湖南省浏阳一中2012届高三数学第一次月考试题解析 理【会员独享】.doc

浏阳一中2012届高三第一次月考试题数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
【试题总体说明】
试题紧扣2011年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第１６、17、18、19、20、21题分别从函数、简易逻辑、实际应用、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。

试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<-则下图中阴影部分表示的集合为 （ ）
A ．}13|{-<<-x x
B ．}03|{<<-x x
C ．{x|x ＞0}
D ．}1|{-<x x 【答案】C
【解析】因为{}|30A x x =-<<,所以图中阴影部分表示的集合为{}|31A B x x ⋂=-<<-,故选C.
2．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（ ） A. 12
log y x = B. y=2x
-1
C. 2
12
y x =-
D. 3
y x =-【答案】B 【解析】由所求函数在(1, 1)-内是增函数,故排除C 、D ，又因为12
log y x =中的真数0x >，故A 错误，故选B.
3．已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：2
2
(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件则m 的取值范围是 （ ）
A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞) 【答案】B
【解析】因为|4|6210x x -≤⇔-≤≤ ,
4. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
2x
，x ≤0.若f (a )＝1
2
，则a ＝
( )
A ．－1 B. 2 C ．－1或 2
D ．1或－ 2
【答案】C
【解析】当0a >时，21()log 2f a a ==
，解得2a =；当0a ≤时，1()22
a
f a ==，解得1a =-，故选C.
5. 已知下图（1）中的图像对应的函数为()x f y =，则下图（2）中的图像对应的函数在下列
给出的四个式子中，只可能是 （ ）
A ．()
x f y = B ．()x f y = C ．()x f y -= D ．()
x f y -=
【答案】D
【解析】因为图2关于y 轴对称,故所求函数为偶函数,排除B;又当0x <时,图2与图1相同,故选D.高&考%资(源#网
6．函数x x x y cos sin +=在下面那个区间为增函数
A ⎪⎭
⎫
⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,2 【答案】C
【解析】因为'
cos y x x =,当35,22x ππ⎛⎫∈
⎪
⎝⎭
时,cos 0x >, '
cos y x x =>0,此时函数x x x y cos sin +=为增函数,故选C.
7设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有
|()()|1f x g x -≤，
则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2
()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可
以是 （ ）
A ．[1,4]
B ． [2,4]
C ． [3,4]
D ． [2,3] 【答案】C
【解析】因为225
3
|()()||57||()|24
f x
g x x x x -=-+=-+
, 令2571x x -+=解得2x =或 3x =,结合选项,故选项C 正确.
8如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是（ ）
【答案】B
【解析】由图象容易看出,y 随着x 的增大先增大,再减小,并且增大的与减少的一样多,故选B.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡的相应位置 9．已知0t >，若，
(22)30t
x dx -=⎰,则t = 。

【答案】3
【解析】由题意知,2
23t t -=,解得1t =-或3,又因为已知0t >，故3t =.
A B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
10．函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()20=f ，则)2010(f =
【答案】
132
【解析】由题意知,13(2)()f x f x +=
,所以1313
(4)()13(2)
()
f x f x f x f x +===+,所以
()f x 是周期函数,4是它的周期,所以(2010)(20082)f f =+=(2)f =
13(0)f =13
2
. 11．已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，则
++)2()1(f f )2009()3(f f ++Λ的值为________
【答案】-1
【解析】因为奇函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，1)1(=-f ，所以容易求得原式的值为-1.
12..已知函数2
()lg
ax a f x x
+-=在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的
取值范围是 【答案】（1，2）
【解析】由题意知, 2ax a t x +-=
=2
a a x
-+在区间[1，2]上是增函数，所以20a -<,
且2
ax a t x
+-=
在[1，2]上恒大于0,可解得12a <<.
13. 若函数()bx ax x x f --=2
3
3，其中b a ,为实数. ()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且
a b 9=，则a 的取值范围.
【答案】1≥a
【解析】因为'
2
()36f x x ax b =--≤0对[1,2]x ∈-恒成立,所以'
2
()369f x x ax a =--≤0对[1,2]x ∈-恒成立, 2
230x ax a --≤,因为230x +>,所以
2
23
x a x ≥+对[1,2]x ∈-恒成立,容易求得1≥a .
14．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时'()()()'()0f x g x f x g x +> 且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为 【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃
【解析】因为当x <0时,'
[()()]f x g x ='()()()'()0f x g x f x g x +>, 此时()()f x g x 是增函数. 15．已知函数⎩
⎨
⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a 11≥<x x 满足对任意0)
()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有
成立，则a 的取值范围是 . 【答案】)3
1
,71[
【解析】由题意知,函数()f x 在R 上是减函数,所以310,a -<且01a <<,且71log 1a a -≥,解得11[,)73
a ∈.
三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内。

16.(本小题满分12分)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2
+5x +4)］≥0.
【解析】解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2
+5x +4)］≥f (2)。

又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞,0)上为减函数且f (－2)=f (2)=0。

∴不等式可化为 log 2(x 2
+5x +4)≥2 ① 或 log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2
+5x +4≥4，∴x ≤－5或x ≥0
③
由②得0＜x 2+5x +4≤
4
1得 2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2
10
5+-
④
由③④得原不等式的解集为 {x |x ≤－5或
2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2
10
5+-或x ≥0}.
17．(本小题满分12分)
已知01;:;cos sin ,:2
<++∈∃>+∈∀mx x R x q m x x R x p .若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数m 的取值范围.
【解析】若p 为真,则有2m <-;若q 为真,则有2
40m ->,即有2m <-或2m >,
因为q p ∨为真，q p ∧为假,所以p 与q 必一真一假, 当p 真q 假时, 2m <-且22m -≤≤,解得22m -≤<-; 当p 假q 真时, 2m ≥-且2m <-或2m >,解得2m >, 综上所述,实数m 的取值范围为22m -≤<-或2m >. 18. (本小题满分12分)
为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD 上规划出一块长方 形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区AEF ∆的EF.问如何设才能 使公园占地面积最大，并求这最大面积（ 其中AB=200 m ，BC=160 m ，AE=60 m ，AF=40 m.） 【解析】设CG=x ，矩形CGPH 面积为y ， 作EN⊥PH 于点N ，则3
280
26014040-=⇒-=x EN x EN ∴HC=1603
276032802x
x -=
--
（5分） =⎪
⎭
⎫
⎝⎛≤
-⋅=-⋅=2
276061)2760(26
132760x x x x y 372200（10分） 当19027602=⇒-=x x x （m ）即CG 长为190m 时，最大面积为3
72200（m 2
）（12分） 答：最大面积为
3
72200m 2
. （13分） 19.(本小题满分12分) 某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量
（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（1
3)0+-
=≥m k
x m 满足（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (Ⅰ) 将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(Ⅱ) 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意可知当
,1
2
3,231),
(1,0+-
=∴=⇒-=∴==m x k k x m 万件时……3分 每件产品的销售价格为)(1685.1元x
x
+⨯……………………………4分 2009年的利润m m m x m x x x x y -+-+=-+=++-+⨯⋅=)1
2
3(8484)168(]1685.1[ )0(29)]1(116
[
≥++++-=m m m ………………… 7分 （2）8162)1(1
16
,0=≥+++≥m m m 时Θ，……………………10分
21,)(311
16
,21298max ==⇒+=+=+-≤∴y m m m y 时万元当且仅当
（万元）12分 答：促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.………………………………13分 20.(本小题满分13分) 已知函数1ln ()x
f x x
+=
． （Ⅰ）若函数在区间1
(,)2
a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（Ⅰ）因为
1ln ()x f x x +=， x >0，则2ln ()x
f x x
'=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1(,)2
a a +（其中0a >）上存在极值，
所以1,
1
1,2
a a <⎧⎪
⎨+>⎪⎩ 解得112a <<． （Ⅱ）不等式(),1k f x x ≥
+即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )
(),x x g x x
++= 所以[]2
(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2
ln x x x -=
令()ln h x x x =-，则1
()1h x x
'=-
， 1x ≥Q ， ()0,h x '∴≥
()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，
[]min ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>，
故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，
所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤ （13分） 21. (本小题满分14分) 已知函数3
2
()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值。

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[1,1]-上任意两个自变量的值12,x x ，都有4|)()(|21≤-x f x f ； （Ⅲ）若过点(1,)A m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围。

【解析】（Ⅰ）323)('2
-+=bx ax x f ，依题意，0)1(')1('=-=f f ， …………1分
即⎩⎨
⎧=--=-+0
3230323b a b a ，解得x x x f b a 3)(,0,13
-=∴== …………………3分
经检验符合。

（Ⅱ）)1)(1(333)(',3)(3
3
-+=-=∴-=x x x x f x x x f Θ
当11x -<<时，0)('<x f ，故()f x 在区间[1,1]-上为减函数，
2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f ……………………5分
∵对于区间[1,1]-上任意两个自变量的值12,x x ， 都有|)()(||)()(|min max 21x f x f x f x f -≤-
4|)2(2||)()(||)()(|min max 21=--=-≤-∴x f x f x f x f …………………………7分
（Ⅲ）)1)(1(333)('2
-+=-=x x x x f ，
∵曲线方程为3
3y x x =-，∴点(1,)A m 不在曲线上，
设切点为M(x 0,y 0)，则点M 的坐标满足03
003x x y -=。

因)1(3)('20
0-=x x f ，故切线的斜率为1
3)1(3003020
---=-x m
x x x ，
整理得03322
030=++-m x x 。

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，
∴关于0x 的方程03322
030=++-m x x 有三个实根. ……………………9分 设332)(2
0300++-=m x x x g ，则2000()6g x gx x '=-，。