2.2.2二次函数的性质与图像
2.2.2二次函数的性质与图像教案学生版
2.2.2 二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质；2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标；3.会用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 变形为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，从而会求二次函数的最值．【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象，感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响；通过探究具体的二次函数的图象和性质，归纳出二次函数的图象和性质；在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条以原点 为顶点， y 轴为对称轴的抛物线．2.一元二次函数的定义：函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)叫做二次函数，其图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下. |a|越小图象开口就越大 ， |a|越大图象开口就越小 . 抛物线的顶点坐标是(－b 2a，4ac －b 24a )，抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a. 3.一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质：当a>0时，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是减函数 ，在[－b 2a，＋∞)上是增函数 ，当x ＝－b 2a 时，y min ＝4ac －b 24a ；当a<0时，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是增函数 ，在[－b 2a，＋∞)上是 减函数 ，当x ＝－b 2a 时，y max ＝4ac －b 24a. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 在初中我们学习过二次函数，但研究的不够深入．譬如：y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象之间有什么关系？y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的单调性如何？何时取得最值？这些问题就是我们本节重点研究的问题． 探究点一 二次函数的概念问题1在初中我们学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？问题2对于二次函数y ＝ax 2(a ≠0) ，观察下面的图象，说出a 的变化是如何影响其图象的张口的大小的？探究点二 二次函数的性质例1 试述二次函数f(x)＝12x 2＋4x ＋6的性质，并作出它的图象．跟踪训练1 求函数y＝－x2＋2x＋3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间．问题1 由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？问题2由函数y＝ax2的顶点和对称轴分别为(0,0)及y轴，你能得出函数y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)图象的顶点坐标及对称轴各是什么吗？问题3 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)之间有什么关系？例2已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋14的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．跟踪训练2 已知函数f(x)＝12x2－3x－34：(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x∈[1,4]，求函数的值域．例3 求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值．跟踪训练3 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数 ( )A．对称轴为x＝1，最大值为3B．对称轴为x＝－1，最大值为5C．对称轴为x＝1, 最大值为5D．对称轴为x＝－1，最小值为32.若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上 ( )A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减D．先减后增3.把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为_________．课堂小结：1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象为一条抛物线：函数 y＝a(x－h)2＋k与函数y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝h；顶点坐标为(h，k)．2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是将函数y＝ax2的图象先向上或向下平移|k|个单位，再向左或向右平移|h|个单位得到的．(移动规律可以简单记作：左加右减，上加下减)3.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：(1)当a>0时，抛物线的开口向上，x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大，x＝h时，函数有最小值是k.(2)当a<0时，抛物线的开口向下，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小，x＝h时，函数有最大值是k.。
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
第2章 2.2 二次函数的图象与性质(4)
解：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上； 对称轴为直线 x＝－2－×11＝12； 4×1·m4－×（1 －1）2＝4m4－1， 顶点坐标为(12，4m4－1)；
(2) m 为何值时，顶点在 x 轴上方；
解：顶点在 x 轴上方时，4m4－1＞0， 解得 m＞14；
4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的结论
是( B )
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
二、填空题
函数 y＝x2―2x－1 的最小值是 －2 . 若抛物线 y＝x2＋(4－m)x＋1 的顶点在 y 轴上，则 m＝4 4 .
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)经过 A(－2，0)、O(0，0)、B(－
(3)若抛物线与 y 轴交于点 A，过点 A 作 AB∥x 轴交抛物线于 另一点 B，当 S△AOB＝4 时，求此二次函数的解析式．
解：令 x＝0，则 y＝m，所以点 A(0，m)，
∵AB∥x 轴，∴点 A、B 关于对称轴直线 x＝12对称，
∴AB＝12×2＝1，∴S△AOB＝12|m|×1＝4，
解：∵抛物线经过原点(0，0)，∴2m－m2＝0，
∴m1＝0，m2＝2.
(2)抛物线的对称轴为直线 x＝－1；
解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝－1， ∴－m2 ＝－1，∴m＝2.
(3)抛物线与 y 轴交点的纵坐标为－3.
解：依题意知抛物线经过点(0，－3)， ∴2m－m2＝－3，∴m1＝－1，m2＝3.
， ．
★【基础知识训练】 一、选择题
►答案见：D7
二次函数 y＝－2(x－3)2＋5 的图象的开口方向、对称轴和顶
2.2.2 二次函数的性质与图象1
结合单调性分类讨论
数形结合 2.需要注意： 分类是否简单有效 不重不漏
布置作业
练习单
5 3 x
故f(x)在[-2,3]上先减后增
f(x)min=f(1)=-4
值域为[-4,5]
f(x)max=f(-2)=5
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
解：f(x)对称轴为x=1， ∵a的值变化会导致 区间的单调性不同， ∴分三大类讨论： y 5
-2 -1
2.2.2 二次函数的性质与图象
——求闭区间上的最值
回顾 已知
1 2 4 f ( x) x x 1 3 3
，先配成顶点式，
再求的图象下列性质.
1 1 2 顶点式：f ( x ) ( x 2) 3 3 1 顶点： ( 2， ) 3
对称轴： x 2 单调递增区间： 2， ) [ 单调递减区间：( ,2]
分析：f(x)对称轴为x=a， ∵a的值变化会导致区间的单调性不同，
∴需要合理的2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最大值吗？
y 5 分析： 开口向上时， 距离对称轴越远， 函数值越大a-1 a 1 3 x
距离对称轴越近， 函数值越小
课堂小结
1.求最值的基本方法：
-4
1
3
x
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
(1)当a<1时， 区间[a-1,a]在对称轴左侧， 故f(x)在上单调递减 f(x)min =f(a)=a2-2a-3 a-1 a 1 3 x y 5
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
2.2.2二次函数的图像与性质
二配（配y方：1 同 x时加6上 x+2
两根式 。）
三结合(前面2所配的完全平方式结合，后面的常数结合。)
写出一般式：y= ax2 +bx+c(a ≠0)的顶点式，
顶点式配方四一y步提 骤a（(：x提一自2b提a变)、2量二的4配a二c4、a次三b项2 结系合数、）四乘开 二配（配方： 同a(时x 加h上)2 并 k减去 （ 一次项系数 ）2 。）
性质：当x=-2时，y有最大值1，记作ymax=1
值域（-∞，1]
单调增区间 （-∞，-2） 单调减区间 （-2， +∞ ）
y= -(x+2)2 +1 在x=-2两边取两个对称的x的值
-2+m
-2+m和-2-m -2-m f(-2+m)=-(-2+m+2)2+1=-m2+1
f(-2-m)=-(-2-m+2)2+1=-m2+1
f(-2+m)=f(-2-m)
对称轴：x= -2
x= -2
f(h+m)=f(h-m) 对称轴：x= h
y= ax2 +bx+c(a ≠0)的性质
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
条件 开口向 顶点
对称轴
a>0 上 a<0 下
( b
, 4ac b2
X= b ) 2a
•1、思考：做函数y= -x2 -4x-3的图像，试叙述它的性质
(1)配方： y= -(x+2)2 +1
(2)开口：a=-1<0,开口向下
对称轴：x= -2 顶点坐标（-2，1） 与x轴交点坐标（-3，0）,(-1,0)
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
2.2.2二次函数的性质与图象(2)
预习反馈
小 1组★★ 2组★ 3组★ 4组★★ 5组★ 6组★★ 7组★ 8组★★ 李艳丽 匙永明 刘选和 殷森 组 优 王家明 王彩云 赵晓阳 赵芃 史东岳 闫永洁 秀 个 人 得分 4 4 4 5 1 4 2 2
9组★★
匙红芳 韩静
3
姜珊
杜
彬 朱清华 刘仲轩 朱照纬
刘梦佳 田小桐 曹秀敏 赵雪婷 董金明 王 宁 刘柄鑫 张春艳
存在问题
1、不会选择恰当的形式求解二次函数的解析式； 2、二次函数区间最值问题： 分类不明确、步骤不条理、结论不完整；
3、不会利用二次函数的单调性解决含参问题。
合作探究
内容：
1、二次函数的性质。 2、总结：含参二次函数的求值问题。 3、小组内的其他疑问。
6+3分钟
目标要求：
（1）人人参与，热烈讨论，大声发表自己的 见解 （2）手不离笔、随时记录，组长调控好节奏
精彩点评（20分钟）
展示问题 展示位置 小组 点评
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 （用彩笔） （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成பைடு நூலகம்首先要 质疑拓展。
例1（1）
后黑板
7组
例1（2）
例1（3） 例1变式 例2 例3
后黑板
后黑板 后黑板 前黑板 前黑板
8组
9组 3组 5组 6组 2组 1组
4组
整理巩固
要求: 整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
课堂评价
2.2.2 二次函数的性质图像
2.2.2 二次函数的性质与图象教材知识检索考点知识清单1．二次函数的定义函数 叫做二次函数，它的定义域为2．函数)0(2=/=a ax y 的图象和性质(1)函数)0(2=/=a ax y 的图象是一条顶点为原点的抛物线，0>a 时，抛物线开口____；a <0时，抛物线开口(2)函数)0(2=/=a ax y 为 （填“奇函数”或“偶函数”）． (3)函数)0(2=/=a ax y 的图象的对称轴为3．二次函数k h x a x f +-=2)()((1)二次函数k h x a x f +-=2)()(的性质：①函数的图象是____，抛物线的顶点坐标是——，抛物线的对称轴是直线____，②当a>0时，抛物线开口向上，函数在 处取最小值=min y ，在区间 上是减函数，在 上是增函数；③当a<0时，抛物线开口向下，函数在 处取最大值=max y ，在区间____ 上是增函数，在____上是减函数．(2)二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 配方后为 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为(3)二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的定义域为 ，当0>a 时，值域为 ；当a<0时，值域为(4)二次函数),0(2=/++=a c bx ax y 当a>0时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当a<0时，单调递增区间为 ，单调递减区间为要点核心解读1．二次函数的解析式有三种形式(1)-般式：c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，且);0=/a (2)顶点式：k h a k h x a y ,,()2+-=（为常数，);0=/a(3)两根式（又称截距式）：a x x x x a y )()(21--=（是非零常数，21,x x 是方程02=++c bx ax 的两根）．要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需已知三个独立条件。
2.2.2二次函数的性质与图像学生版
1 / 12.2.2 二次函数的性质与图象一、基础过关1．函数y ＝x 2＋2x －2的图象的顶点坐标是( ) A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3) D ．(－1，－3)2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝－11D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝113．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是 ( )4．f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(－1)＝f(3)，则 ( )A ．f(1)>c>f(－1)B ．f(1)<c<f(－1)C ．c>f(－1)>f(1)D ．c<f(－1)<f(1)5．将二次函数y ＝3x 2的图象平行移动，顶点移到(－3,2)，则它的解析式为____________．6．下列二次函数图象开口，按从小到大的顺序排列为______________.(1)f(x)＝14x 2； (2)f(x)＝12x 2； (3)f(x)＝－13x 2； (4)f(x)＝－3x 2. 7．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．8．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2. (1)求f(x)在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．二、能力提升9．如果函数f(x)＝(x ＋1)(1－|x|)的图象在x 轴上方，则f(x)的定义域为( ) A ．{x||x|<1} B ．{x||x|>1} C ．{x|x<1且x ≠－1} D ．{x|x>－1且x ≠1}10．如果函数y ＝|x 2－1|的图象与直线y ＝x ＋k 的交点恰为3个，则k 的值为( )A ．1 B.54 C ．1或54D ．0或1 11．二次函数f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a]且f(x)的最小值为f(a)，则a 的取值范围是________．12．设函数f(x)＝x 2－2|x|－1(－3≤x ≤3)，(1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1，其中a ≥0，a ∈R . (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．。
赵振英2.2.2二次函数的图像与性质(2)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1 2 6.已知抛物线 y 2 x ，把它向下平移，得到 的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线 应向下平移几个单位？
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
3、可有函数y=2x² 的性质，得到函数 y=2x² ＋1 的一些性质。
二次函数y=2x2， y=2x2+1， y=2x2-1的图象都是抛物 线，并且形状相同，
y=2x2+1 y=2x2-1
只是位置不同.
?
将二次函数y=2x2 的图象向上平移1 个单位，就得到函 数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1 个单位，就得到函数y=2x2-1的图 象.
1、抛物线 y=ax2+k 的图象可由 y=ax2 的图象上下
当 k＞0时,向上平移，当 k＜0时,向下平移， 平移得到， 平移︱k︱个单位 2、 抛物线 y=ax2+k 的性质： ① 当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下; ② 对称轴:y轴; ③ 顶点坐标 (0,k).
达标检测
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 2 1 到抛物线 y 2 x 2，再向上平移5个单位， 1 2 可以得到抛物线 y 2 x 3 ； 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
2.2二次函数的图象和性质第二课时二次函数y=ax2与y=ax2+c
④
1).
图象为
①.
③
2).
3).
y 4x
2
③
图象为
图象为
①
o
2 2 y x 3
②.
.
x
②
④ 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 2. y = -2x 4). 图象为 .
沿y轴向上平移5个单位 得到的. 它的对称轴是 y轴 , 顶点坐标是（0，5） ,在x<0时.y值随x的增大而 增大 ； 与x轴有 2个 交点。
7.对于抛物线 y=x2和 y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说 法错误的是（ ） A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 8.已知抛物线 y=mx2＋ n向下平移 2个单位后得到的函数图像
9.如图，直线 l 经过 A（ 3 ， 0）， B（ 0 ， 3）两点，且与二次 函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
y y 2 x 1
2
y 2 x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象 与二次函数y=3x² 的图象. 二次函数y=3x² 一l的图象与二次函数y=3x² 的图 象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
想一想
你知道函数y=3x2-1的 大致图象和位置吗?
y 1.
2_2_2二次函数的性质与图像(一)
2.2.2二次函数的性质与图像(一)教学目标：研究二次函数的性质与图像教学过程：1、 函数c bx ax y ++=2 )0(≠a 叫做二次函数，利用多媒体演示参数a 、b 、c 的变化对函数图像的影响，着重演示a 对函数图像的影响2、 通过以下几方面研究函数（1）、配方（2）、求函数图像与坐标轴的交点（3）、函数的对称性质（4）、函数的单调性3、 例：研究函数6421)(2++=x x x f 的图像与性质 解：（1）配方2)4(21)(2-+=x x f 所以函数)(x f 的图像能够看作是由2)(x x g =经一系列变换得到的，具体地说：先将)(x g 上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得的图像向左移动4个单位，向下移动2个单位得到.（2）函数与x 轴的交点是（-6，0）和（-2，0），与y 轴的交点是（0，6）（3）函数的对称轴是x=-4,事实上假设一个函数满足：)()(x a f x a f -=+（)2()(x a f x f -=），那么函数)(x f 关于a x =对称.（4）设421-<<x x ，021<-=∆x x x ，)()(21x f x f y -=∆=)(4)(21212221x x x x -+-=)8)((212121++-x x x x =)8(21++∆x x x因为 0<∆x ，0882121<++⇔-<+x x x x所以 0>∆y所以 函数)(x f 在]4,(--∞上是减函数同理函数)(x f 在),4[+∞-上是增函数对于教材上的其他例子能够仿照此例讨论，总结教材上第64页上的几条性质。
4、复习通过配方法求二次函数最小值的方法课堂练习：教材第65页练习A、B小结：通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究二次函数.课后作业：教材第67页7，教材第68页2、4。
高中数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
说明
开口向上,a 越小,开口越
大,a 越大,开口越小
决定抛物
a
a>0
线的开口
方向与开
口大小,影
响单调性
在 -∞,-
b
2a
b
2a
上单调递减,在
, + ∞ 上单调递增
开口向下,|a|越小,开口越
大,|a|越大,开口越小
a<0
在 -∞,-
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b
2a
b
2a
上单调递增,在
, + ∞ 上单调递减
ax2+bx+c=0(a≠0)的关系(guān xì):二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于
方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交
点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.
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M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
x=− ;
2
1 +2
x=
;
2
③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或
f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).
(2)利用对称性,结合开口方向,可以(kěyǐ)比较二次函数函数值的大小.
利用配方法化为 y= x +
的位置
b
2
2a
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+
《二次函数的性质与图象》必修1数学精品课件
1 2
(x2＋8x＋16
－16－6)＝－12[(x2＋8x＋42)－22]＝－12(x＋4)2＋11.
因此，抛物线y＝－
1 2
x2－4x＋3的对称轴是直线x＝－
4，顶点坐标是(－4,11)．
下面再来研究二次函数的最值问题． 对于 y＝－21(x＋4)2＋11，当 x 取任意实数时，(x＋4)2≥0. ∴－12(x＋4)2≤0，也就是－12(x＋4)2 的最大值为 0. ∴－12(x＋4)2＋11 有最大值，最大值为 11. ∴二次函数 y＝－21x2－4x＋3 的最大值是 11. (实质上，a＝－12<0，抛物线开口向下，顶点位置最高， 所以当 x＝－4 时，二次函数有最大值 11，即顶点的纵坐标)
解法三：利用二次函数的顶点式． 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)． ∴抛物线对称轴为x＝2＋(2－1)＝12. ∴m＝12.
又根据题意，函数有最大值为n＝8. ∴y＝f(x)＝a(x－21)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1， 解之得a＝－4. ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
评析：求二次函数的解析式的关键是待 定系数法．由题目条件，合理地选择二次函 数解析式的表达形式，最简地求出解析式是 关键之关键．
变式训练 1 已知二次函数f(x)同时满足 条件：
(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根的立方和等于17，求f(x) 的解析式．
c＝7.
∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用二次函数的两根式． 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1， 又函数有最大值ymax＝8， 即4a(－2a4－a 1)－a2＝8， 解之得a＝－4，或a＝0(舍去)． ∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
二次函数y=x和y=x的图象与性质(共24张PPT)
讲授新课
一 二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质
合作探究
你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表 示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2； 方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3> 2 >1，∴y1>y3>y2.
课堂小结
．
△ACO
△BOC
×1 4×1＝2，
∴S△ABO＝S△2 ACO＋S△BOC＝10.
2
当堂练习
1.两条抛物线 y x与2 y 在x同2 一坐标系内，下列说法中
不正确的是（ ） C A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0
C．开口都向上
D. 都有(0,0)处取最值
2．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而_____减__小_．
例1变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的 两点，那么y1与y2的大小关系是__________y_1_＞_.y2
例2：已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两
点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成
的三角形的面积． 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
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§2.2.2 二次函数的性质与图像
【新知预习】
1.函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条以为顶点，为对称轴的抛物线．
2.一元二次函数的定义：函数叫做二次函数，定义域为__________，其图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口，当a<0时，抛物线开口. |a|越小图象开口就，|a|越大图象开口就.
抛物线的顶点坐标是________，抛物线的对称轴是直线x＝－b 2a.
3. 二次函数的图像和性质
函数
图像
a>0 a<0
性质开口方向
对称轴
坐标顶点
单调性
最值
奇偶性
4.三个二次的关系
判别式Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的
图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
ax2＋bx＋c >0 (a>0)
的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)
的解集
【例题选讲】
例1 试述二次函数f(x)＝x2＋4x＋6的性质，并作出它的图象．．
跟踪训练1 求函数y＝－x2＋2x＋3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝1
2x
2－3x－
3
4：
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若x∈[1,4]，求函数的值域．
例2 已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋1
4的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．
例3 求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值．
跟踪训练3 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．
【课堂小测】
1.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数()
A．对称轴为x＝1，最大值为3
B．对称轴为x＝－1，最大值为5
C．对称轴为x＝1, 最大值为5
D．对称轴为x＝－1，最小值为3
2.若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()
A．单调递增B．单调递减
C．先增后减D．先减后增
3.把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为______________．。