高三数学9月入学诊断检测试题 理 试题

卜人入州八九几市潮王学校高三入学诊断检
测
数学试题〔理科〕 第〔Ⅰ〕卷
一、选择题〔每一小题5分，一共5×12=60分〕
A =｛4，5，7，9｝，
B =｛3，4，7，8，9｝，全集U=A
B ，那么集合()U
C A B ⋂中的元素一共有〔〕
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个 2．对于函数
()y f x =，x ∈R ，“()
y f x =的图象关于
y 轴对称〞是“()y f x =是奇函数〞的〔〕
A ．充分不必要条件B.
3.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间是t 变化的可能图象是
〔〕
4.αα
sin 2sin -=，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα,2，那么=αtan 〔〕
A.
23- B.5
3- C.33
- D.3- y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥-≤+≥+14422
2y x y x y x ，那么目的函数y x z -=3的取值范围是〔〕
A.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 C.[]6,1- D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-23,6 1111
246
20
++++
的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是()
A ．10>i
B ．10<i
C ．11>i
D ．11<i
()x f 和偶函数()x g 满足
()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，
假设()2012g
a =，那么()2012f -=()
A.2
B.2012
20122
2-- C.2012201222-- D.2a
8.如图，半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，假
设P 为半径OC 上的动点，那么()PA PB PC +⋅的最小值是()
A ．29-
B.2
9
C.2
D.2-
9.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案一共有〔〕 A.280种
B.240种
C.180种
D.96种
π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是〔〕
21m y x x n n =-
+的图象在点1
(0,)M n
处的切线l 与圆22:1C x y +=相交,那么点(,)P m n 与圆C 的位置关系是()
A ．圆内B.圆内或者圆外C.圆上D.圆外
12．函数
)sin()(ϕω+=x A x f 〔0,>ωA 〕的图象如右图所示，
为了得到x A x g ωcos )(-=的图象，可以将)(x f 的图象〔〕
A ．向右平移
12π个单位长度B ．向右平移125π
个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移
12
5π
个单位长度 第〔Ⅱ〕卷
二、填空题〔每一小题4分，一共4×4=16分〕
13.计算()()
=++i i i 2452
14.
(
)8
2x
-展开式中不含．．4
x 项的系数的和为.
15.4=a ，，()()
61232=+•-b a b a ，那么a 与b
的夹角θ为
a ＞0.假设曲线
x y =与直线x ＝a ，y =0所围成封闭图形的面积为a ，那么a =______.
三、解答题：〔17、18、19、20、21每一小题12分，22题14分，一共74分〕
17.〔12分〕函数
1)sin (cos 2
1
2sin 23)(22---=
x x x x f 〔1〕求函数f(x)的最小值和最小正周期；〔4分〕
〔2〕设△ABC 的内角
C
B A ,,的对边分别为a,b,c 且
c
=
7
，
)(=C f ，假设向量
B ），（n A m sin 3)sin ,1(==与向量一共线，求b a ,的值.〔8分〕
18.〔12分〕在如下列图的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF.
〔1〕求证：BD ⊥平面AED ；〔4分〕 〔2〕求二面角F-BD-C 的余弦值.〔8分〕
19．(12分)游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全一样，每次游戏从这两
个箱子里各随机摸出2个球，假设摸出的白球不少于2个，那么获奖．〔每次游戏完毕以后将球放回原箱〕 〔1〕求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；〔6分〕 〔2〕求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E 〔X 〕.〔6分〕 20.〔12分〕设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，122(n n a S n +=+∈N *〕.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔6分〕
〔2〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎪⎨⎬⎪⎭
⎩的前n 项和n T .
〔6分〕
21.(12分)函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝()x f '＋6x 的图象关于y 轴对
称．
(1)求m 、n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；〔6分〕
(2)假设a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．〔6分〕
22.〔14分)在直角坐标系xOy 中椭圆1C ：122
22=+b y a
x )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F .其中2F 也是抛物线2C ：x y 42=的焦点，点M
为
1C 与2C 在第一象限的交点，且
35
||2=
MF .
〔1〕求
1C 的方程；
〔6分〕
〔2〕平面上的点
N
满足
2
1MF MF MN +=，直线l ∥
MN ，且与1C 交于A 、B
两点，假设
0=•OB OA ，求直线l 的方程.〔8分〕
2解析：假设
()y f x =是奇函数，那么()
y f x =的图象关于
y 轴对称；反之不成立，比方偶函数
()y f x =，满足()
y f x =的图象关于
y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选C.
4.〔教材必修4P148练习3〕
5.〔2021高考理科5〕 解析：作出可行域，直线03=-
y x ，将直线平移
至点)0,2(处有最大值，点)3,2
1
(处有最小值，
即62
3
≤≤-z .答案应选A.
8.x =，那么π2)(PC PO PC PB PA =⋅=⋅+
2
9
)23(2)
3(22--=--=x x x ，所以29
,23-=最小值为时x
12.解析：123
A π
ωϕ===由图像可求得，，，将选项代入检验即可。

13.〔选修2-2P112习题组5〔4〕〕i 381- 14.0
.解析:采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4
x 项系数8
882
(1)1C -=即为所求，故答案为0.
15.〔必修4习题组7〕
120〔或者
3
2π〕
16.〔2021高考理科15〕
解析：a a x dx x S
a a
====⎰
23
2
30
323
2，解得4
9=a 17解：〔1〕()1
62sin 12cos 2
1
2sin 23-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=--=
πx x x x f
……………………………2分
∴
2min )(-=x f ，T=π
………………………………………4分
〔2〕
3
2
6
2π
π
π
=
=
-
∴C C 即…………………………6分
由余弦定理得：
()
3
cos
27222
π
ab b a -+=①…………………………8分
又∵向量B ），（n A m sin 3)sin ,1(==与向量一共线
∴A B
sin 3sin =
a b 3=∴②…………………………10分
联立①②得：3,1==b a
…………………………12分
18.〔2021高考理18〕 解析：
〔1〕∵在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=60°， ∴
120=∠=∠BCD ADC 又CB=CD,∴ 30=∠CDB
∴
90=∠ADB ,即:BD ⊥AD ………………………2分
z
x y
又BD ⊥AE ，AD ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，
故BD ⊥平面AED ……………………4分
〔2〕法Ⅰ：由〔1〕可知BD ⊥AD,那么CB AC ⊥，建立如下列图的空间直角坐标系，
设1=CB ，那么3==BD CA ,)0,2
1
,23(
),0,1,0(),01,0(-D B F ，…………6分 设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量，那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
2
323z y y x ， 取
1=y ，那么1,3==z x ，那么)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.……………9分
易见向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.……………………10分
5
5
51,cos ==>=
<n m ， 而二面角F-BD-C 的平面角为锐角，那么二面角F-BD-C 的余弦值为
5
5
.…………12分 法Ⅱ：取BD 的中点G ，连CG,FG,可证FGC ∠为二面角F-BD-C 的平面角，在RT ⊿FCG 中求解即可. 19.解：〔1〕①设“在1次游戏中摸出i 个白球〞为事件(0,1,2,3),i
A i ==
那么21
32322531
().5
C C P A C C =⋅=…………………2分
②设“在1次游戏中获奖〞为事件B ，那么23B
A A =，A 2
，A 3
互斥，
()2
1
231
2251213232225232=
⋅+⋅=C C C C C C C C C A P …………………4分 所以23117
()()().2510
P B P A P A =
+=
+=…………………6分 〔2〕法Ⅰ解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.……………7分 ……………………………………………10分 所以X 的分布列是
X 的数学期望()012.100501005
E X =⨯+⨯+⨯=……………12分
法Ⅱ：
⎪⎭
⎫
⎝⎛107,2~B X ,于是可依次得出()0=X P ,()1=X P ,()2=X P ;()571072=⨯=X E
20.〔1〕由122(n n a S n +=+∈Z *
〕
得122(n
n a S n -=+∈Z *
，2n ≥〕，………………………………2分
两式相减得：12n n n a a a +-=，
即1
3(n n a a n +=∈Z *
，2n ≥〕，………………………………4分
∵{}n a 是等比数列，所以213a a =；又2122,a a =+那么11223a a +=，∴12a =，
∴132-⨯=n n
a …………………………6分
〔2〕由〔1〕知132-⨯=n n a ，那么n n a 321⨯=+
∵1
(1)n n n a a n d +=++，
∴1
341
+⨯=
-n d n n …………………8分
∵123111n
T d d d =
+++…1n
d + ∴1
210341
344343342-⨯++
+⨯+⨯+⨯=
n n
n T ① n
n n n n T 3
41
34344343342311321⨯++⨯++⨯+⨯+⨯=- ②…………………10分 ①-②得n
n n n T 3413413413413413423213210⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=- n
n 385
285⨯+-
=……………………………………11分 ∴1
316521615-⨯+-
=n n n T ……………………………………12分 21.(1)由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①… 由f (x )＝x 3
＋mx 2
＋nx －2，得()x f '＝3x 2
＋2mx ＋n ，………………2分
那么g (x )＝
()x f '＋6x ＝3x 2
＋(2m ＋6)x ＋n .
而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－＝0，解得m ＝－3. 代入①得n ＝0. 于是()x f '＝3x 2
－6x ＝3x (x －2)．………………………4分
由
()x f '>0得x >2或者x <0，
故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分 由
()x f '<0，得0<x <2，
故f (x )的单调递减区间是(0,2)．………………………6分 (2)由(1)得
()x f '＝3x (x －2)，令()x f '＝0得x ＝0或者x ＝2.………………7分 当x 变化时，
()x f '，f (x )的变化情况如下表：
增函数
增函数
由此可得：当0<a <1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；
当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值． 综上得，当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值； 当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；
当a ＝1或者a ≥3时，f (x )无极值．………………………………12分
22〔1〕由2C ：
x y 42
=知)0,1(2F .………………………1分 设),(00y x M ，M 在
2C 上，因为
35
||2=
MF ，所以3
510=+x ，
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==3623200y x ，即⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛362,32M ……………………3分
又M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1=c ，于是
⎪⎩⎪⎨⎧-==+113894
2222a b b
a ， 消去2
b 并整理得0437924
=+-a a
，
解得2=a 〔
31
=
a 不合题意，舍去〕.……………………5分
故椭圆1C 的方程为1
342
2=+y x .
……………………6分
〔2〕由
2
1MF MF MN +=知四边形
21NF MF 是平行四边形，其对角线交点为坐标原点O ，
因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率一样，故l 的斜率6
3236
2==k .……………7分
设
),(11y x A ，),(22y x B ，l 的方程为m x y +=6……………8分
由⎩⎨⎧+==+m
x y y x 6124322整理得：012468272
2=-++m mx x . 所以276821m
x x -=+，27
124221-=
m x x .……………10分
因为0=•OB OA ，所以0212
1=+y y x x ，
又
(
)(
)
()2212121216666m x x m x x m x m
x y y +++=++=
∴0)(672212
1=+++m x x m x x
∴02727
68627124722=+-⋅+-⋅
m m m m 解得32±=m
.……………12分
代入验证此时0>∆，……………13分
故所求直线l 的方程为
326-=x y 或者326+=x y ……………14分。