两个重要的极限

两个重要的极限
§4 两个重要的极限
教学目的 :掌握两个重要极限,并能熟练应用。

教学要求 :掌握两个重要极限,牢记结论;掌握证明的基本思路和方法,并能灵活运用。

教学重点 :两个重要极限的证明及运用。

教学难点 :两个重要极限的证明及运用。

教学方法 :讲授定理的证明,举例说明应用,练习。

教学程序 :
一关于函数极限的性质
1)性质1-性质4常用于说明函数极限的一些性质。

例1. 设() 0f x >, 0lim () x x f x A →=
,证明:0lim x x →=例2. 设 0lim () x x f x A →=, 0
lim () x x g x B →=. (1) 若在某 00() U x 内有 () () f x g x <, 问是否有 A B ,则在某 00() U x 内有 () () f x g x >.
2)性质5-性质6(迫敛性、四则运算)常用于计算。

P 51: 1: (1) 2
22lim 2(sincos ) 22x x x x ππ→--=-; (2) 2201lim 121x x x x →-=--; (3) 22112lim 213x x x x →-=--;
(6) 43x →=; (8) 702070209090(36) (85) 38lim (51) 5x x x x →+∞+-⋅=-. 2: 2sin lim 04
x x x x →+∞=-. 例 0sin lim 1x x x
→=. 二、关于归结原则 (Heine定理 )
1. 定理的内容 :
2. 定理的意义 :
3. 定理的用途 :
1) 说明极限不存在,如 01lim sin x x
→的极限不存在; 2) 利用数列极限的性质证明函数极限的性质。

例1. 证明函数极限的唯一性。

例2. 证明函数极限四则运算。

例3. 证明单调有界定理。

3) 利用函数极限求数列极限。

例4.
1lim sin n n n →∞. 例5. 211lim(1) n n n
→∞+-. 4. 归结原则有不同的叙述(在不同的极限形式下) ,要注意灵活应用。

三、关于单调有界定理
1. 内容。

2. 意义。

四、关于 Cauchy 准则
1. 内容
2. 意义
3. 用途:
1) 证明lim () x f x →∞
存在; 2) 证明lim () x f x →+∞不存在。

如 1lim sin x x
→+∞。

证明中用到归结原则,数列极限的 Cauchy 准则。

§4 两个重要的极限
一 0sin lim
1x x x
→=的证明二 0sin lim 1x x x
→=的应用例1. 求 sin lim x x x
ππ→-. 例2. 求201cos lim x x x →-. 注 :利用归结原则,可求数列极限。

如求 1 sin
1lim lim sin 1n n n n
n
→∞→∞=,直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的; 但已知0s i n l i 1x x x →=, 故取 , (1, 2, ) n x n n
π== , 则0() n x n →→∞, 从而由归结原则 1sin lim () lim 0n n n f x n
→∞→∞==. 例3. 求0lim x tgx x →. 三证明 1lim 1x
x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或 ()10lim 1e ααα→+=. 四应用
例1. 求 ()10
lim 12x x x →+. 例2. 求 ()1
lim 1x x x →-. 例3. 求 211lim(1) n n n n
→∞+-.
练习:P39 4 1(1) 1n n ⎧
⎫+⎨⎬+⎩⎭
为递增数列。

P39 9 11
(1) n n +⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭为为递减数列。

P55 2 设 f 为定义在[, ) a +∞上的增(减)函数,证明:lim () x f x →+∞存在⇔f 在[, ) a +∞上有上(下)界。