2016届高考数学课时限时检测(53)直线与圆锥曲线的位置关系

课时限时检测(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝
1的交点个数是( )
A ．至多为1
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】 B
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有
( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】 C
3．已知抛物线C 的方程为x 2
＝12y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C 没有公
共点，则实数t 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－
22∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 D
4．设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
【答案】 B
5．过椭圆x 216＋y 2
4
＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 ( )
A ．3x ＋4y －13＝0
B ．4x ＋3y －13＝0
C ．3x －4y ＋5＝0
D ．3x ＋4y ＋5＝0
【答案】 A
6．斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4
＋y 2
＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为
( )
A ．2 B.45
5 C.410
5
D.810
5
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知抛物线y 2
＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为 ．
图8－9－2
【答案】 6
8．已知双曲线x 2－y 2
3＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2
→
的最小值为 ．
【答案】 －2
9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 ．
【答案】
3
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
【解】 (1)由题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，且左焦点为F ′(－2,0)，
椭圆C 过点A (2,3)．
则|AF |＝
－
2
＋
－2
＝3，
|AF ′|＝[2－－2
＋
－2
＝5.
从而有⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
c ＝2，a ＝4.
又a 2
＝b 2
＋c 2
，∴b 2
＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝3
2x ＋t .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3
2x ＋t ，x 2
16＋y 2
12＝1，
得3x 2＋3tx ＋t 2
－12＝0.
∵直线l 与椭圆C 有公共点， ∴Δ＝(3t )2
－12(t 2
－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.
又由直线OA 与l 的距离d ＝4，得 |t |
94
＋1＝4， ∴t ＝±213.
∵±213∉[－43，43]， ∴符合题意的直线l 不存在．
11．(12分)(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 【解】 (1)如图①，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，
图①
由此得 |4－x |＝2
x －
2
＋y 2
，
化简得x 24＋y 2
3＝1，
∴动点M 的轨迹C 的方程为
x 24
＋y 2
3
＝1.
(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图②
图②
将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 2
3＝1中，有(3＋4k 2)x 2
＋24kx ＋24＝0.
其中Δ＝(24k )2
－4×24(3＋4k 2
) ＝96(2k 2
－3)>0， 由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝－24k
3＋4k
2，① x 1x 2＝
24
3＋4k
2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 2
1＝123＋4k
2， 可得⎝
⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2
，且k 2>32，
解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或3
2
.
法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图②. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 2
2
，① y 1＝
3＋y 2
2
，② 又x 214＋y 21
3
＝1，③ x 224
＋y 22
3
＝1，④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝2，y 2＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝－2，y 2＝0，
即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m 的斜率为－32或3
2
.
12．(13分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点M (1,1)，离心率e ＝6
3
，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 是圆O ：x 2
＋y 2
＝1的任意一条切线，且直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，
求证：OA →·OB →
为定值．
【解】 (1)因为e ＝c a ＝
63
，∴a 2＝3b 2
， ∴椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2
b
2＝1.
又∵椭圆C 过点M (1,1)，代入方程解得a 2＝4，b 2
＝43，
∴椭圆C 的方程为x 24＋3y 2
4
＝1
(2) ①当圆O 的切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 则圆心O 到直线l 的距离d ＝
|m |
k 2
＋1
＝1，∴1＋k 2＝m 2
将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立，得到关于x 的方程为(1＋3k 2
)x 2
＋6kmx ＋3m 2
－4＝0 设直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝－6km 1＋3k 2
，x 1x 2
＝3m 2
－41＋3k
2
∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝(1＋k 2
)·3m 2
－41＋3k 2＋km ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6km 1＋3k 2＋m 2
＝4m 2－4－4k
2
1＋3k
2
＝0， ②当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得OA →·OB →
＝0. 综合上述可得，OA →·OB →
为定值0.。