∥3套精选试卷∥2020年临沂市九年级上学期数学期末练兵模拟试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列一元二次方程中两根之和为﹣3的是（ ）
A ．x 2﹣3x+3＝0
B ．x 2+3x+3＝0
C ．x 2+3x ﹣3＝0
D ．x 2+6x ﹣4＝0 【答案】C
【分析】利用判别式的意义对A 、B 进行判断；根据根与系数的关系对C 、D 进行判断．
【详解】A ．△=(﹣3)2﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以A 选项错误；
B ．△=32﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以B 选项错误；
C ．方程x 2+3x ﹣3=0的两根之和为﹣3，所以C 选项正确；
D ．方程x 2+6x ﹣4=0的两根之和为﹣6，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，
x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a
=．也考查了判别式的意义．
2．下列几何体中，同一个几何体的主视图与左视图不同的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左侧面、上面看，得到的图形，根据要求判断每个立体图形对应视图是否不同即可．
【详解】解：A ．圆的主视图是矩形，左视图是圆，故两个视图不同，正确．
B ．正方体的主视图与左视图都是正方形，错误．
C ．圆锥的主视图和俯视图都是等腰三角形，错误．
D ．球的主视图与左视图都是圆，错误．
故选：A
【点睛】
简单几何体的三视图，此类型题主要看清题目要求，判断的是哪种视图即可．
3．二次函数224y x x =-+图像的顶点坐标是（ ）
A ．()1,2-
B ．()1,1-
C ．()1,1
D ．()1,2
【答案】D
【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．
【详解】∵2
24y x x =-+ ()
22211x x =--+-
22(1)2x =--+， ∴二次函数2
24y x x =-+的顶点坐标为()12，． 故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．
4．某厂今年3月的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x ，则列出的方程正确的是（ ）
A ．50（1+x ）=72
B ．50（1+x ）＋50（1+x ）2=72
C ．50（1+x ）×2=72
D ．50（1+x ）2=72
【答案】D
【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1+增长率）=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．
【详解】4月份产值为：50（1+x ）
5月份产值为：50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2=72
故选D ．
点睛：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
5．如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．甲和丙
D ．乙和丁
【答案】C 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 2210； 253；
丙中的三角形的三边分别是：2，25
丁中的三角形的三边分别是：317，2；
只有甲与丙中的三角形的三边成比例：
2210 22225
==，
∴甲与丙相似．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．
6．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）
A．B．8 C．10 D．16
【答案】C
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明
△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【详解】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AE：AB，
∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=2：5，
∵EF=4，
∴4：BC=2：5，
∴BC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=1．
【点睛】
本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．
7．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不
重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B
【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.
【详解】解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13
圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度=360°×
23
=240°， ∴留下的扇形的弧长=24061880
ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ； 故选：B.
【点睛】
此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．若关于x 的方程20x m -=有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m <
B ．0m ≤
C ．0m >
D ．0m ≥
【答案】D
【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m 的取值范围.
【详解】解：20x m -= 2x m =
∵关于x 的方程20x m -=有实数根
∴0m ≥
故选：D
【点睛】
本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.
9．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ） A ．'k k >
B ．'k k <
C ．'k k =
D ．无法判断
【答案】B
【分析】设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：()()()22212111721721721n k x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦
- ()()()()2222'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=
-+-++-+-⎣⎦ ()()()2221211172172172n x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣
⎦ ∵111
n n <- ∴
()()()()()()222222121121111721721721721721721n n x x x x x x n n --⎡⎤⎡⎤-+-++-<-+-++-⎣
⎦⎣⎦
-即'k k <
故选B ．
【点睛】 此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
10．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A ．经过任意两点画一条直线
B ．任意画一个五边形，其外角和为360°
C ．过平面内任意三个点画一个圆
D ．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 【答案】C
【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A 、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误；
B 、任意画一个五边形，其外角和为360°，是必然事件，故此选项错误；
C 、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误；
D 、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了随机事件的定义，有可能发生有可能不发生的时间叫做随机时间，正确掌握相关性质是解题关键．
11．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在O 上，CD 垂直平分AB 于点D ，
现测得8dm AB =，2dm DC =，则圆形标志牌的半径为（ ）
A ．6dm
B ．5dm
C ．4dm
D ．3dm
【答案】B 【分析】连结OD ，OA ，设半径为r ，根据垂径定理得4,2AD OD r ==- ，在Rt ADO ∆中，由勾股定
理建立方程，解之即可求得答案.
【详解】连结OD ，OA ，如图，设半径为r ，
∵8AB =，CD AB ⊥，
∴4=AD ，点O 、D 、C 三点共线，
∵2CD =，
∴2OD r =-，
在Rt ADO ∆中，
∵222AO AD OD =+，，
即2224(2)r r =+-，
解得=5r ，
故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
12．反比例函数m y x
=的图象如图所示，以下结论：
① 常数m ＜－1；
② 在每个象限内，y 随x 的增大而增大；
③ 若A （－1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k ；
④ 若P （x ，y ）在图象上，则P′（－x ，－y ）也在图象上.
其中正确的是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】C
【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m ＞0，故①错误；
在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故②错；
对于③，将A 、B 坐标代入，得：h ＝－m ，m k 2=
，因为m ＞0，所以，h ＜k ，故③正确； 函数图象关于原点对称，故④正确．
因此，正确的是③④．故选C ．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知函数2(1)m y m x -=+是反比例函数，则m =________．
【答案】1
【分析】根据反比例函数的定义可得|m|-2=-1，m+1≠0，求出m 的值即可得答案． 【详解】∵函数2(1)m y m x
-=+是反比例函数， ∴|m|-2=-1，m+1≠0，
解得：m=1．
故答案为：1
【点睛】
考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y ＝
k x
（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
14．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______.
【答案】－5.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根， ∴12121
4x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，
故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，
12x x q =．
15．在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，正方形111A B C C 的面积为______，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，……按这样的规律进行下去，正方形2018201820182017A B C C 的面积为______.
【答案】11.25
2018
9
5
4
⎛⎫⨯ ⎪
⎝⎭
【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，再求出AB，BA1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴11 2
BA OA
AB OD
==，∵5，
∴BA11
5 2
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A13
5
2
，
第2个正方形A1B1C1C的面积3
5
2
2=11.25
同理第3个正方形的边长是=（3
2
）5
第4个正方形的边长是（3
2
）5，
第2019个正方形的边长是（3
2
）5
面积是[（3
2
）52=5×（
3
2
）2018×2=
2018
9
5
4
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
故答案为：(1)11.25；(2)
2018
9
5
4
⎛⎫⨯ ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．
16．若
1
cos tan30
2
A B
-+-=，那么△ABC的形状是___．
【答案】等边三角形
【分析】由非负性和特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：
1
cos tan30
2
A B
-+-=，
∴
1
cos
2
A=，tan3
B=，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，正确得到∠A和∠B的度数．
17．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），
那么点P落在双曲线y=6
x
上的概率为____．
【答案】1 9
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出P坐标落在双曲线上的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：
所有等可能的情况数有36种，其中P（x，y）落在双曲线y=6
x
上的情况有4种，
则P=
4
36
=
1
9
．
故答案为1 9
【点睛】
本题考查列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征，掌握概率的求法是解题关键． 18．在ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3AC AE =，45CDE ∠=（如图），DCE ∆沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在ABC ∆内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果BG AE =，那么tan B =__________．
【答案】37
【分析】设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠ ，可得2k EC = ，由折叠的性质可得2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠ ，根据相似三角形的性质可得
13AE EF AC GC == ,即36k GC EF == ，即可求tan B 的值 ．
【详解】根据题意，标记下图
∵90ACB ∠=︒ ，45CDE ∠=︒
∴45DEC ∠=︒
∵3AC AE =
∴设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠
∴2k EC =
∵DEF 由CDE △ 折叠得到
∴2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠
∴90FEC ∠=︒ ，且90ACB ∠=︒
∴EF BC ∥
∴AEF ACG ∽△△ ∴13
AE EF AC GC == ∴36k GC EF ==
∴7k BC BG GC =+= ∴3tan =7
AC B BC = 故答案为37 ．
【点睛】
本题考查了三角形的折叠问题，理解折叠后的等量关系，利用代数式求出tan B 的值即可．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （A 、C 、D 共线）处同时施工．测
得∠CAB ＝30°，223(0,3),
331-1,0,
2-3-1,03y ax bx C OC OC OB OB B A B y ax bx =+--∴==∴=∴=+-由得，
，
，
（）把（，），（）代入得，∠ABD ＝105°，求AD 的长．
【答案】
2(31+)km
【分析】作BE ⊥AD 于点E ，根据∠CAB=30°，∠ABD=105°，可以求得∠ABE 和∠DBE 的度数以及BE 、DE 的长，进而求得AE 的长，然后可求得AD 的长．
【详解】作BE ⊥AD 于点E ，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABD=105°，
∴∠EBD=45°，
∴∠EDB=45°，
∵BD22km
=，
∴BE=DE=2km，
∴AE=0
23
tan303
AE
==
，
∴AD=AE+DE=23+2=2(31
+)km
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（
1
2
，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值
27
8
，点E坐标为（
3
2
，﹣
21
4
）．
【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；
（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；
（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S 与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．
【详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，
得
420
6
b c
c
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）在y＝x2﹣x﹣6中，
对称轴为直线x＝1
2
，
∵点A与点B关于对称轴x＝1
2
对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，
将点B（3，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当x＝1
2
时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（1
2
，﹣5）；
（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC
＝1
2
×6a+
1
2
×3（﹣a2+a+6）﹣
1
2
×3×6
＝﹣3
2
a2+
9
2
a
＝﹣3
2
（a﹣
3
2
）2+
27
8
，
根据二次函数的图象及性质可知，当a＝3
2
时，△BCE的面积有最大值
27
8
，
当a=3
2
时,
2
2
3321
66
224
a a
⎛⎫
=--=-
⎪
⎝⎭
﹣﹣
∴此时点E坐标为（3
2
，﹣
21
4
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，难度适中，第三问解题关键是找出面积与a的关系式，再利用二次函数的图像与性质求最值.
21．已知二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图像与x轴相交于A、B两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A、B位于原点的两侧，求m的取值范围．
【答案】（1）m＜1；（2）m＜0
【分析】（1）根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0然后利用根的判别式确定取值范围；（2）由题意得：x1x2＜0，即m＜0，即可求解；
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴相交于A、B两点
则方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
∴4-4m＞0，
解得：m＜1；
（2）∵点A、B位于原点的两侧
则方程x2－2x＋m=0的两根异号，即x1x2＜0
∵
12c
x x m
a
==
∴m＜0
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目．
22．如图，正方形ABCD中，AB=5O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.
(1)若A ，E ，O 三点共线，求CF 的长；
(2)求△CDF 的面积的最小值.
【答案】 (1)CF=3；(2)1025-. 【分析】
（1）由正方形的性质可得AB=BC=AD=CD=25，根据勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋转的性质可得DE=DF ，∠EDF=90°，根据“SAS”可证△ADE ≌△CDF ，可得AE=CF=3；
（2）由△ADE ≌△CDF ，可得S △ADE =S △CDF ，当OE ⊥AD 时，S △ADE 的值最小，即可求△CDF 的面积的最小值．
【详解】(1)由旋转得：EDF 90∠=︒，ED DF =，
∵O 是BC 边的中点，
∴1BO BC 52
==， 在Rt ΔAOB 中，22AO AB BO 2055=+=+=，
∴AE AO EO 523=-=-=，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴ADC 90∠=︒，AD CD =，
∴ADC EDF ∠∠=，
即ADE EDC EDC CDF ∠∠∠∠+=+，
∴ADE CDF ∠∠=，
在ΔADE 和ΔCDF 中AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔADE ΔCDF ≅，
∴CF AE 3==；
（2）由于OE 2=，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，
过点E 作EH AD ⊥于点H ，
∵ΔADE ΔCDF ≅，
∴ΔADE ΔCDF S S =，
当O ，E ，H 三点共线，EH 最小，EH OH OE 252=-=-， ∴ΔCDF ΔADE 1S S AD EH 10252==
⨯⨯=-. 【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE ≌△CDF 是本题的关键．
23．（π﹣3.14）0+（
12）﹣1﹣|8﹣3| 【答案】22
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（π﹣3.14）0+（
12
）﹣1﹣|8﹣3| ＝1+2﹣3+22
＝22
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
24．如图，E 、F 分别为线段AC 上的两个点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，若AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：BF ＝DE ．
【答案】详见解析．
【分析】由题意根据DE ⊥AC ，BF ⊥AC 可以证明∠DEC ＝∠BFA ＝90°，由“HL”可证Rt △ABF ≌Rt △CDE 可得BF ＝DE ．
【详解】解：证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°．
∵AE ＝CF ，
∴AE+EF ＝CF+EF ，即AF ＝CE ．
在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，
AB CD AF CE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），
∴BF ＝DE.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及考查全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt △ABF ≌Rt △CDE 是解题的关键．
25．如图，=AC BC ，D 、E 分别是半径OA 和OB 的中点，求证：CD ＝CE ．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OC ，证明三角形△COD 和△COE 全等；然后利用全等三角形的对应边相等得到CD=CE ．
【详解】解：连接OC ．
在⊙O 中，∵=AC BC ，∴∠AOC=∠BOC ，
∵OA=OB ，D ．E 分别是半径OA 和OB 的中点，
∴OD=OE ，∵OC=OC （公共边），
∴△COD ≌△COE （SAS ），
∴CD=CE （全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
26．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x 轴相切于点B ． （1）当x=2时，求⊙P 的半径；
（2）求y 关于x 的函数解析式；判断此函数图象的形状；并在图②中画出此函数的图象；
（3）当⊙P 的半径为1时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点C 、D ，其中交点D （m ，n ）在点
C 的右侧，请利用图②，求cos ∠AP
D 的大小．
【答案】（1）圆P 的半径为54；（2）画出函数图象，如图②所示；见解析；（3）cos ∠APD=PE PD
=52-. 【解析】（1）由题意得到AP=PB ，求出y 的值，即为圆P 的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB ，确定出y 关于x 的函数解析式，画出函数图象即可； （3）画出相应图形，求出m 的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
【详解】（1）由x=2，得到P （2，y ），连接AP ，PB ，
∵圆P 与x 轴相切，∴PB ⊥x 轴，即PB=y ，
由AP=PB ，得到21(2)y y +-= ，解得：y=54，则圆P 的半径为54
（2）同（1），由AP=PB ，得到（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=y 2，
整理得：2
11
14y x =-+（） 图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；
（3）连接CD ，连接AP 并延长，交x 轴于点F ，
设PE=a ，则有EF=a+1，ED=
21a -，∴D 坐标为（21a -a+1）， 代入抛物线解析式得：211(1)14
a a +=-+，解得：25a =-+25a =-， 即52，在Rt △PED 中，52，PD=1，
则cos ∠APD=PE PD =52-. 【点睛】 本题属于圆的综合题，涉及的知识点主要有两点间的距离公式，勾股定理，二次函数的图象和性质，圆的定义，圆的切线的性质，弄清题意是解决本题的关键.
27．如图，已知直线2y x b =+与y 轴交于点C ，与反比例函数y k x
=
的图象交于(2,)A n -，(,4)B m 两点，AOC △的面积为2.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求B 点坐标和反比例函数的解析式.
【答案】（1）22y x =+（1）(1,4)B ;4y x
= 【分析】（1）作AH ⊥y 轴于H ．根据△AOC 的面积为1，求出OC ，得到点C 的坐标，代入y=1x+b 即可结论；
（1）把A 、B 的坐标代入y=1x+1得：n 、m 的值，进而得到点B 的坐标，即可得到反比例函数的解析式．
【详解】（1）作AH ⊥y 轴于H ．
∵A （-1，n ），
∴AH=1．
∵△AOC 的面积为1，
∴12
OC ⋅AH=1， ∴OC=1，
∴C （0，1），把C （0，1）代入y=1x+b 中得：b=1，
∴一次函数的解析式为y=1x+1．
（1）把A 、B 的坐标代入y=1x+1得：n=-1，m=1，
∴B （1，4）．
把B（1，4）代入
k
y
x
=中，k=4，
∴反比例函数的解析式为
4
y
x =．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合．根据△AOC的面积求出点C的坐标是解答本题的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点
O为位似中心缩小为原图形的1
2
，得到△COD，则CD的长度是（）
A．2 B．1 C．4 D．5
【答案】A
【解析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为
原图形的1
2
，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．3．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A．x2 = 0 B．x2 = 4 C．x2﹣2x﹣1 = 0 D．x2 +1 = 0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，逐一判断选项，即可．
【详解】A. x2 = 0，解得：x1=x2=0，故本选项符合题意；
B. x 2 = 4，解得：x 1=2，x 2=-2，故本选项不符合题意；
C. x 2﹣2x ﹣1 = 0，2=(-2)41(1)80∆-⨯⨯-=>，有两个不相等的根，故不符合题意；
D. x 2 +1 = 0，方程无解，故不符合题意．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键． 4．若反比例函数(0)k y k x =
≠的图象经过点(1,2)-，则这个函数的图象一定还经过点（ ） A ．(2,1)-
B ．(,)122-
C ．(2,1)--
D ．1(,2)2
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义，得122k xy ==-⨯=-，分别判断各点的乘积是否等于2-，即可得到答案. 【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x
=≠的图象经过点(1,2)-， ∴122k xy ==-⨯=-；
∵2(1)2⨯-=-，故A 符合题意； ∵1()212-⨯=-，2(1)2-⨯-=，
1212⨯=，故B 、C 、D 不符合题意； 故选：A.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握=k xy .
5．若关于x 的一元二次方程2304kx x --
=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =
B ．13k ≥-
C ．13k ≥-且0k ≠
D ．13k >- 【答案】C
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为1．
【详解】∵关于x 的一元二次方程2304kx x --
=有实数根， ∴△=b 2-4ac ≥1，
即：1+3k ≥1， 解得：13
k ≥-，
∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=1中k ≠1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 6．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②a+b+c ＝2；③abc ＜0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①∵抛物线与x 轴有两不同的交点，
∴△＝b 2﹣4ac ＞1．
故①正确；
②∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象经过点（1，2），
∴代入得a+b+c ＝2．
故②正确；
③∵根据图示知，抛物线开口方向向上，
∴a ＞1．
又∵对称轴x ＝﹣
2b a
＜1， ∴b ＞1．
∵抛物线与y 轴交与负半轴，
∴c ＜1，
∴abc ＜1．
故③正确；
④∵当x ＝﹣1时，函数对应的点在x 轴下方，则a ﹣b+c ＜1，
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之
间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．二次函数2y x 的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A ．22y x =+
B ．22y x =-
C ．2(2)y x =+
D ．2(2)y x =- 【答案】C
【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵二次函数2y x 的图象向左平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），
∴新的图象的二次函数表达式是：2
(2)y x =+；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
8．如图，AB 与⊙O 相切于点A ，BO 与⊙O 相交于点C ，点D 是优弧AC 上一点，∠CDA ＝27°，则∠B 的大小是（ ）
A ．27°
B ．34°
C ．36°
D ．54°
【答案】C 【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．
【详解】解：∵AB 与⊙O 相切于点A ，
∴OA ⊥BA ．
∴∠OAB=90°．
∵∠CDA=27°，
∴∠BOA=54°．
∴∠B=90°-54°=36°．
故选C ．
考点：切线的性质．
9．下列等式中从左到右的变形正确的是（ ）．
A ．235a a a ⋅=
B ．2(3)3-=-
C ．a ac b bc =
D ．23a a a ÷=
【答案】A 【分析】根据同底数幂乘除法和二次根式性质进行分析即可．
【详解】A.235a a a ⋅=,正确；
B.2(3)33-=-=，错误；
C.a ac b bc
=，c 必须不等于0才成立，错误； D.2
31a a a ，错误 故选：A ．
【点睛】
考核知识点：同底数幂除法，二次根式的化简，掌握运算法则是关键．
10．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（ ）
A ．45
B ．43
C ．10
D ．8
【答案】A 【分析】连接AE ，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC ，AE=CE ，证明△AOF ≌△COE 得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC 即可．
【详解】解：如图，连结AE ，
设AC 交EF 于O ，
依题意，有AO ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∠OAF ＝∠OCE ，
所以，△OAF ≌△OCE （ASA ），
所以，EC ＝AF ＝5，
因为EF 为线段AC 的中垂线，
所以，EA ＝EC ＝5，
又BE ＝3，由勾股定理，得：AB ＝4，
所以，AC＝2216
++2
＝（3+5）＝45
AB BC
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.
11．下列事件中，必然事件是（）
A．2a一定是正数
B．八边形的外角和等于360︒
C．明天是晴天
D．中秋节晚上能看到月亮
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A、a2一定是非负数，
则a2一定是正数是随机事件；
B、八边形的外角和等于360°是必然事件；
C、明天是晴天是随机事件；
D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；
故选B．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是轴对称图案，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图案，故本选项符合题意；
C、是轴对称图案，故本选项不符合题意；
D 、是轴对称图案，故本选项不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．因式分解：334-=a b ab ____.
【答案】()()2121ab ab ab +-
【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式分解即可得答案.
【详解】4a 3b 3-ab
=ab(a 2b 2-1)
=ab(ab+1)(ab-1)
故答案为：ab(ab+1)(ab-1)
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，根据题目的特点，灵活运用适当的方法是解题关键.
14．在锐角△ABC 中，若sinA=12，则∠A=_______° 【答案】30° 【分析】由题意直接利用特殊锐角三角函数值即可求得答案.
【详解】解：因为sin30°=
12，且△ABC 是锐角三角形， 所以∠A=30°.
故填：30°.
【点睛】
本题考查特殊锐角三角函数值，熟记特殊锐角三角函数值是解题的关键.
15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=1．分别以A 、B 、C 为圆心，以AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______.
【答案】12
π- 【分析】三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．
【详解】解：阴影部分的面积为：1×1÷1-
901360π⨯-451360π⨯-451360π⨯=1-2π． 故答案为1-2
π．。