初二数学上册期末复习三教案

期末复习(第三章 一元一次方程)
A ．常考题型突破
题型一：一元一次方程的有关概念 例1：方程2x ＋3＝7的解是( D ) A ．x ＝5 B ．x ＝4 C ．x ＝3.5 D ．x ＝2
【方法归纳】判断一个数是否为某个一元一次方程的解，基本方法是利用一元一次方程的解的定义，即把这个数代入方程检验，如果这个数能使方程的两边相等，则为方程的解；否则，不是．需要注意的是，本题也可通过解一元一次方程2x ＋3＝7得到该方程的解，但遇到比较复杂的方程时，则显示出代入求解方法的优越性．
例2：若方程(2a －1)x 2－ax ＋5＝0是关于x 的一元一次方程，则a 的值为( D ) A ．0 B ．－12 C ．1 D.1
2
【方法归纳】一元一次方程必须具备四个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1；④未知数的系数不能为0.若一个方程最高次数超过1，该方程还是一元一次方程，则必有大于1次的项的系数为0.
变式训练1：已知x ＝2是关于x 的方程a(x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是4
5．
变式训练2：若关于x 的方程mx m －2－m ＋3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是( A ) A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．x ＝－3 D ．x ＝2.5 题型二：解一元一次方程 例3：解方程：x 6－30－x
4
＝5.
解：去分母，得2x －3(30－x)＝60.去括号，得2x －90＋3x ＝60.移项、合并同类项，得5x ＝150.系数化为1，得x ＝30.
【方法归纳】解一元一次方程的基本步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，但需注意的是，不是每个方程都必须按照上述步骤或顺序求解，对于某些特殊的一元一次方程，适当改变解一元一次方程的基本步骤，反而使求解过程更方便、更
简捷．
变式训练3：解方程：(1)5x ＋2＝3(x ＋2)； 解：x ＝2.
(2)14x －12＝1
2x ＋1； 解：x ＝－6.
(3)2x －12[x －12(x －1)]＝2
3(x －1)．
解：x ＝－
5
13
. 题型三：构造一元一次方程解决问题
例4：若2(a ＋3)的值与4互为相反数，则a 的值为( C ) A ．－1 B ．－72 C ．－5 D.1
2
【方法归纳】利用一元一次方程解决问题时，首先应构造出符合题意的一元一次方程，从而把求某个数的问题转化为解一元一次方程问题．
变式训练4：若2x ＋1比
x －7
2
的值大3，则x 等于( B ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3
题型四：与一元一次方程有关的新定义问题
例5：规定一种新运算“※”：a ※b ＝13a －14b ，则方程x ※2＝1※x 的解为x ＝10
7．
点拨：根据新运算规则，原式可化为：13x －14×2＝13×1－1
4x.移项、合并同类项，得
712x ＝56.系数化为1，得x ＝10
7
. 【方法归纳】利用一元一次方程解决新定义题型时，首先应认真理解新定义的内容，并根据这个新定义把原式转化为一元一次方程，由此把一个不熟悉的问题转化为一个熟悉的问题．这个转化过程在解题中起着举足轻重的作用，一旦出错，后续解题将出现南辕北辙的错误．
变式训练5：设a ，b ，c ，d 为有理数，现规定一种新的运算⎪⎪⎪a
c
⎪
⎪⎪
b d ＝ad －b
c ，则满足等式⎪⎪⎪x
22
⎪
⎪⎪x ＋1
31
＝1的x 的值为－10． 题型五：一元一次方程的应用
例6：有一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成的．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)．使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm ，第2节套管长46 cm ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.
(1)请写出第5节套管的长度；
(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm ，求x 的值．
解：(1)第5节套管的长度为：50－4×(5－1)＝34(cm)．(2)设每相邻两节套管间重叠的长度为x cm ，根据题意，得(50＋46＋42＋38＋34＋30＋26＋22＋18＋14)－9x ＝311，解得x ＝1.答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.
【方法归纳】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系直接求值；(2)根据数量关系找出关于x 的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类题目时，根据数量关系找出方程是关键．
变式训练6：世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，这两本书的标价各多少元？
解：设《汉语成语大词典》的标价为x 元，则《中华上下五千年》的标价为(150－
x)元，依题意，得50%x ＋60%(150－x)＝80，解得x ＝100，150－x ＝150－100＝50.答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
B ．考前提分训练 一、选择题
1．已知下列方程：①1x ＋2＝3x ；②2x －1＝0；③7x
9＝2x ＋3；④2x 2＋3x －1＝0；⑤x
＝1；⑥－3x ＋0.2y ＝1，其中一元一次方程的个数是( B )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2．下列变形中属于移项的是( C ) A ．由5x －7y ＝2，得－2－7y ＝5x B ．由6x －3＝x ＋4，得6x －3＝4＋x C ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8 D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9
3．方程ax －b ＝0(a ≠0)，a ，b 互为相反数，则x 等于( B ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．任意数
4．下列解方程中去分母正确的是( C ) A ．由x 3－1＝1－x
2
，得2x －1＝3－3x
B ．由x －22－3x －24＝－1，得2(x －2)－3x －2＝－4
C ．由y ＋12＝y 3－3y －1
6－y ，得3y ＋3＝2y －3y ＋1－6y
D ．由4x 5－1＝y ＋4
3
，得12x －1＝5y ＋20
5．(2017·唐山市路南区期末)某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用x 天，则下列方程正确的是( D )
A.x ＋312＋x 8＝1
B.x ＋312＋x －38
＝1
C.x 12＋x 8＝1
D.x 12＋x －38
＝1 6．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数字被墨水污染了：x ＋12－5x －■3＝－12，“■”是被污染的内容，“■”是哪个数呢？他很着急，翻开书
后面的答案，这道题的解是x ＝2，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a ，b ，c 对应的密文a ＋1，2b ＋4，3c ＋9.例如明文1，2，3对应的密文2，8，18.如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为( B )
A ．4，5，6
B ．6，7，2
C ．2，6，7
D ．7，2，6
8．某中学学生郊游，学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4 500 m ，一列火车以120 km/h 的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60 s ，如果队伍长500 m ，那么火车长为( B )
A ．2 075 m
B ．1 575 m
C ．2 000 m
D ．1 500 m 二、填空题
9．已知方程(a －2)x |a|－1＋4＝0是关于x 的一元一次方程，则a 的值为－2． 10．若a 3＋1与2a －73互为相反数，则a ＝43．
11．一列方程如下排列： x 4＋x －12＝1的解是x ＝2， x 6＋x －22
＝1的解是x ＝3，
x 8＋x －32＝1的解是x ＝4， ……
根据观察得到的规律，写出其中解是x ＝2 018的方程：
x 4 036＋x －2 017
2
＝1． 12．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为100元．
13．一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，则原数为28．
14．若规定a ※b ＝a
3
－2b ，则当3※x ＝1时，x 的值为0．
15．某蔬菜超市以2元/千克的单价新进了10 000千克白菜，为了合理定出销售价格，蔬菜门市部需将运输中损坏的蔬菜成本折算到没有损坏的蔬菜售价中．销售人员从白菜中随机抽取若干白菜统计白菜损坏情况，结果如下表，则白菜损坏的百分比约为11%(精确到1%)．如果超市希望全部售完这批白菜能够获得5 000元利润，那么在出售白菜时，每千克大约定价2.8元(精确到0.1)．
16.为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下：
如果小明某次租赁自行车3小时，缴费6元，请判断小明该次租赁自行车所在地区的类别是B 类(填“A 、B 、C ”中的一个)．
三、解答题
17．解方程：(1)34x －0.1＝1
2
x ＋0.35；
解：x ＝1.8.
(2)x 2－5x ＋116＝1＋2x －43. 解：x ＝－32
.
18．若x ＝－3是关于x 的方程ax ＋4＝20＋a 的解，试解关于y 的方程ay ＋6＝a －2y.
解：将x ＝－3代入方程ax ＋4＝20＋a 中，得－3a ＋4＝20＋a ，解得a ＝－4.将a ＝－4代入方程ay ＋6＝a －2y 中，得－4y ＋6＝－4－2y ，解得y ＝5.
19．阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程：||x ＋3＝2.
【答案】①若x ＋3≥0，原方程可化为一元一次方程：x ＋3＝2，解得x ＝－1；②若x ＋3<0，原方程可化为一元一次方程：－(x ＋3)＝2，解得x ＝－5.
所以原方程的解是x ＝－1或x ＝－5. (1)解方程：||3x －2－4＝0；
(2)若方程||x －5＝2的解也是方程4x ＋m ＝5x ＋1的解，求m 的值．
解：(1)①若3x －2≥0，原方程可以化为一元一次方程： 3x －2－4＝0，解得x ＝2；②若3x －2<0，原方程可以化为一元一次方程：－(3x －2)－4＝0，解得x ＝－2
3.所以原
方程的解是x ＝2或x ＝－2
3.(2)①若x －5≥0，原方程可以化为一元一次方程：x －5＝2，
解得x ＝7；②若x －5<0，原方程可以化为一元一次方程：－(x －5)＝2，解得x ＝3.所以原方程的解为x ＝7或x ＝3.当x ＝7时，方程4x ＋m ＝5x ＋1变为28＋m ＝35＋1，解得m ＝8；当x ＝3时，方程4x ＋m ＝5x ＋1变为12＋m ＝15＋1，解得m ＝4.所以m 的值为8或4.
20．如图，是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到以下的资料：“两层300格(自然分成的块)，每格11.4厘米×11厘米(长和宽)．我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为2.3厘米和5.8厘米，则每层卫生纸的厚度约多少厘米？(精确到0.001)
解：设每层卫生纸的厚度为x厘米，则11×11.4×300×2x＝11×π×(5.82－2.32)，解得x≈0.013.所以每层卫生纸的厚度约为0.013厘米．
21．(2018·山西模拟)为有效治理污染，改善生态环境，山西太原成为国内首个实现纯电动出租车的城市，绿色环保的电动出租车受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大的方便，下表是行驶路程在15公里以内时普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：
张先生每天从家打出租车去单位上班(路程在15公里以内)，结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每公里节省0.8元，求张先生家到单位的路程．解：设张先生家到单位的路程是x千米，依题意，得13＋2.3(x－3)＝8＋2(x－3)＋0.8x，解得x＝8.2，答：张先生家到单位的路程是8.2千米．
22．某商场A型冰箱的售价是2 190元，耗电量为1千瓦·时/天，最近商场又进了一批B型冰箱，其售价比A型冰箱高出10%，但耗电量却为0.55千瓦·时/天，为了减少库存，商场决定对A型冰箱降价销售，请解答下列问题：
(1)已知A型冰箱的进价为1 700元，为保证商场利润率不低于3%，试确定A型冰箱的降价范围；
(2)如果只考虑价格与耗电量，那么商场将A型冰箱的售价打几折时，消费者购买两种冰箱才一样合算？(两种使用期均为10年，每年365天，每千瓦·时电费按0.4元计算)
解：(1)设商场将A型冰箱降价x元时，利润率为3%，根据题意，得2 190－x－1 700
1 700
＝3%，解得x＝439.答：商场将A型冰箱降价不超过439元时，可以保证利润率不低于
3%.(2)设商场将A型冰箱的售价打y折时，消费者购买两种冰箱才一样合算，根据题意，
得2 190×
y
10
＋0.4×10×365×1＝2 190×(1＋10%)＋0.4×10×365×0.55，解得y＝8.
答：商场将A型冰箱的售价打8折时，消费者购买两种冰箱才一样合算．。