浅谈三维广义牛顿流体复杂流动过程修正SPH方法模拟

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1 光滑粒子动力学方法的简介
目前，许多种基于网格的数值方法被提出且用于解决聚和物流的复杂自由表面问题，例如边界元法（BE M）和有限元法（F E M）等。

尽管上述方法都被成功应用于流体力学的多个领域，但当用来解决三维复杂表面流，尤其是像严重网格畸变等这类大变形问题、非连续和高梯度问题时，通常有些困难。

为了改善基于网格的方法的缺点并有效解决大变形问题，各种基于拉格朗日描述的无网格或粒子方法[1-2]被提出。

S PH方法是一个纯粹的无网格方法，它最先被用于天体物理学中。

SPH方法的关键思想是用一组粒子替代了流体域，这里引进一个平滑内核来近似光滑域变量和由相邻粒子相互作用引发的空间导数。

每个粒子都有质量、拉格朗日位置、拉格朗日速度和内能，其他通过插入或由本质关系衍生，粒子以连续统的速度移动。

2 SPH方法的优缺点分析
S PH方法相较于基于网格的方法和E FG方法的优点：(1)它无需明确的表面追踪技术就可以轻而易举地处理复杂自由表面；(2)它对复杂问题的编程和并行化容易实施，尤其是针对没有网格重建的三维情况。

鉴于此，SPH方法被广泛应用于许多流体力学领域，比如二维或三维的非牛顿液体流[3-4]或自由表面流等。

但是传统的SPH方法也存在着两大缺点：其一，低精确度；其二，稳定性差，且常伴随压力震荡现象。

因此，为了提高传统S PH方法的数值精度和稳定性，一些修正的S PH方法被提出，例如改进的光滑粒子流体力学方法（C S P M）、MSPH方法和对称SPH方法（S SPH）等[4-5]。

3 已有改进SPH方法的缺点
上述提出的几种改进S PH方法未被广泛应用到非牛顿流动问题的研究[5-8]，且将它们直接推广应用到三维广义牛顿流动问题模拟时存在如下缺点。

(1)MSPH方法和S SPH方法中的矩阵奇异现象可能引起数值不稳定，尤其是在流体域边界附近。

(2)上述方法应用于三维复杂自由表面问题时，会导致复杂的编程和较大的计算量。

(3)随模拟时间的延长，流体大变形过程中仍有较严重的压力震荡。

4 改进方案
针对上述已有改进方法的不足之处，本文提出一种修正SPH方法与M PI并行技术相结合的方法，用于模拟三维广义牛顿表面流问题。

给出的修正S PH方法的基本思想是将改
进的S PH方法与传统S PH方法相结合，即改进的S PH方法通过在内部流体域上使用SPH _DTKGC方法[6]，在自由表面附近采用传统S PH方法。

同时，给出了一种新的边界处理方式，且容易实施。

另外，考虑了基于移动网格相邻粒子搜索方法的M PI并行技术，且在I BM 的H PC 平台上采用C++编程来提高三维问题模拟的计算效率。

在一个三维拉格朗日框架中，等温、可压缩流体基于交叉模型的三维
控制方程为：
(1)
(2)
其中，
代表速度矢量,代表流体密度,“
”
①基金项目：国家自然科学基金(项目编号：61379004)。

作者简介：徐苾芸(1994,5—)，女，汉族，江苏无锡人，硕士研究生，研究方向：应用数学。

DOI：10.16660/ k i.1674-098X.2017.20.255
浅谈三维广义牛顿流体复杂流动过程修正
SPH方法模拟
①
徐苾芸 蒋涛
（扬州大学数学科学学院 江苏扬州 225002）
摘　要：工业上聚合物加工过程中常涉及广义牛顿自由表面流问题，其数值模拟为当今国际上的研究热点。

本文以Cross模型流体为主，对三维广义牛顿自由面流动问题SPH方法模拟研究的优缺点进行了探讨。

为提高Cross模型流动问题模拟的精度和稳定性，结合密度耗散项和Taylor展开思想给出了一种适合三维广义牛顿自由面流动问题模拟的修正SPH离散格式。

关键词：修正SPH 自由表面流 Cross模型 密度耗散项中图分类号：O35
文献标识码：A
文章编号：1674-098X(2017)07(b)-0255-02
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代表散度算子，代表时间，为各向同性压力,代表重力加速度，随体导数/
，代表总应力张量。

(3)
其中，τ为附加应力张量，对称的应变率张量
，剪切率
度，表示
流体剪切稀化特[6]
为:
(4)此处四个参数
都是正常数。

引入密度耗散项和梯度改
进格式[6]，结合传统SPH方法离散格式，可得上述方程的修正SPH离散格
式为:
(5)
(6)
其中，密度扩
散项
来消除大部分噪声。

工粘性项
可详见文
献[6-7]。

速度梯度离散格式通过一阶核梯度校正后变为[6]
:
(7)
其中，，系数矩阵在
三维情况下为3×3的对称矩阵(详见文献[6])。

5 结语
本文首先对SPH方法及其优缺点作了介绍，然后对已有改进S P H方法推广应用到广义牛顿自由表面流动问题的研究的缺点作了分析，并引入核梯度改进思想和密度耗散项，对S PH方法在三维广义牛顿流体流动问题模拟中的应用缺陷提出了相应的改善方案。

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