高一指数与指数函数学生版

指数与指数函数
一、基础知识 1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是m n
a =
n
a m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是m n
a
-
=
a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋
n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 【知识拓展】 1．
指数函数图像画法
的三个关键点：(1，a )，(0,1)， (－1，1
a
)．
2.指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .
由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n
a n
＝(n
a )n
＝a .( ) (2)分数指数幂m n
a 可以理解为m
n 个a 相乘．(
)
2142
(3)(1)(1)-=-=( )
(4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( )
(5)函数2
1x y a ＋＝(a >1)的值域是(0，＋∞)．( ) (6)函数y ＝2x －1
是指数函数．( )
二．基础练习
1．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图像经过点P (2，1
2)，则f (－1)等于( )
A.
22 B. 2 C.1
4
D ．4 2．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x －
2＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3)C ．(3,2)
D ．(2,2)
3．已知113
344333
(),(),(),552
a b c ---===则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c <a <b
B ．a <b <c
C ．b <a <c
D ．c <b <a
(1)定义域：R
4
．计算：11
03437()()826-⨯-+=________.
5．函数y ＝8－23－
x (x ≥0)的值域是________
三、典型例题 题型一 指数幂的运算
例1
化简下列各式：12
2.5053
(1)[(0.064)]π;--
4
1233
3
22
33
8(2)
(-4a a b
a a
b a -
-÷+
跟踪训练1.计算：220.5
33342(1)(3)(5)(0.008);8925
---+⨯ (2)已知11
223,x x -+=计算：x 2＋x －2－7x ＋x －1
＋3.
题型二 指数函数的图像及应用
例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个
D ．4个
(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0
B ．a <0，b ≥0，c >0
C ．2－
a <2c D ．2a ＋2c <2
(1)函数f (x )＝a x
－b
的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
(2)(2016·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用
例3 (1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A ．1.72.5>1.73
B ．0.6－
1>0.62 C ．0.8
－0.1
>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1
(2)(2016·陕西西安七十中期中)解关于x 的不等式3
11
x x
a a
-+≤(其中a >0且a ≠1)． 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数()|2|
2x m f x －＝(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．
(2)函数2
21
1()()2
x
x f x -++=的单调减区间为_______________．
引申探究
函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．命题点3 函数的值域(或最值) 例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x
＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________．
思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解． 跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[－3,0)
C ．[－3，－1]
D ．{－3}
(2)已知函数f (x )＝2x
－1
2x ，函数g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数
g (x )的最小值是________．
易错典例 (2016·日照模拟)已知函数22x x y b a ＋＝＋(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－3
2
，0]上有最大值3，最小
值52， 则a ，b 的值分别为________．2,2或23，32
【答案】【思考辨析】×××××× 二、1 B 2 B 3 D 4。

2 5。

[0,8)．
三、例1.解 (1)原式＝2115
3
532
6427[(
)]()11000
8-⎧⎫⎪--⎨⎬⎪⎭⎩1521
()33
523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝1
111121333333332
1111
11122333335
2[()(2)]
2()()(2)(2)()a a b a b a a a
a a
b b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅51116
333
1
11336(2)2a a a a b a b a =-⨯⨯-12
23
3.a a a a =⨯⨯= 跟踪训练1.解 (1)原式221
332274982()()()89100025
--=-+⨯
221323
3323722[()][()][()]231025--=-+⨯ ＝(32)－2－73＋(210)－2×225＝49－73＋2＝1
9
. 1
12
12
2(2)()29,x x x x -
-+=++=所以x ＋x －1＝7. (x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝49，
所以x
2
＋x －2＝47.所以原式＝
47－7
7＋3
＝4. 例2．答案 (1)B (2)D 解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.
(2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图像，如图，
∵a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图像知，0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1. ∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2，故选D.
跟踪2.答案 (1)D (2)[－1,1]
解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上是减少的，所以0<a <1.
函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0，故选D.
(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．
例3 (1)答案 B 解析 选项B 中，∵y ＝0.6x 是减函数，∴0.6－1>0.62.
（2）解 ①当a >1时，x －3x ＋1≤－1，∴x －3
x ＋2≤0，∴x 2＋2x －3x ≤0，∴(x ＋3)(x －1)x ≤0，∴x ≤－3或0<x ≤1；
②当0<a <1时，x －3
x ＋1≥－1，∴x 2＋2x －3x
≥0，∴－3≤x <0或x ≥1.
综上，当a >1时，x ∈(－∞，－3)∪(0,1]；当0<a <1时，x ∈[－3,0)∪[1，＋∞)． 例4 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]
解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上是增加的，在区间(－∞，m
2]上是减少的．而y ＝2t 为R 上
的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有m
2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．
(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭
⎫12u 在R 上为减函数，∴函数2211()()2
x x f x -++=的减区间即为函数u ＝－x 2
＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 引申探究 答案 [0，＋∞) 例5答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)1
3或3 跟踪3答案 (1)B (2)0
解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－3
2
，0]，∴t ∈[－1,0]．
①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈[1
a ，1]，221[1]x x
b a b b a
∈＋＋＋，＋， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈[1，1
a ]，则221[1]x x
b a b b a
∈＋＋＋，＋， 依题意得⎩⎨⎧
b ＋1
a
＝3，b ＋1＝5
2
，解得⎩⎨⎧
a ＝23
，
b ＝3
2.
综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝2或⎩⎨⎧
a ＝2
3
，b ＝32.
答案 2,2或23，3
2
纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论．。