01背包问题拉格朗日求解附程序

• 极小化L(x, λ)得P问题的拉格朗日松弛问题：
d ( ) min L( x, )
x X
• d(λ)为对偶函数，拉格朗日对偶问题(D)：
max d ( ) m
R
外逼近法求解
求解(D)问题的外逼近法步骤
步骤1： v1 -
c
i 1
n
i
s1 bi B v2 0
0
0.5
1 n
2
1.5
2
2.5 x 10
5
Further Work
• 关于λ的更多启发式计算
0 -1000 -2000
r
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
原问题最优值： -3000 Value_optP=5918
-4000
物品价值
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
物品总大小： -6000 998 -7000 λ=2.7429 算法运行时间： -8000 -9000 106.947516seconds.
物品价值
拉格朗日松弛解背包问题 0 对偶解 原问题
2.5
-500
-1000
2
1.5
物品总大小： -2000 997 λ=1.4286 -2500 算法运行时间： 4.310928 seconds. -3000
-3500 1 2 3 4
-1500
r
1
0.5
0
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
5 6 迭代次数
-7000 1 2 3 4 5
物品价值
-3000
r
1
2
3
4
5
6 7 迭代次数
8
9
10
11
对偶解 原问题 6 7 迭代次数 8 9 10 11
实验与分析
• n=400
拉格朗日松弛解背包问题 0 -1000 对偶解 原问题
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
原问题最优值： -2000 Value_optP=4869
n n
则λ是D的最优解，停止。否则，执行步骤4。 步骤4：如果 s3 0 ，则令 v1 v3 s1 s3 ，转步骤2；（可行化判断） 如果 s3 0 ，则令 v2 v3 s2 s3 ，转步骤2。
等价最短路问题
…………..
1
n
1
2
3
4
…………..
0
2
4
6
8
…………..
2n
1
3
0.5
0
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
1
2
3
4
5 6 迭代次数
7
8
9
10
实验与分析
• n=300
拉格朗日松弛解背包问题 0
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
-1000
原问题最优值： Value_optP=4153 -2000 物品总大小： -4000 978 λ=2.3871 -5000 算法运行时间： -6000 40.831066seconds.
5
7
9
…………..
2n+1
2n+2
构造价值邻接矩阵D1，容积代价邻接矩阵D2
ci ci bi
D3=D1+ λ*D2
算法伪代码
If

n
Else pv=Shortestpath(D1) ps= Shortestpath(D2) While(true) do λ=*v(ps)-v(pv)]/[s(pv)-s(ps)] pλ= Shortestpath(D3) If L(pλ) = L(ps) then return ps; break; else if size(pλ)<=B then //可行化判断 ps=pλ else pv=pλ End if End if End while
i 1
n
பைடு நூலகம்
s2 B
步骤2：计算 v1 v2 / s2 s1 ，用的Dijkstra 算法最短路求解(P) 的拉格朗日松弛问题。设x是其对应最优解。 步骤3： v3 - i 1 ci xi s3 i 1 bi xi B，如果 s3 v3 s1 v1
Value_optP= i 1 ci
n
i 1 i
b B then
实验与分析
• 设背包大小B=1000，随机生成0-100的物品 价值参数和物品尺寸参数。 • 分别做物品数n=100,200,300,400,500的实验。 • 电脑配置：
实验与分析
• n=100
原问题最优值： Value_optP=2936
-3000
物品总大小： -4000 995 -5000 λ=2.5714 -6000 算法运行时间： -7000 73.692048 seconds.
-8000 1 2 3 4 5
物品价值
r
1
2
3
4
5
6 7 迭代次数
8
9
10
11
6 7 迭代次数
8
9
10
11
实验与分析
拉格朗日松弛解背包问题
• n=500
7
8
9
10
实验与分析
拉格朗日松弛解背包问题
• n=200
原问题最优值： Value_optP=3823
物品价值
0 -500
2.5
对偶解 原问题
-1000
2
-1500 -2000
r
1.5
1
-2500 物品总大小： -3000 982 λ=1.8065 -3500 算法运行时间： -4000 16.593007 seconds. -4500
i 1 n i 1
n
0-1背包问题的拉格朗日对偶问题
• 构造拉格朗日函数如下： n n L( x, ) ci xi ( bi xi B)
L( x, ) (ci bi ) xi B
ci ci bi
i 1 i 1 n i 1
-10000 1 2 3 4 5 6 迭代次数 7 8
-5000
对偶解 原问题 9
10
算法时间性能
• 由于Dijkstra算法的时间复杂度为 O(n2 ) • 基于Dijkstra算法的拉格朗日松弛对偶方法 的时间复杂度与 n2 呈线性关系。
时间复杂度分析 120 100
80
运行时间
60
40
20
0
0-1背包问题的拉格朗日松弛解法
（附程序，见上传者“我的文档”）
关键词：最短路，Dijkstra算法，拉格朗日松弛， 外部逼近法
0-1背包问题与建模
• 有n个物品，价值为ci ，尺寸为bi (i=1,2,…n)，背包 的大小为B。 • 原问题(P)模型：
min ci xi
s.t. bi xi B