人教备战中考数学二轮 一元二次方程 专项培优易错试卷及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的
n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0.
【解析】
【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.
【详解】
若存在n 满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324
n +-
，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-
12
，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14
(舍)， 综上所述，n=0.
2．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣12
．
3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a 的取值范围；
（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）
根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣
2
6
a
a+
，x1x2=
6
a
a+
，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
﹣
6
6
a-
是是负整数，即可得
6
6
a-
是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程
中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5
2
m%，购买数量和原计划一样：“美团”网
上的购买价格比原有价格下降了9
20
m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在
两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15
2
m%，求出m的值．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花
店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+
52m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣
920m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152
m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+
52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+
152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+ 152
m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．
答：m 的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
5．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，
（1）若x 12+x 22=6，求m 值；
（2）令T=1212
11mx mx x x +--，求T 的取值范围．
【答案】（1）2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】
【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m＜1
∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；
（1）∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，
即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6
整理，得m2﹣5m+2=0
解得m=；
∵﹣1≤m＜1
所以m=．
（2）T=+
=
=
=
=
=2﹣2m．
∵﹣1≤m＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0
即0＜T≤4且T≠2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
6．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a ﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=a ﹣2，
∵x 12x 22+4x 1+4x 2=1，
∴（a ﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
7．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.
【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x 1=
3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m -3）2-4m ×（-3）
=（m +3）2，
∵（m +3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x =
()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m
，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m =-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
8．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【答案】(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：4600022000
x
-
﹣
4600022000
1.5x
-
= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=26
3
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
9．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【解析】
【分析】
设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】
解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝2．
①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】
本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?
(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三
角形面积的计算公式，S△PBQ=1
2
BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴1
2
(6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝2 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝2
5
，x2＝2，
故经过2
5
秒或2秒后，线段PQ的长为2 cm；
(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，
S△PBQ＝1
2
×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.。