2019版浙江省初三学业水平考试数学仿真模拟试卷(四)含答案

初三学业水平考试数学仿真模拟(四)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)
1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( )
A ．(－2,3]
B ．[2,3]
C ．(2,3]
D ．(2,3)答案　C
解析　∵M ＝{x |x >2或x <－2}，∴M ∩N ＝{x |2<x ≤3}．
2．函数f (x )＝＋的定义域为( )
1－2x 1
x ＋3A ．(－∞，－3)∪(－3,0]
B ．(－∞，－3)∪(－3,1]
C ．(－3,0]
D ．(－3,1]
答案　C
解析　由Error!得Error!即x ∈(－3,0]．
3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6答案　D
解析　公差为d 的等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋
d ＝n 2＋n ＝3n 2＋2n ，所以d ＝6.故选n (n －1)
2d 2(a 1－d 2)
D.
4．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( )
A ．(－∞，－2]
B ．[－2,3]
C ．[3，＋∞)
D ．[－1,2]
答案　B
解析　不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5⇔Error!
或Error!或Error!
解得－2≤x <－1或－1≤x ≤2或2<x ≤3，
所以不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为[－2,3]，故选B.
5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝，则c 等于(
)
3A ．2 B ．2 C. D ．132答案　B 解析　由正弦定理得＝，
a sin A b
sin B 因为B ＝2A ，a ＝1，b ＝，
3所以＝.1sin A 32sin A cos A 所以cos A ＝.
3
2又0<A <π，所以A ＝，所以B ＝2A ＝.
π6π
3所以C ＝π－A －B ＝，所以△ABC 为直角三角形，
π
2由勾股定理得c ＝＝2.
12＋(3)26．已知命题p ：x ＞1，q ：＜1，则p 是q 的( )
1
x A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　x ＞1，即0＜＜1，即＜1，即p 是q 的充分条件；而＜1，即x ＞1或x ＜0，即p 不是q 的必1x 1x 1x 要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．
7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝，a n ＋1＝1－，则S 10等于( )
121an A ．4 B. C ．5 D ．6
92答案　C
解析　a 1＝，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝，所以这是一个周期为3的周期数列，且
1212a 1＋a 2＋a 3＝，a 10＝，所以S 10＝3×＋＝5.
321232128．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．π B. C. D.π2π3π6
答案　D
解析　由三视图知，该几何体为一圆锥被轴截面所截得的圆锥的一半，底面半径为1，高为1，
所以该几何体的体积V ＝××π×12×1＝.
1312π69．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( )
A ．2
B ．2 C. D ．1
33答案　B
解析　作向量＝a ，＝b ，＝c ，
OA → OB → OC →
设向量a ，b 的夹角为α，
由题意可得OA ＝OB ，
BA ＝CA ＝CB ，
可得△CAO ≌△CBO ，即有OC 垂直平分AB .设AB ＝t ，t ＝2sin ，
α
2等边△ABC 的高CH ＝t ＝sin ，
323α
2OH ＝cos ，
α
2则|c |＝CH ＋OH ＝sin ＋cos 3α2α2
＝2sin ，(α2＋π6)当＋＝，
α2π6π2
即当α＝时，|c |取得最大值2.
2π310.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为，底面边94长为.
若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )3A. B. C. D.π6π4π3π
2
答案　C
解析　因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，
所以∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成的角，
因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，
所以∠APA 1的大小等于PA 与平面ABC 所成的角的大小，所以＝×()2＝，
111A B C S 34333
4所以＝AA 1×＝AA 1＝，
111ABC A B C V －111A B C S 3349
4解得AA 1＝.
3又点P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，
所以A 1P ＝A 1D ＝××sin 60°＝1.
232
33在Rt △AA 1P 中，tan ∠APA 1＝＝，
AA 1
A 1P 3
所以∠APA 1＝，故选C.
π311．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )
A ．|a ＋b |≥4
B ．|a |≥4
C ．|a |≥2且|b |≥2
D ．b <－4
答案　D
解析　由b <－4⇒|b |>4⇒|a |＋|b |>4知，充分性成立．
由|a |＋|b |>4D /⇒b <－4知，必要性不成立．
12．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝的最大值为(
)
y x A. B ．3 C ．6 D ．9
95答案　C
解析　不等式组对应的平面区域如图(阴影部分，含边界)所示，
z 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，
则由图象可知，OA 的斜率最大，OB 的斜率最小，
由Error!解得Error!即A (1,6)，
此时OA 的斜率k ＝6，故选C.
13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[－1,0]
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
答案　D
解析　由于4x ＋4y ≥2＝2x ＋y ＋1，
4x ×4y 所以2x ＋y ＋1≤1＝20，得x ＋y ＋1≤0，
即x ＋y ≤－1.故选D.
14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( )
A ．f (0)<f (6)
B ．f (－3)>f (2)
C ．f (－1)>f (3)
D ．f (－2)<f (－3)
答案　C
解析　因为f (x )是R 上的偶函数，
所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，
又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，
所以f (6)<f (|－3|)<f (|－2|)<f (|－1|)<f (0)，
则f (－1)>f (3)，故选C.
15．已知F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若
x 2a 2y 2b 2|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.x ±y ＝0
B ．x ±y ＝022
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
答案　A
解析　由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，
则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，
解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .
在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，
所以有|PF 2|<|F 1F 2|，
所以∠PF 1F 2＝30°，
所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，
得c ＝a ，所以b ＝＝a ，
3c 2－a 22所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ＝±x ，
b
a 2即x ±y ＝0.
216．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，
AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )
①AC ∥平面BEF ；
②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；
③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案　B
解析　对于①，在图中记AC 与BD 交点(中点)为O ，
取BE 的中点为M ，连接MO ，MF ，
易证得四边形AOMF 为平行四边形，即AC ∥FM ，
又∵FM ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ，
∴AC ∥平面BEF ，故①正确；
假设②中B ，C ，E ，F 四点共面，因为BC ∥AD ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，可推出BC ∥EF ，所以AD ∥EF ，这与已知相矛盾，
故B ，C ，E ，F 四点不可能共面，所以②正确；
③在梯形ADEF 中，易得FD ⊥EF ，
又EF ⊥CF ，FD ∩CF ＝F ，
所以EF ⊥平面CDF ，即CD ⊥EF ，又CD ⊥AD ，AD ，EF 为平面ADEF 内的相交直线，所以CD ⊥平面ADEF ，
则平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以③正确；
④延长AF 至G 使得AF ＝FG ，连接BG ，EG ，易得平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN ⊥BG 于N ，又平面BCE ∩平面ABF ＝BG ，FN ⊂平面ABF ，
则FN ⊥平面BCE ，若平面BCE ⊥平面BEF ，
则过F 作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE 上，前后矛盾，故④错误．故选B.
17．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为＋＝1，双曲线C 2的方程为－＝1，C 1与C 2的离心率之
x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2
b 2积为，则C 2的渐近线方程为( )
32A ．x ±y ＝0
B.x ±y ＝022C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
答案　A
解析　椭圆C 1的离心率为，a 2－b 2
a
双曲线C 2的离心率为
，a 2＋b 2a 所以·
＝，a 2－b 2a a 2＋b 2a 32所以a 4－b 4＝a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝b ，
3
42所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝± x ，1
2即x ±y ＝0.故选A.
218．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若Error!则实数a 的最小值为( )
A ．1 B. C. D.32941625
答案　D
解析　设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x －p )(x －q )，∵Error!∴f (0)＝c ≥1，f (2.5)≥1，
∴apq ≥1，a (2.5－p )(2.5－q )≥1，
∴a 2pq (2.5－p )(2.5－q )≥1，
即a 2≥，
1
pq (2.5－p )(2.5－q )又p ·(2.5－p )·q ·(2.5－q )≤，
625
256当且仅当p ＝q ＝1.25时，等号成立．
∴a 2≥，即a ≥，a 的最小值为.256625162516
25二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．
答案　π　1
解析　f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.
20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________.
答案　1534
解析　由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，
即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×，(－
12)则AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3.故△ABC 的面积S ＝×5×3×sin 120°＝.
12153421．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若
S n ＝n 2＋n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则T n ＝________.
3212答案　(4n －1)
23解析　由题意得a 1＝S 1＝×12＋×1＝2，
3212当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝3n －1，
32123212当n ＝1时，也成立，
所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，
所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，
所以等比数列{b n }的公比为4，
T n ＝＝(4n －1)(n ∈N *)．
2(1－4n )1－423
22．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函2x －x 2数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．
答案　(1515，3
3)
解析　因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，
即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．
因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，
所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，
又因为函数f (x )为偶函数，
所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )
的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，
则由图易得|AB |＝＝，|AC |＝＝，
22－1342－115tan ∠BAx ＝＝，tan ∠CAx ＝＝，133311515
15则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，
则k 的取值范围是.(1515，3
3)
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．(10分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－，x ∈R .
33
2(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的单调递增区间；
(3)求f (x )的值域．
解　f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－33
2
＝sin x cos x ＋(2cos 2x －1)
3
2＝sin 2x ＋cos 2x
123
2＝sin .(2x ＋π3)
(1)所以函数f (x )的最小正周期T ＝＝π.
2π2(2)由2k π－≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，
π2π3π
2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z ，5π12π
12所以函数f (x )的单调递增区间为
(k ∈Z )．[k π－5π12，k π＋π12](注：或者写成单调递增区间为(k π－5π
12，k π＋π
12)(k ∈Z ))
(3)x ∈R ，－1≤sin ≤1，即f (x )∈[－1,1]．(2x ＋π
3)24．(10分)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点M 在椭圆上，且
x 2
a 2y 2
b 233满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝.
43
3(1)求椭圆的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值．
解　(1)由已知得＝，又由a 2＝b 2＋c 2，
c 2a 213可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，得椭圆方程为＋＝1.x 23c 2y 2
2c 2设点M 在第一象限，因为MF 2⊥x 轴，
可得点M 的坐标为，
(c ，233c )由|MF 1|＝
＝，解得c ＝1，4c 2＋43c 2433所以椭圆方程为＋＝1.
x 23y 2
2(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，
由Δ>0，可得3k 2－2>0，
则有x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，
12k 2＋3k 26
2＋3k 2所以|x 1－x 2|＝.
218k 2－12
3k 2＋2因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，
所以△OAB 的面积S ＝×2×|x 1－x 2|
1
2＝＝，218k 2－12
3k 2＋226×(3k 2－2)3k 2＋2令3k 2－2＝t ，由3k 2－2>0知t ∈(0，＋∞)，
所以S ＝＝2＝2≤，26t t ＋46t
t 2＋8t ＋166
t ＋16t ＋86
2
当且仅当t ＝，即t ＝4时等号成立．
16t 所以当t ＝4时，△ABO 的面积取得最大值.6
225．(11分)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．
(1)若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋bx －a 必有局部对称点；
(2)若函数f (x )＝2x ＋c 在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c 的取值范围．
(1)证明　由f (x )＝ax 2＋bx －a ，
得f (－x )＝ax 2－bx －a ，
代入f (x )＋f (－x )＝0，
得(ax 2＋bx －a )＋(ax 2－bx －a )＝0，
得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，
其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，
所以Δ＞0恒成立，
所以函数f (x )＝ax 2＋bx －a (a ，b ∈R ，a ≠0)必有局部对称点．
(2)解　方程2x ＋2－x ＋2c ＝0在区间[－1,2]上有解，于是－2c ＝2x ＋2－x .
设t ＝2x (－1≤x ≤2)，则≤t ≤4，1
2－2c ＝t ＋，其中2≤t ＋≤，1t 1t 17
4所以－≤c ≤－1.17
8即c ∈.[－17
8，－1]。