ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，
1x =时，(1,2),(1,2)a b ==r r
满足题意，
2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-r r
，方向相反，不合题意，舍去．
∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．
14．6
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 【答案】60 6240x
【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【详解】
6212x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式的通项为()62612366122k
k k k k k
C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为42
6260C ⋅=；
令()66
2,6k k
k a C k N k -=⋅∈≤，令1
1n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222
n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，
解得
47
33
n ≤≤，n N ∈Q ，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=.
故答案为：60；6240x . 【点睛】
本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________． 【答案】0或6
【解析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥
得到2
d =心到直线的距离公式解得答案. 【详解】
222440x y x y ++--=，即()()2
2
129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.
AC BC ⊥，
故圆心到直线的距离为d =
即2d ==
，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

16．设函数()()f x x R ∈ 满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-,且当[0,1]x ∈时
3()f x x =,又函数()|cos()|g x x x π=,则函数()()()h x g x f x =-在13
[,]22
-上的零点
个数为___________. 【答案】6
【解析】判断函数()f x 为偶函数，周期为2，判断()g x 为偶函数，计算
(0)0,(1)1f f ==，113
(0)()()()0222
g g g g ==-==，画出函数图像，根据图像到
答案. 【详解】
()()f x f x -=知，函数()f x 为偶函数，()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称。

()(2)(2)f x f x f x =-=-，故函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0,(1)1f f ==。

()|cos()|g x x x π=为偶函数，113
(0)()()()0222
g g g g ==-==，()11g =，
当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()cos()g x x x π=，()'()cos()sin g x x x x πππ=-，函数先增后减。

当13,22x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()cos()g x x x π=-，()'()sin cos()g x x x x πππ=-，函数先增后减。

在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13
[,]22
-内图像共有6个公共点，
则函数()h x 在13
[,]22
-上的零点个数为6． 故答案为：6.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.
四、解答题
17．设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++L ，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式。

【答案】(1) 112
a q =⎧⎨
=⎩（2）1
22n n T n +=--
【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握。

（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和 解：（1） 11212124T a T a a ==⎧⎨
=+=⎩1212a a =⎧⇒⎨=⎩2q ⇒=11
2
a q =⎧∴⎨=⎩ ……4分
（2）1
2n n a -=， ……5分
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅L ……6分 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅L ……8分
两式相减：1
22n n T n +=-- ……12分
18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3cos 0A A +=.有三个条件：①1a =；②3b =
3
4
ABC S ∆=
.其中三个条件中仅有两个正确，请
选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积. 【答案】（1）1；（2）
3
. 【解析】（1）先求出角56
A π
=
，进而可得出a b >，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，
结合三角形的面积公式和余弦定理可求得c 的值；
（2）计算出BAD ∠和CAD ∠，计算出
1
2AC B D A D S S ∆∆=，可得出13
ABD ABC S S ∆∆=，进而可求得ABD ∆的面积. 【详解】
（1）因为3sin cos 0A A +=，所以3tan 10A +=，得3
tan 3
A =-， 0A π<<Q ，56
A π∴=
， A 为钝角，与13a b =<=矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然13
sin 2ABC S bc A ∆=
=
，得3bc =. 当①③正确时，
由2222cos a b c bc A =+-，得222b c +=-（无解）； 当②③正确时，由于3bc =，3b =，得1c =；
（2）如图，因为56A π=
，2
CAD π∠=，则3BAD π
∠=，
则
1
sin 1212sin 2
A AC BD
D
AB AD BAD S S AC AD CAD ∆∆⋅⋅∠==⋅⋅∠，112333341ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=.
【点睛】
本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.
【答案】(1)见详解；(2) 30o .
【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC V 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证. 【详解】
(1)证：Q //AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.
∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.
又,AB BE AB BC ⊥⊥Q .
AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.
(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥ 而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A --的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=o ，又因为60FBC ∠=o 故
60BCH ∠=o ，所以sin 603BH BC ==o .
而在ABH V 中90ABH ∠=o ,3
tan 33
AB BHA BH ∠===
，即二面角B CG A --的度数为30o .
【点睛】
很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力． 20．手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ，B ，C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望. 【答案】（1）
1681
；（2）①可能是2件；②详见解析 【解析】（1）由一件手工艺品质量为B 级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D 级的概率为7
27
，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，可知7
(10,
)7
~2B ξ，分别令
(1)1()P k P k ξξ=+==、(1)1()P k P k ξξ=+>=、(1)
1()
P k P k ξξ=+<=，可求出使得()P k ξ=最大的整数k ，进而可求出10
件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A 、B 、C 、D 级的概率，进而可列出X 的分布列，求出期望即可. 【详解】
（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为1
22311116C (1)(1)33381
⨯⨯-⨯-=.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为2
233331117C ()(1)C ()33327
⨯⨯-+⨯=， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7
(10,
)7
~2B ξ， 则1010720()C (
)()2727
k
k k
P k ξ-==，其中0,1,2,,10k =L ， 119101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()
2727
k k k k
k k P k k P k k ξξ++--=+-===+.
由70712020k k -=+得5027
k =，整数k 不存在，
由
70712020k k ->+得50
27
k <，所以当1k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+>=，即
(2)(1)(0)P P P ξξξ=>=>=，
由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327
-=，一件手工艺品质量为
B 级的概率为
16
81
， 一件手工艺品质量为C 级的概率为121
2321111120C (1)[C (1)()]3333381
⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，
一件手工艺品质量为D 级的概率为727
， 所以X 的分布列为：
则期望为81620713100()9006003001002781812727
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
21．已知圆22:4O x y +=,定点(1,0)A ,P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程
（2
）过点Q 的直线l 与C 交于,E F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线,DE DF 交于,S T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2
20y +-=. 【解析】（1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，计算得到4A P AP '+=，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2）
设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ，联立方程得到
101(2)2s y y x x =
--，202(2)2T y y x x =--
，计算
0022
y x =-，得到答案. 【详解】
（1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，则2,2OB BA OB BA =-+=， 取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，故2()42A P AP OB BA '+=+=>， 所以点P 的轨迹是以,A A '为焦点，长轴为4的椭圆，其中2,1a c ==，
曲线方程为22
143
x y +=.
（2
）设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ， 直线DE 的方程为11011(2),(2)22s y y y x y x x x =
-=---，同理2
02(2)2
T y y x x =--， 所以12
000122(2)(2)12
s T y y y y y x x x x =+=
-+---，
即0121212012121222
3()
222[3()3]
y y y y y y y x x x t y y y y -+=+=----++， 联立2222
2
2
(23),(34)(1263)9123034120x ty t t y t t y t t x y ⎧=+-⎪∴++-+-=⎨+-=⎪⎩， 所以22121291236312,t t t t y y y y --=+=
， 代入得
20202291232234291236312[33]3434
t t
y t x t t t t
t t t -⨯
+=----⨯+++003,32230x y =-∴+-=， 所以点M 都在定直线32230x y +-=上.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数2()ln 1()f x x a x a R =--∈
（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；
（2）若函数2
()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值
范围.
【答案】（1）(,0]{2}-∞⋃；（2）[0,)+∞.
【解析】（1）求导得到22()x a
f x x
-'=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算函数的单
调性，得到min ()f x f =1=1<1>三种情况，计算得到答案.
（2）计算得到2(),()x x a a
g x e e g x e x x
'''=
+-=-，讨论0a ≥，0a <两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案. 【详解】
（1）22
2()ln 1,()x a
f x x a x f x x
-'=--=，
①当0a ≤时()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意；
②当0a >时，令()0,f x x '==
函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，函数min ()f x f =。

（i 1,2a ==,min ()(1)0f x f ==所以2a =符合题意，
（ii 1,02a <<< 时(1)0f f <=， 因为1221()1110,1a
a
a
a
f e
e
e
e
--
-
-
=+-=+><，
故存在11(a
x e -∈,1()(1)0f x f ==所以02a << 不符题意
（iii 1,2a >> 时(1)0f f >=， 因为2
(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，
设11,2ln(1)1ln a t a a t t -=>---=--，
所以1
()10h t t
'=->,()h t ∴单调递增，即()(1)0,(1)0,1h t h f a a >=->->
故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0,2f x f a ==>，不符题意； 综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞⋃。

（2）2()ln ,(),()x
x x a a g x a x e ex g x e e g x e x x
'''=+-=
+-=-。

①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=， 即0a ≥符合题意；
②当0a < 时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增， 又因为(1ln())
(1)0,(ln()0ln()ln()
a a e a g a g e a a e a e a --''=<-=
-=>--，
所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得00()g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<。

即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0,0g x g a <=<，不符题意。

综上，a 的取值范围为[0,)+∞. 【点睛】
本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.。