2009年北京市高考数学试卷(理科)

2009年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2009•北京）在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（5分）（2009•北京）已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，()c ka b k R =+∈，d a b =-，如果//c d ，那么( )
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
3．（5分）（2009•北京）为了得到函数3
10
x y lg +=的图象，只需把函数y lg = x 的图象上所有的点( )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．（5分）（2009•北京）若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60︒角，则11A C 到底面ABCD 的距离为( )
A B ．1 C
D 5．（5分）（2009•北京）“2()6
k k Z π
απ=+∈”是“1
cos22
α=
”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2009•北京）若5(1a a =+，b 为有理数），则(a b += ) A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
7．（5分）（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
8．（5分）（2009•北京）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，
B 两点，且||||PA AB =，则称点P 为“
点”，那么下列结论中正确的是( )
A ．直线l 上的所有点都是“点”
B ．直线l 上仅有有限个点是“点”
C ．直线l 上的所有点都不是“
点”
D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）（2009•北京）1
lim
1
x x x x
x →-=- ． 10．（5分）（2009•北京）若实数x ，y 满足2045x y x y +-⎧⎪
⎨⎪⎩
则s y x =-的最小值为 ．
11．（5分）（2009•北京）设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线的斜率为1，则该曲线在(1-，(1))f -处的切线的斜率为 ．
12．（5分）（2009•北京）椭圆22192
x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，
则2||PF = ，12F PF ∠的大小为 ．
13．（5分）（2009•北京）若函数1
0()1()03
x x x
f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩则不等式1
|()|
3
f x 的解集为 ． 14．（5分）（2009•北京）{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n N ∈则2009a = ；2014a = ．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）（2009•北京）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，
4
cos ,35
A b =
（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
16．（14分）（2009•北京）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，60ABC ∠=︒，90BCA ∠=︒，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且//DE BC ．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．
17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min ．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望． 18．（13分）（2009•北京）设函数()(0)kx f x xe k =≠． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围．
19．（14分）（2009•北京）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>3程为3
x =
()I 求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0(P x ，000)(0)y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，证明AOB ∠的大小为定值．
20．（13分）（2009•北京）已知数集1{A a =，2a ，⋯，12}(1n n a a a a <<⋯，2)n 具有性质P ；对任意的i ，(1)j i j n ，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A ．
()I 分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）证明：11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+； （Ⅲ）证明：当5n =时，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列．
2009年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【考点】1A ：虚数单位i 、复数；5A ：复数的运算 【专题】11：计算题
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为(,)a bi a b R +∈的形式，即可确定复数z 所在象限． 【解答】解：
(12)22z i i i i i =+=+=-+，
∴复数z 所对应的点为(2,1)-，
故选：B ．
【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查． 2．（5分）已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，()c ka b k R =+∈，d a b =-，如果//c d ，那么(
)
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【考点】9K ：平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】11：计算题
【分析】根据所给的选项特点，检验1k =是否满足条件，再检验1k =-是否满足条件，从而选出应选的选项． 【解答】解：
(1,0)a =，(0,1)b =，若1k =，
则(1,1)c a b =+=，(1,1)d a b =-=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．
若1k =-，则(1,1)c a b =-+=-，(1,1)d a b =-=-， 即//c d 且c 与d 反向，排除C ， 故选：D ．
【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向
量坐标的若干倍． 3．（5分）为了得到函数3
10
x y lg
+=的图象，只需把函数y lg = x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【考点】3A ：函数的图象与图象的变换
【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案． 【解答】解：
3
(3)110
x y lg
lg x +==+-， ∴只需把函数y lgx =的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．
4．（5分）若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60︒角，则11
A C 到底面ABCD 的距离为( ) A ．
3
3
B ．1
C ．2
D ．3
【考点】LS ：直线与平面平行
【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题
【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可． 【解答】解：依题意，1BB 的长度即11A C 到上面ABCD 的距离， 160B AB ∠=︒，11tan 603BB =⨯︒=，
故选：D ．
【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，
属于基础知识、基本运算的考查． 5．（5分）“2()6
k k Z π
απ=
+∈”是“1
cos22
α=
”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；9G ：任意角的三角函数的定义；GS ：二倍角的三角函数
【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将26
a k π
π=+代入cos2a 易得1cos22a =
成立，但1
cos22
a =时，2()6
a k k Z π
π=
+∈却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．
【解答】解：当2()6
a k k Z π
π=
+∈时，
1
cos2cos(4)cos 332
a k πππ=+==
反之，当1
cos22
a =时， 有22()3
6
a k a k k Z π
π
ππ=+⇒=+∈， 或22()3
6
a k a k k Z π
π
ππ=-⇒=-
∈，
故选：A ．
【点评】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题
q 的充分不必要条件；②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要
不充分条件；③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
6．（5分）若5(1a a =+，b 为有理数），则(a b += ) A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
【考点】DA ：二项式定理 【专题】11：计算题
【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出
a ，
b ，求出a b +
【解答】解析：由二项式定理得：
512233445
555555(12)12(2)(2)(2)(2)C C C C C +=+++++
152202022042=+++++ 41292=+，
41a ∴=，29b =，70a b +=．
故选：C ．
【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．
7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
【考点】3D ：计数原理的应用 【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数． 【解答】解：由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，
因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256⨯⨯= 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172⨯⨯=
根据分类计数原理知共有25672328+= 故选：B ．
【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
8．（5分）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且||||PA AB =，则称点P 为“
点”，那么下列结论中正确的是( ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“
点”
C ．直线l 上的所有点都不是“点”
D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
【考点】IR ：两点间的距离公式
【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型
【分析】根据题设方程分别设出A ，P 的坐标，进而B 的坐标可表示出，把A ，B 的坐标代入抛物线方程联立消去y ，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l 上的所有点都符合．
【解答】解：设(,)A m n ，(,1)P x x -则，(2,21)B m x n x --+
A ，
B 在2y x =上
2n m ∴=，221(2)n x m x -+=-
消去n ，整理得关于x 的方程 2(41x m --2)210x m +-= △28850m m =-+>恒成立，
∴方程恒有实数解， ∴故选A ．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）1
x x x x →-=
1
2
． 【考点】6F ：极限及其运算 【专题】11：计算题
【分析】通过因式分解把原式转化为(1)(1)(1)
x x x x x →-=-+，消除零因子后得到1
x x →+，
由此能够得到1
x x x x
→-的值． 【解答】解：1
x x x x
→- 1
(1)(1)(1)
x x x x x →-=-+
1
lim
1
x x x →=+
11112
=
=+． 故答案为：
12
． 【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．
10．（5分）若实数x ，y 满足2045x y x y +-⎧⎪
⎨⎪⎩
则s y x =-的最小值为 6- ．
【考点】7C ：简单线性规划
【分析】①画可行域如图②目标函数s 为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过(4,2)-点时s 有最小值．
【解答】解：画可行域如图阴影部分，令0s =作直线:0l y x -= 平移l 过点(4,2)A -时s 有最小值6-， 故答案为6-．
【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法 目标函数几何意义
11．（5分）设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线的斜率为1，则该曲线在(1-，(1))f -处的切线的斜率为 1- ． 【考点】3I ：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义
【分析】偶函数关于y 轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题． 【解答】解；取2()1f x x =-，如图，
易得该曲线在(1-，(1))f -处的切线的斜率为1-． 故应填1-．
【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．
12．（5分）椭圆22192
x y +=的焦点为1F 、2F ，
点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = 2 ，12F PF ∠的大小为 ．
【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】第一问用定义法，由12||||6PF PF +=，且1||4PF =，易得2||PF ；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解． 【解答】解：12||||26PF PF a +==， 21||6||2PF PF ∴=-=．
在△12F PF 中， 12cos F PF ∠
222
121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=
164281
2422
+-=
=-⨯⨯，
12120F PF ∴∠=︒．
故答案为：2；120︒
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位． 13．（5分）若函数1
0()1()03
x x x
f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩则不等式1
|()|
3
f x 的解集为 [3-，1] ． 【考点】7E ：其他不等式的解法
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想
【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集． 【解答】解：①由01|()|
30113||
3x f x x x <⎧⎪
⇒⇒-<⎨⎪⎩． ②由001|()|
0111113|()|
()3
33
3x x x x f x x ⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩．
∴不等式1
|()|
3
f x 的解集为|31x x -， 故答案为：[3-，1]．
【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算． 14．（5分）{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n N ∈则2009a = 1 ；2014a = ． 【考点】81：数列的概念及简单表示法 【专题】16：压轴题
【分析】由431n a -=，410n a -=，2n n a a =，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为50343⨯-，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而100725241=⨯-，所以第2014项是0．
【解答】解：200950343=⨯-， 20091a ∴=， 20141007a a =，
100725241=⨯-，
20140a ∴=，
故答案为：1，0．
【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,3a b c B π
=，4
cos ,5
A b = （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题 【分析】（Ⅰ）由4
cos 5
A =
得到A 为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，根据三角形的内角和定理得到3
C A π
π=-
-，然后将C 的值代入sin C ，利用两角差的正
弦函数公式化简后，将sin A 和cos A 代入即可求出值；
（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式1
sin 2
S ab C =和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，
所以利用正弦定理求出a 即可． 【解答】解：（Ⅰ）
A 、
B 、
C 为ABC ∆的内角，且4
,cos 03
5
B A π
=
=
>， A ∴为锐角，
则3sin 5
A ∴23
C A π
=
-
21sin sin(
)sin 32C A A A π∴=-+；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
sin 5
A =，sin C =，
又
,
3
B b π
=
=
∴在ABC ∆中，由正弦定理，得
sin 6
sin 5
b A a B ∴=
=，
ABC ∴∆的面积1163433693
sin 32251050
S ab C ++==⨯⨯⨯
=． 【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．
16．（14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，60ABC ∠=︒，90BCA ∠=︒，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且//DE BC ．
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．
【考点】MI ：直线与平面所成的角；MJ ：二面角的平面角及求法 【专题】11：计算题；14：证明题
【分析】（1）欲证BC ⊥平面PAC ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC 与平面
PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA BC ⊥，而AC BC ⊥，满足定理所
需条件；
（2）根据DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ，则DAE ∠是AD 与平面PAC 所成的角．在Rt ADE ∆中，求出AD 与平面PAC 所成角即可；
（3）根据DE AE ⊥，DE PE ⊥，由二面角的平面角的定义可知AEP ∠为二面角A DE P --的平面角，而PA AC ⊥，则在棱PC 上存在一点E ，使得AE PC ⊥，从而存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角．
【解答】解：（1）PA ⊥底面ABC ，PA BC ∴⊥． 又90BCA ∠=︒，AC BC ∴⊥，BC ∴⊥平面PAC ． （2）D 为PB 的中点，//DE BC ，
1
2
DE BC ∴=
． 又由（1）知，BC ⊥平面PAC ，
DE ∴⊥平面PAC ，垂足为点E ，
DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角． PA ⊥底面ABC ，PA AB ∴⊥．
又PA AB =，ABP ∴∆为等腰直角三角形，
12
AD AB ∴=
．
在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=︒，1
2
BC AB ∴=
， ∴在Rt ADE ∆中，2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==
， 即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为2
4
． （3）
//DE BC ，又由（1）知，BC ⊥平面PAC ，
DE ∴⊥平面PAC ．
又
AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PBC ，
DE AE ∴⊥，DE PE ⊥，
AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角． PA ⊥底面ABC ，PA AC ∴⊥，
90PAC ∴∠=︒，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE PC ⊥．
这时，90AEP ∠=︒，
故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角．
【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．
17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min ．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．
【考点】8C ：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG ：离散型随机变量及其
分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】11：计算题
【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．
（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．
【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ， 事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
∴事件A 的概率为1
114
()(1)(1)33327
P A =-⨯-⨯
= （Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：)min
事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯” (0k =，1，2，3，4)，
∴441
2(2)()()(0,1,2,3,4)33
k
k k P k C k ξ-===，
∴即ξ的分布列是
ξ∴的期望是163288180246881812781813
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率． 18．（13分）设函数()(0)kx f x xe k =≠．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围．
【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】()I 欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
()II 先求出()f x 的导数，根据()0f x '>求得的区间是单调增区间，()0f x '<求得的区间是
单调减区间即可；
()III 由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当1
1k
--时，
函数()(1f x -，1)内单调递增，若0k <，则当且仅当1
1k
-
时，函数()(1f x -，1)内单调递增，由此即可求k 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）()(1)kx f x kx e '=+，(0)1f '=，(0)0f =， 曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =； （Ⅱ）由()(1)0kx f x kx e '=+=，得1
(0)x k k =-≠，
若0k >，则当1
(,)x k
∈-∞-时，
()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当1
(x k
∈-，+∞，)时，()0f x '>，
函数()f x 单调递增，
若0k <，则当1
(,)x k
∈-∞-时，
()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1
(x k
∈-，+∞，)时，
()0f x '<，函数()f x 单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k
--，
即1k 时，函数()(1f x -，1)内单调递增， 若0k <，则当且仅当1
1k
-
， 即1k -时，函数()(1f x -，1)内单调递增， 综上可知，函数()(1f x -，1)内单调递增时， k 的取值范围是[1-，0)(0⋃，1]．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．
19．（14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>x =
()I 求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0(P x ，000)(0)y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于
不同的两点A ，B ，证明AOB ∠的大小为定值． 【考点】KJ ：圆与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想
【分析】()I 先利用条件列出关于a ，c 的方程解方程求出a ，c ，b ；即可求出双曲线方程．
()II 先求出圆的切线方程，
再把切线与双曲线方程联立求出关于点A ，B 坐标之间的方程，再代入求出AOB ∠的余弦值即可证明AOB ∠的大小为定值． 【解答】解：
（Ⅰ）由题意，2a c
c a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得1a =
，c = 2222b c a =-=，
∴所求双曲C 的方程2
2
12
y x -=．
（Ⅱ）设(P m ，)(0)n mn ≠在222x y +=上， 圆在点(,)P m n 处的切线方程为()m
y n x m n
-=--， 化简得2mx ny +=．
2
2122y x mx ny ⎧-
=⎪⎨
⎪+=⎩
以及222m n +=得 222(34)4820m x mx m --+-=，
切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且202m <<， 2340m -≠，且△222164(34)(82)0m m m =--->，
设A 、B 两点的坐标分别1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，
122
434
m
x x m +=-，21228234m x x m -=-．
cos ||||
OA OB
AOB OA OB ∠=
，
且12121201022
01
(2)(2)OA OB x x y y x x x x x x y =+=+
--
21212122
1
[42()]2x x m x x m x x m
=+
-++- 222222228218(82)[4]3423434m m m m m m m m --=+-+---- 2222828203434
m m m m --=-=--． AOB ∴∠的大小为090．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
20．（13分）已知数集1{A a =，2a ，⋯，12}(1n n a a a a <<⋯，2)n 具有性质P ；对任意的i ，(1)j i j n ，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A ．
()I 分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）证明：11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+； （Ⅲ）证明：当5n =时，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列． 【考点】8B ：数列的应用
【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论 【分析】()I 根据性质P ；对任意的i ，(1)j i j n ，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A ，
验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P ，知n n n a a a >，故n n a a A ∉，从而1n
n
a A a =
∈，11a =．再验证
又121
n n n n n n a a a a
a a a a -<<⋯<<，
1n
n a a =，2
1
n
n a a a -=，⋯，
12
n
n a a a -=，从而
12121
n n n n n n n a a a a
a a a a a a a -++⋯++=++⋯+，命题得证； （Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明
5342
24321
a a a a a a a a a ====即可． 【解答】解：（Ⅰ）由于3⨯与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P ．
由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，
62，63，11，2
2
，33，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P ．
（Ⅱ）1{A a =，2a ，⋯，}n a 具有性质P ，
n n a a ∴与
n
n
a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a <<⋯<，n n n a a a ∴> 故n n a a A ∉． 从而1n
n
a A a =
∈，11a =． 121n a a a =<<⋯，2n ，(2k n n a a a k ∴>=，3，4，⋯，)n ，
故(2k n a a A k ∉=，3，4，⋯，)n ． 由A 具有性质P 可知(2n
k
a A k a ∈=，3，4，⋯，)n ．
又
121
n n n n n n a a a a a a a a -<<⋯<<， ∴
1n n a a =，21
n n a
a a -=，⋯，12n n a a a -=，
从而
12121n n n n n n n a a a a
a a a a a a a -++⋯++=++⋯+， ∴且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时， 有
524a a a =，533
a a a =，即2
5243
a a a a ==， 1251a a a =<<⋯<，34245a a a a a ∴>=，34a a A ∴∉，
由A 具有性质P 可知
4
3
a A a ∈． 由2243a a a =，得
34
23
a a A a a =∈， 且3221a a a <
=，∴34223
a a
a a a ==， ∴
534224321
a a a a a a a a a ====， 即1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是首项为1，公比为2a 等比数列．
【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．
考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）
连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．。