2020-2021学年江西省景德镇一中高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年江西省景德镇一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共12分） 1．（5分）已知集合4{|0log 1}A x x =<<，2{|1}x B x e -=，则(A B = )
A ．(,4)-∞
B ．(1,4)
C ．(1,2)
D ．(1，2]
2．（5分）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数的是( ) A ．2||y x x =-
B ．||y lnx =
C ．||1y ln x =+
D ．3y x =
3．（5分）已知函数(2)f x -的定义域为[0，2]，则函数(21)f x -的定义域为( ) A ．[2-，0]
B ．[1-，3]
C ．3[2，5
]2
D ．1[2-，1
]2
4．（5分）设524a =，1
3
1
log 10b =
，3log c =，则( ) A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
5．（5分）若()f x 对任意实数x 恒有2()()31f x f x x --=+，则()(f x = ) A ．1x -
B ．1x +
C ．21x +
D ．33x +
6．（5分）函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，则(1)f f -（1）的值( ) A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．与0的大小关系无法确定
7．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[m ，]n D ⊆，
使()f x 在[m ，]n 上的值域为11
[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”．现有
()log ()x a f x a k =+，(0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞
B ．1
(,)4-∞
C ．1
(0,)4
D ．1
(0,]4
8．（5分）在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =，()log a g x x =的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）设函数21
()122
x x
f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.3]2=，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为( ) A ．{0}
B ．{1-，0}
C ．{1-，0，1}
D ．{2-，0}
10．（5分）设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是( )
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,log 3)a -∞
D ．(log 3a ，)+∞
11．（5分）已知函数2,0
()(),0kx x f x k R lnx x +⎧=∈⎨
>⎩
．若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．2k -
B ．21k -<-
C ．10k -<<
D ．2k
12．（5分）已知x ，(0,)y ∈+∞，41
2()4x y -=，则xy 的最大值为( )
A ．2
B ．98
C ．
32
D ．
94
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[f f （2）]= ． 14．（5分）若()f x 为幂函数，且满足
(8)
8(2)
f f =，则(16)f = ． 15．（5分）2()3f x x ax a =--，若2lo
g (())y f x =在(,1)-∞-上递减，则a ∈ ． 16．（5分）已知函数222,0,()2,0,x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩
则不等式()()f x f x >-的解集为 ．
三、解答题（本题共6道小题，第17题，10分，其余各题12分，共70分） 17．（10分）计算下列各式的值：
（1）2
1
103
23(3)5(0.2)2)8
----⨯++；
（2）21log 33
232
(2log )log 3229
++⨯+． 18．（12分）已知集合{||23|7}M x x =-，{|121}N x a x a =++． （1）若2a =，求()R M N ；
（2）若M
N M =，求实数a 的取值范围．
19．（12分）已知函数2
()1ax b f x x +=
+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12
()25
f =． （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(21)()0f t f t -+<．
20．（12分）设函数2()22f x x tx =-+，且函数()f x 的图象关于直线1x =对称． （1）求函数()f x 在区间[0，4]上的最小值；
（2）设()
()f x h x x
=
，不等式(2)20x x h k -在[1x ∈-，1]上恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）已知函数()(2)(2)f x lg x lg x =++-． （1）记函数()()103f x g x x =+，求函数()g x 的值域；
（2）若对任意(0,2)m ∈，[0x ∈，1]，都有2()25f x m m lg a <--+恒成立，求实数a 的取值范围．
22．（12分）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使得00()f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．已知二次函数2()4f x ax bx =+-有两个不动点1-和4． （1）求()f x 的表达式；
（2）求函数()f x 在区间[t ，1]t +上的最小值()g t 的表达式．
（3）在（2）的条件下，求不等式1
(2)()02g x g x +->的解．
2020-2021学年江西省景德镇一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共12分） 1．（5分）已知集合4{|0log 1}A x x =<<，2{|1}x B x e -=，则(A B = )
A ．(,4)-∞
B ．(1,4)
C ．(1,2)
D ．(1，2]
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】解：{|14}A x x =<<，{|2}B x x =，
(,4)A B ∴=-∞．
故选：A ．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数和指数函数的单调性，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数的是( ) A ．2||y x x =-
B ．||y lnx =
C ．||1y ln x =+
D ．3y x =
【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性，单调性即可．
【解答】解：A ．2||y x x =-是偶函数，当0x >时，2y x x =-，对称轴为11
22
x -=-=， 则函数在(0,)+∞上不是增函数，不满足条件．
B ．函数的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．
C ．函数的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，函数为偶函数，
当0x >时，1y lnx =+为增函数，满足条件
D ．函数为奇函数，不满足条件．
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性性质，根据函数解析式分别进行判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）已知函数(2)f x -的定义域为[0，2]，则函数(21)f x -的定义域为( ) A ．[2-，0]
B ．[1-，3]
C ．3[2，5
]2
D ．1[2-，1
]2
【分析】由(2)f x -的定义域为[0，2]，得到()f x 的定义域为[2-，0]，即可得到(21)f x -的定义域．
【解答】解：因为函数(2)f x -的定义域为[0，2]， 所以()f x 的定义域为[2-，0]， 由2210x --得1122
x
-， 故选：D ．
【点评】本题考查了抽象函数的定义域的求法，属于基础题． 4．（5分）设524a =，1
3
1
log 10b
=，3log c =，则( ) A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
【分析】根据条件可得出5log 242a =
<，33102b log log c =>=>，从而得出a ，b ，c 的大小关系．
【解答】解：55log 24log 252a =<
=，3331092b log log c log =>=>=； a c b ∴<<．
故选：A ．
【点评】考查指数式和对数式的互化，对数的定义，对数的换底公式，以及对数函数的单调性，对数的运算．
5．（5分）若()f x 对任意实数x 恒有2()()31f x f x x --=+，则()(f x = ) A ．1x -
B ．1x +
C ．21x +
D ．33x +
【分析】可采用赋值法，令x 换成x -，求得2()()31f x f x x --=-+，结合2()()31f x f x x --=+，即可求得()f x 的表达式．
【解答】解：2()()31f x f x x --=+⋯（1） 2()()31f x f x x ∴--=-+⋯（2）
（1）式两边同乘以2，得 4()2()62f x f x x --=+
与（2）式相加，得到 3()33f x x =+
所以()1f x x =+． 故选：B ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及方程思想的应用，属于中档题． 6．（5分）函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上
仅有一个实根0x =，则(1)f f -（1）的值( ) A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．与0的大小关系无法确定
【分析】根据函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，画出图象即可判断出．
【解答】解：由于函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，
可得图象：
因此(1)f f -（1）的值与0的大小关系不正确． 故选：D ．
【点评】本题考查了函数零点存在判定定理，考查了数形结合的思想方法，属于基础题． 7．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[m ，]n D ⊆，
使()f x 在[m ，]n 上的值域为11
[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”．现有
()log ()x a f x a k =+，(0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞
B ．1
(,)4-∞
C ．1
(0,)4
D ．1
(0,]4
【分析】由题意可知()f x 在D 内是单调增函数，才为“好函数”，从而可构造函数1()2
f x x =，转化为求1
()2
x a log a k x +=
有两异正根，k 的范围可求． 【解答】解：因为函数()log ()x a f x a k =+，(0,1)a a >≠在其定义域内为增函数，则若函数()y f x =为“好函数”，
方程1
()2
f x x =
必有两个不同实数根， 22
1log ()0
2
x x
x
x x a a k x a k a a a k +=⇔+=⇔-+=，
∴方程2
0t t k -+=有两个不同的正数根，1(0,)4k ∈．
故选：C ．
【点评】本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于难题．
8．（5分）在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =，()log a g x x =的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据题意，分析可得0a >且1a ≠，进而分1a >和01a <<两种情况讨论，结合幂函数和对数函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，()(0)a f x x x =，()log a g x x =，必有0a >且1a ≠， 分2种情况讨论： 当1a >时，
()(0)a f x x x =过点(0,0)和(1,1)，在第一象限为增函数，且图象变化越来越快，而()log a g x x =为对数函数，过点(0,1)且为增函数，
没有选项符合； 当01a <<时，
()(0)a f x x x =过点(0,0)和(1,1)，在第一象限为增函数，且图象变化越来越慢，而()log a g x x =为对数函数，过点(0,1)且为减函数，
只有A 选项符合； 故选：A ．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及幂函数和对数函数的图象，属于基础题．
9．（5分）设函数21
()122
x x
f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.3]2=，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为( ) A ．{0}
B ．{1-，0}
C ．{1-，0，1}
D ．{2-，0}
【分析】化简函数21
()122
x x f x =-
+，对x 的正、负、和0分类讨论，求出[()][()]f x f x +-的值．
【解答】解：21
()122
x x f x =-
+ 11
1122
x =--
+ 11
212x
=
-
+ 当0x >1
0()[()]02f x f x <=
当1
0()0[()]12
x f x f x <-
<<=- 当0x =()0[()]0f x f x ==
所以：当0x =[()][()]0y f x f x =+-=
当x 不等于0 [()][()]011y f x f x =+-=-=- 所以，y 的值域：{0，1}- 故选：B ．
【点评】本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．
10．（5分）设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是( )
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,log 3)a -∞
D ．(log 3a ，)+∞
【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当01a <<，2log (22)0x x a a a --<时，有2221x x a a -->，解可得答案．
【解答】解：设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--， 若()0f x <
则2log (22)0x x a a a --<，2221x x a a ∴--> (3)(1)030x x x a a a ∴-+>∴->，log 3a x ∴<，
故选：C ．
【点评】解题中要注意01a <<时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误． 11．（5分）已知函数2,0
()(),0kx x f x k R lnx x +⎧=∈⎨
>⎩
．若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．2k -
B ．21k -<-
C ．10k -<<
D ．2k
【分析】函数|()|y f x k =+有三个零点可化为方程|()|f x k =-有三个不同的解，则0k <，此时||lnx k =-有两个解，则|2|kx k +=-在(-∞，0]只有一个解，从而求出实数k 的取值范围． 【解答】解：函数|()|y f x k =+有三个零点可化为方程|()|f x k =-有三个不同的解， 若0k =，则1x =，只有一个解，不成立，则0k <； 若||lnx k =-，则k x e =或k x e -=， 则|2|kx k +=-在(-∞，0]只有一个解， 在(-∞，0]上，|2|2kx kx k +=+=-，
则2
0k x k
--=
，则2k -， 故选：A ．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，本题将函数的零点化为了方程的根，同时才查了化简的技巧，属于中档题．
12．（5分）已知x ，(0,)y ∈+∞，412()4x y -=，则xy 的最大值为( )
A ．2
B ．98
C ．
32
D ．
94
【分析】由已知结合指数的运算性质可得24x y +=，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x ，(0,)y ∈+∞，4211
2()()42x y y -==，
所以42x y -=-即24x y +=，
由基本不等式可得，4222x y xy =+，当且仅当2x y =时取等号， 解可得2xy ， 故选：A ．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[f f （2）]= 0 ．
【分析】函数()y f x =是函数2x y =的反函数，可得2()log f x x =．再利用对数的性质即可得出．
【解答】解：函数()y f x =是函数2x y =的反函数， 2()log f x x ∴=．
[f f ∴（2）2](log 2)f f ==（1）2log 10==．
故答案为：0．
【点评】本题考查了反函数的求法、对数的性质，属于基础题． 14．（5分）若()f x 为幂函数，且满足
(8)
8(2)
f f =，则(16)f = 64 ． 【分析】设()a
f x x =，由
(8)8(2)f f =，解得3
2
a =，从而3
2()f x x =，由此能求出(16)f ． 【解答】解：()f x 为幂函数，∴设()a f x x =，
满足
(8)
8(2)
f f =， ∴882
a a =，解得32a =，
3
2
()f x x ∴=，
32
(16)1664f ∴==．
故答案为：64．
【点评】本题考查函数值的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5分）2()3f x x ax a =--，若2log (())y f x =在(,1)-∞-上递减，则a ∈ [2-，1
]2 ．
【分析】由2log (())y f x =在(,1)-∞-上递减，得到2()3f x x ax a =--的对称轴12
a x =-，
由此能求出a 的取值范围． 【解答】解：
2()3f x x ax a =--，2log (())y f x =在(,1)-∞-上递减，
2()3f x x ax a ∴=--的对称轴12
a x =
-，且()0f x >，即(1)13120f a a a -=+-=-，
解得122
a
-． [2a ∴∈-，1
]2．
故答案为：[2-，1
]2
．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查复合函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．（5分）已知函数222,0,
()2,0,x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩则不等式()()f x f x >-的解集为 (2-，
0)(2⋃，)+∞ ．
【分析】画出函数()f x 的图象，如图所示，易知函数()f x 为奇函数，根据奇函数的性质结合图象即可求出．
【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图所示， 易知函数()f x 为奇函数， 则()()()f x f x f x >-=-， 即()0f x >，
由图象可得，不等式的解集为(2-，0)(2⋃，)+∞， 故答案为：(2-，0)(2⋃，)+∞．
【点评】本题考查了分段函数和不等式的解法，考查了数形结合的思想，属于中档题． 三、解答题（本题共6道小题，第17题，10分，其余各题12分，共70分） 17．（10分）计算下列各式的值：
（1）2
1
103
23(3)5(0.2)(52)(23)8
----⨯++；
（2）21log 33
232
(2log )log 3229
ln e ++⨯+． 【分析】（1）利用有理数指数幂性质、运算法则求解． （2）利用对数性质、运算法则、换底公式求解． 【解答】（本小题满分10分）
解：（1）2
1
103
23(3)5(0.2)(52)(23)8
----⨯++；
4
55219
=
+⋯（4分） 5
9=-．⋯（5分）
（2）21log 33
232
(2log )log 3229
ln e ++⨯+ 33
232
(log 9log )log 31239
=+⨯++⨯ 32log 32log 37=⨯+
323
732
lg lg lg lg =
⨯+ 5712=+=．⋯（10分）
【点评】本题考查的理数指数幂、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数的性质、运算法则和换底公式的合理运用．
18．（12分）已知集合{||23|7}M x x =-，{|121}N x a x a =++． （1）若2a =，求()R M N ；
（2）若M
N M =，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）2a =时，{|25}M x x =-，{|35}N x x =，{|3R C N x x =<或5}x >．由此能求出()R M
N ．
（2）由M
N M =，得N M ⊆，从而121a a +>+，或121
215
12a a a a ++⎧⎪
+⎨⎪+-⎩
，由此能求出实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）2a =时，{|25}M x x =-，{|35}N x x =， {|3R C N x x =<或5}x >．
(){|23}R M
N x x ∴=-<．
（2）M
N M =，N M ∴⊆，
①若121a a +>+，解得0a <，符合题意； ②12121512a a a a ++⎧⎪
+⎨⎪+-⎩
，解得02a ． 综合可得实数a 的取值范围是(-∞，2]．
【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（12分）已知函数2()1ax b f x x +=
+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12
()25
f =．
（1）确定函数()f x 的解析式；
（2）用定义证明函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(21)()0f t f t -+<．
【分析】（1）由奇函数得(0)0f =，求得b ，再由已知，得到方程，解出a ，即可得到解析式；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤即可得证；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式(21)()0f t f t -+<，即为(21)()()f t f t f t -<-=-，
结合函数的定义域得到不等式组，解出即可． 【解答】（1）解：函数2
()1
ax b
f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 则(0)0f =，即有0b =，
且12()25f =，则1221514a
=+，解得，1a =，
则函数()f x 的解析式为2()(11)1
x
f x x x =
-<<+． （2）证明：任取1211x x -<<<， 则121212122222
1
212()(1)
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 由于1211x x -<<<，则120x x -<，2110x +>，2
210x +>，
1211x x -<<，1210x x ∴->， 12()()0f x f x ∴-<，
()f x ∴在(1,1)-上是增函数．
（3）解：由于奇函数()f x 在(1,1)-上是增函数， 则不等式(21)()0f t f t -+<即为(21)()()f t f t f t -<-=-， 即有1211
1121t t t t -<-<⎧⎪
-<<⎨⎪-<-⎩
，
解得1
03
t <<，
∴不等式的解集为1
(0,)3
．
【点评】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
20．（12分）设函数2()22f x x tx =-+，且函数()f x 的图象关于直线1x =对称． （1）求函数()f x 在区间[0，4]上的最小值； （2）设()
()f x h x x
=
，不等式(2)20x x h k -在[1x ∈-，1]上恒成立，求实数k 的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的简单性质，求出t ，然后求解闭区间上的最值； （2）不等式(2)20x x h k -化为：22222x x
x k +
-，分离变量，令12x
t =
，则2221k t t -+，
通过二次函数的闭区间上的最值求解即可．
【解答】解：（1）因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以1t =， 故函数22()22(1)1f x x x x =-+=-+，
所以，函数()f x 在[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增， 所以当1x =时，()f x 的最小值为15⋯' （2）不等式(2)20x x h k -化为：2
2222
x x x k +-， 化为21112(
)222
x x k +-，令1
2
x t =
，则2221k t t -+， 因[1x ∈-，1]故1[2t ∈，2]，记2()221G t t t =-+，因为1[2t ∈，2]，故1
()2min G t =，
所以k 的取值范围是：1
(,]122
-∞⋯'
【点评】本题考查函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．（12分）已知函数()(2)(2)f x lg x lg x =++-． （1）记函数()()103f x g x x =+，求函数()g x 的值域；
（2）若对任意(0,2)m ∈，[0x ∈，1]，都有2()25f x m m lg a <--+恒成立，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）利用对数函数的性质能求出函数()(2)(2)f x lg x lg x =++-的定义域，从而可得()g x 的定义域，利用指数的运算化简()g x 即可求()g x 的值域；
（2）将不等式恒成立问题转化为2()(25)max min a f x m m lg >---，求出()max f x 和2(25)min m m lg --即可求得a 的取值范围．
【解答】解：（1）函数()(2)(2)f x lg x lg x =++-， ∴20
20x x +>⎧⎨
->⎩，解得22x -<<． ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-，
故()g x 的定义域是(2,2)-， ()()103f x g x x =+，
∴函数22325
()34()(22)24
g x x x x x =-++=--+-<<，
325
()()24max g x g ∴==，()(2)6min g x g →-=-，
∴函数()g x 的值域是(6-，
25
]4
． （2）若对任意(0,2)m ∈，[0x ∈，1]，都有2()25f x m m lg a <--+恒成立， 则2()(25)max min a f x m m lg >---，
当[0x ∈，1]时，()f x 为减函数，()(0)22max f x f lg ==， 令2()25h x m m lg =--，(0,2)m ∈，
由二次函数的性质可得11
()()2524min h x h lg ==--，
所以219
()(25)222544
max min f x m m lg lg lg ---=++=， 所以实数a 的取值范围是9
4
a >
． 【点评】本题考查了对数的运算和化简能力，二次函数的性质的运用，值域的求法，不等式恒成立问题，考查转化思想求解最值问题，属于中档题．
22．（12分）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使得00()f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．已知二次函数2()4f x ax bx =+-有两个不动点1-和4． （1）求()f x 的表达式；
（2）求函数()f x 在区间[t ，1]t +上的最小值()g t 的表达式．
（3）在（2）的条件下，求不等式1
(2)()02
g x g x +->的解．
【分析】（1）由题意可得2()4f x ax bx x =+-=有两个根1-和4，然后结合方程的根与系数关系可求a ，b ，进而可求函数解析式，
（2）结合对称轴与已知区间的位置关系分类讨论，进而可求函数的最小值， （3）由已知结合函数的单调性，分类讨论进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得2()4f x ax bx x =+-=有两个根1-和4 即2(1)40ax b x +--=的根为1-，4， 所以1
14414b a a
-⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，
解得，1a =，2b =-，
所以2()24f x x x =--；
（2）2()24f x x x =--的对称轴1x =，开口向上，
当11t +即0t 时，函数在[t ，1]t +上单调递减，2()(1)5g t f t t =+=-， 当1t 时，函数在[t ，1]t +上单调递增，2()()24g t f t t t ==--， 当01t <<时，函数在[t ，1]t +上先减后增，()g t f =（1）5=-， 故225,0()5,0124,1t t g t t t t t ⎧-⎪
=-<<⎨⎪--⎩
．
（3）由1(2)()02g x g x +->得1
(2)()2g x g x +>，
当01x <<时，()5g x =-，
故只要12)12x +>或1202x +<，解得14x >或1
4x <-，
此时
1
14
x <<， 若0x 或1x ， 则111|2|||222
x x +
->-， 即221
44
x x x >+
-， 解得1
2x <-或16x >，
此时1
2x <-或1x ，
综上，不等式的解集1
1
(,)
(,)2
4
-∞-+∞．
【点评】本题主要考查了待定系数法在函数解析式求解中的应用，二次函数闭区间上最值的求解及利用对称性求解不等式，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．。