七年级数学上册第二章有理数有理数中的“三大家族”大揭密素材(新版)青岛版

七年级数学上册第二章有理数有理数中的“三大家
族”大揭密素材（新版）青岛版
在有理数的〝王国〞里，有三个相互依赖、相互联络的家族-------〝数轴〞、〝相反数〞和〝相对值〞，它们号称有理数中的〝三个重锤〞，它们也是学好七年级数学的终点，下面把它们的各自特征引见给同窗们．
一、一线串珠的数轴
数轴是一条红线，是〝形〞通向〝数〞的桥梁，是数形结合的基础，笼统的数与详细的形结合在一同，更显示出数学的神奇魅力，数轴把数与直线的点生动、笼统地联络在一同，为人们提供了一种直观的数学思想方法，它的主要内容如下：
数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可．有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数．
在数轴上表示的两个数，左边的数总比左边的数大．
二、形影不离的相反数
只要符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的．在数轴上看，表示互为相反数的两个点区分在原点的两侧，而且到原点的距离相等． 〔1〕通常用a 与-a 表示一对相反数．
〔2〕假定a 与b 互为相反数，那么a b +=0．
〔3〕互为相反数的两个数的相对值相等，即a a ． 〔4〕假定a b ，那么a b =，或a b =-〔a 与b 互为相反数〕
． 三、永不言负的相对值 由相对值的几何意义可知：一个数的相对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离．由于距离总是正数或零，所以有理数的相对值不能够是正数，即a ≥0．
从相对值的定义可知：一个正数的相对值是它的自身，一个正数的相对值是它的相反数，0的相对值是0，综合到一同我们可以失掉任何一个有理数的相对值都是非正数． 〔1〕假定a
a ，那么a ≥0； 〔2〕假定a
a ，那么a ≤0； 〔3〕a ≥0，相对值的非负性；
〔4〕互为相反数的相对值相等，即a a ；
〔5〕假定两个数相对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；
即：||||a b a b a b ===-，则，或
〔6〕相对值最小的数是0．
留意几个效果：
〔1〕-a 不一定表示正数，事先a <0，-a 表示a 的相反数，此时-a 是一个正数． 〔2〕由定义可知一个数的相对值是点到点的距离，这说明了有理数的相对值是非正数，即对恣意有理数a 总有a ≥0．
〔3〕相对值等于0的数一定是0，相对值为正数m 的数一共有两个，它们是m ，-m ，是互为相反数的两个数，相对值相等的两个数，它们相等或互为相反数，即假定m n ，
那么m n =或m n =-．
两个正数，相对值大的反而小．这说明比拟两个正数的大小，分两步停止：〔1〕区分求出这两个正数的相对值并比拟其大小；〔2〕依据〝两个正数相对值大的反而小〞得出结论．
四、典型例题
例1. 如下图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请回答：
〔1〕将B 点向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ 〔2〕将A 点向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
〔3〕将C 点向左移动6个单位后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？
〔4〕怎样移动A 、B 、C 中的两个点，才干使三个点表示的数相反？有几种移动的方法？ 解：〔1〕由于将B 点向左移动3个单位后，点B 表示－5，而点A 表示－4，点C 表示3，因此点B 表示的数最小，是－5；
〔2〕将A 点向右移动4个单位后，点A 表示0，点B 表示－2，点C 表示3，因此点B 表示的数最小，是－2；
〔3〕将C 点向左移动6个单位后，C 点表示数－3，A 点表示数－4，B 点表示数－2，所以B 点表示的数比C 点表示的数大1．
〔4〕使三个点表示的数相反共有三种移动的方法
第一种：把点A 向右移动2个单位，点C 向左移动5个单位； A B C
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
第二种：把B点向左移动2个单位，C点向左移动7个单位；
第三种：把A点向右移动7个单位，B点向右移动5个单位．
例2. 判别以下语句能否正确？正确的打〝√〞，错误的打〝×〞，并说明理由．
〔1〕符号相反的两个数叫做互为相反数〔〕
〔2〕互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是正数〔〕
〔3〕相反数和我们以前学过的倒数是一样的〔〕
剖析：本例要求准确了解相反数的定义，只要符号不同的两个数称互为相反数．其中〝只要〞指的是除了符号不同以外完全相反．
解：〔1〕〔×〕．符号相反的两个数不一定互为相反数，如〝－3”和〝+5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数．
〔2〕〔√〕由于0的相反数是0，但0既不是正数，也不是正数．
〔3〕〔×〕相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义，互为相反数对符号提出了要求，但倒数并没有此限定．
说明：对相似于本例的说理判别题，应留意特殊的数0，留意0的相反数是自身．例3.求相对值小于5的非负整数？
剖析：从数轴上看，相对值等于5的数有±5，相对值小于5就是到原点的距离小于5，这样的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，而非负整数有0，1，2，3，4．解：相对值小于5的非负整数是0，1，2，3，4．
说明：了解相对值的几何意义要留意，求相对值契合某些条件的数时，不要漏掉0或正数．。