102直角坐标系下二重积分的计算

则
D
D
:
1

(
x) a

y x


b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
dx
a
1( x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
x
若D为Y
–型区域 D
:


1(

y) c

x y

d
2
(
y)
y x 2(y) d y
x 1(y)
I
1
dy
y
f (x) f (y)d x
1
dx
00
0
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
0x
0

1
dx
1
f (x) f (y)dy
1
f (x)d x
1 f (y)d y A2
00
0
0
内容小结
直角坐标系情形 :
• 若积分区域为
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
c
1(y)
x
当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0

y

1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
x
8 x2 22
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y

2 d
y
y

2 1
2
y

1 2
y3
dy 9 8
例3. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x y
则
D
:

y2 1

x y

y 2

2
o 1
D
4x
y x2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例2. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
c 1( y)
d
x 1(y)
y c

o
x 2(y)
x
例1. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
oR
(x,
y)

D
:
00
第2节
第10章
直角坐标系下的二重积分的计算
曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
z y 2(x)
D


(
x,
y)
1
(
x) a

y x


b
2
(
x)
y
D
任取
平面
截柱体的
o a x0 b x
截面积为
y 1(x)
故曲顶柱体体积为
b
V D f (x, y) d a A(x)d x
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0

y x

x

D x o x

D
sin x
x
dxd
y


0
sin x
x
dx
x
0 d
y

0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例5. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I

0
d
x 2 0
:

2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )

y x

R
R2

x2
则所求体积为
x
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy

b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy

d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x

y
c
1(
y) y

x
D
1(

x)
2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x

2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
dy

1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
例4. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
例7. 计算
解:



2 0

cos(
x

y) 2
0
d
y

2[sin y cos y]d y 0

cos y sin y 2
0
2
y
例8. 设
且
求I
1
dx
1
f (x) f (y)dy.
0x
提示: 交换积分顺序后, x , y互换
1 y yx
ox 1 x
则D
:
11

y x

x 2
y
I
2
dx
1
x xyd y 1
2 1

1 2
xy2
xd
1
x
2 y
yx
1

2
1
1 2
x3

1 2
x
dx

9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:

y 1

x y

2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
y 3x
o D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
D
c
x x1( y) x
计算步骤及注意事项
• 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
• 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先积一条线, 后扫积分域 )
不等式

b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
同样, 曲顶柱的底为
D (x, y) 1( y) x 2 ( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f (x, y) d
D

d
[
2 ( y) f (x, y) dx ]d y