2024年北京市朝阳陈经纶中学数学高三上期末考试试题含解析

2024年北京市朝阳陈经纶中学数学高三上期末考试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5 2．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）
A ．21313-
B ．21313
C ．61365-
D ．61365
3．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a << 4．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
5．已知i 是虚数单位，若
1z i i =-，则||z =（ ） A 2 B ．2
C 3
D ．3 6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则
1a d
=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ）
A ．523π
B ．403π
C ．253π
D ．24π
8．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝
⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）
A ．512π
B ．56π
C ．6π
D ．12π
9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．1
C ．43
D ．83
10．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34
π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，
则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．13
B 6
C 3
D ．23 12．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( ) A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．a c b >>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin 3)40a a B B -++=，7b =则ABC ∆的面积为__．
14．设a R ∈，若函数,x
y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是_____ 15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________.
16．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米．．．的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时．．．
的损耗为m 元（0m >），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为1y （元）、2y （元）、3y （元）.
（1）请分别写出1y 、2y 、3y 的表达式；
（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.
18．（12分）求下列函数的导数：
（1）()0.051x f x e -+=
（2）()()2sin 21f x x =+
19．（12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-，
（Ⅰ）求C ∠的大小；
（Ⅱ）若122
CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值． 20．（12分）已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.
（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
21．（12分）设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.
（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a ≥--
+恒成立. 22．（10分）已知函数4()1,()1()x a f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝
⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）. （1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；
（2）若函数()()f x y g x =在区间[]
4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解题分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
【题目详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又||PQ OF c ==，||,2
c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，
A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22
222,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=，故选A ．
【题目点拨】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
2、B
【解题分析】
直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -的坐标，利用(2)=0a b b -⋅求得参数m ，再用cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=
计算即可. 【题目详解】
依题意，2(2,3)a b m -=+-， 而(2)=0a b b -⋅， 即260m ---=， 解得8m =-， 则10213cos ,||||565
a b a b a b ⋅〈〉=
==⋅故选：B. 【题目点拨】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
3、C
【解题分析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 与45，12比较即可. 【题目详解】 由0.50.540.820.8=5
a =>， 1334sin1sin 23245
b π<=<==<， 11lg3lg 10lg1022
c =<==， 所以有c b a <<.选C.
【题目点拨】
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
4、D
【解题分析】
试题分析：因为
，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D ．
考点：三角函数的图像变换．
5、A
【解题分析】
直接将1z i i
=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【题目详解】
解：将1z i i
=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+
2z =故选：A
【题目点拨】
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
6、A
【解题分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【题目详解】
由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d =. 故选：A . 【题目点拨】 本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 7、A
【解题分析】
根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.
【题目详解】
解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，
所以O 到平面ABC 的距离为
2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332
ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=，解得23h =⋅， 作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC 的外心，所以233CO '=
，且32h OO '==， 所以在Rt CO O '中，22133
OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433
S R πππ∴==⋅
=. 故选：A.
【题目点拨】
本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．
8、A
【解题分析】
先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值.
【题目详解】
()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝
⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛
⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝
⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122
k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122
ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=
. 故选：A.
【题目点拨】
本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．
9、C
【解题分析】 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
．故选C .
10、B
【解题分析】
先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出
1()3f x =和32123
x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【题目详解】
设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,
371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭
, 再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
. 将函数()g x 的图象向右平移34
π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦. 11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,3sin 21263x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 令6x π
θ=-,则231sin cos 212sin 33θθθ=⇒=-=,显然,13cos 2sin 33
θθ=⇒= ∴1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B ．
【题目点拨】
本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
11、A
【解题分析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【题目详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知62
PO =，22CO =， 同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥， 所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角， 有22222cos 23
PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3
POC POC ∠=-∠=
. 故选：A.
【题目点拨】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
12、B
【解题分析】
利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.
【题目详解】 由于0.20110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
1
2
0.2-==
11
33
log2log10
<=
故b a c
>>.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、
【解题分析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B，进而可求a，然后结合余弦定理可求c，代入
1
sin
2
ABC
S ac B
∆
=，计算可得所求．
【题目详解】
解：把22(sin)40
a a B B
-++=看成关于a的二次方程，
则0
∆≥
，即2
4(sin)160
B B
+-≥，
即为
2
42sin160
3
B
π
⎛⎫
⎛⎫
+-≥
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
化为2
sin1
3
B
π
⎛⎫
+≥
⎪
⎝⎭
，而2
sin1
3
B
π
⎛⎫
+≤
⎪
⎝⎭
，
则2
sin1
3
B
π
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
由于0Bπ
<<，可得
4
333
B
πππ
<+<，
可得
32
B
ππ
+=，即
6
B
π
=，
代入方程可得，2440
a a
-+=，
2
a
∴=，
由余弦定理可得，
2
428
cos
622
c
c
π+-
==
⨯
，
解得：c =，
111sin 2222
ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．
故答案为
【题目点拨】
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题． 14、1a <-
【解题分析】
先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.
【题目详解】
因为e x y ax =+，所以e x
y a '=+，令0y '=得e x a =-， 因为函数e x y ax =+有大于0的极值点，所以e 1x >，即e 1x a =-<-.
【题目点拨】
本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.
15
1
【解题分析】
运用等比数列的通项公式，即可解得1a ．
【题目详解】
解：
65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴531(1)4(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩， 3155
441a a a a ∴⨯-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=
，q ∴=，44q =，
54114a q a q ∴+=
，11)1a ∴=，
11a ∴==．
1．
【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．
16、[1,3]-
【解题分析】
由题意求出以线段AB 为直径的圆E 的方程，且点D 恒在圆E 外，即圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ ⊥，则当,DP DQ 与圆E 相切时，此时''2P DQ π∠≥
，由此列出不等式，即可求解。

【题目详解】 由题意可得，直线AB 的方程为1x y =+，联立方程组214x y y x
=+⎧⎨=⎩，可得2440y y --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y +=，124y y =-，
设(),E E E x y ，则1222
E y y y +==，13E E x y =+=， 又121221128AB x x y y =++=++++=，
所以圆E 是以()3,2为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．
圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，即圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ ⊥，设过D 点的两直线分别切圆E 于','P Q 点， 要满足题意，则''2P DQ π
∠≥，所以
'2EP DE =≥，
整理得2430t
t --≤
，解得22t -≤≤
+，
故实数t
的取值范围为22⎡-⎣
【题目点拨】
本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E 的方程，把圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，转化为圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ ⊥是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）12060ms y S =+，210120mS y S =+，350600
mS y S =+. （2）当6000m <时，此时选择火车运输费最省；
当6000m >时，此时选择飞机运输费用最省；
当6000m =时，此时选择火车或飞机运输费用最省.
【解题分析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.
（2）作差比较2y 、3y 的大小关系得出结论.
【题目详解】
（1）12060
ms y S =+， 210120mS y S =+，350600mS y S =+. （2）0,0m S >>，
故2010,60120
mS mS S S >>， 12y y ∴>恒成立，故只需比较2y 与3y 的大小关系即可，
令()324040150150mS m f S y y S S ⎛⎫=-=-
=- ⎪⎝⎭， 故当400150
m ->，即6000m <时， ()0f S >，即23y y <，此时选择火车运输费最省， 当400150
m -<，即6000m >时， ()0f S <，即23y y >，此时选择飞机运输费用最省. 当400150
m -=，即6000m =时， ()0f S =，23y y =，
此时选择火车或飞机运输费用最省.
【题目点拨】
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
18、（1）()0.0510.05x f x e
-+'=-；（2）()2sin 44cos2f x x x '=+.
【解题分析】
（1）根据复合函数的求导法则可得结果.
（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果.
【题目详解】
（1）令()0.051u x x =-+，()u u e ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦，
而()0.05u x '=-，()u
u e ϕ'=，故()()0.0510.0510.050.05x x f x e e -+-+'=⨯-=-. （2）令()sin 21u x x =+，()2u u ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦，
而()2cos2u x x '=，()2u u ϕ'=，故()()2cos224cos2sin 21f x x u x x '=⨯=+，
化简得到()2sin 44cos2f x x x '=+.
【题目点拨】
本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.
19、（1）3C π
=（2）【解题分析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C ；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得ab 的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵2cos 2c B a b =-，
()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，
12sin cos sin cos 23
B C B C C ，，π∴=∴=∴= （Ⅱ）取BC 中点D ，则122CA CB DA -==，在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅， （注：也可将122CA CB DA -==两边平方）即22422a ab b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，
22
ab ab ≥=，所以8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号．
此时1sin 2ABC S ab C ∆==，其最大值为点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
20、（Ⅰ）{}|1x x ≥；（Ⅱ）[13,1]-.
【解题分析】
试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得()5f x ≥不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值
不等式的性质可得，不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，等价于67m +≤，解不等式即可求m 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当3m =时，()5f x ≥即65x m x +--≥，
①当6x <-时，得95-≥，所以x ∈∅；
②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；
③当3x ≥时，得95≥成立，所以3x >.
故不等式()5f x ≥的解集为{1}x x ≥. （Ⅱ）因为666x m x x m x m +--≤++-=+， 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，
解得131m -≤≤，
故m 的取值范围是[]13,1-.
21、（1）()
(),04,-∞+∞（2）证明见解析 【解题分析】
（1）将不等式62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，12sin |1|1x a a ≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---
+，即证1|1|12a a -++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【题目详解】
（1）∵62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为3143a a a -+->⎧⎨≥⎩
，∴4a > 当13a <<时，不等式化为(3)(1)413
a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解 当1a ≤时，不等式化为(3)(1)41a a a -+->⎧⎨≤⎩
，∴0a < 综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞
（2）要证x R ∀∈，1()|3|1f x a a
≥--+恒成立 即证x R ∀∈，12sin |1|1x a a
≥---+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1|1|12a a -++≥
又11|1|111a a a a -++≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1|1|12a a -+
+≥成立，∴原题得证 【题目点拨】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
22、（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-.
【解题分析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）2'2(4)340()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦
=≥-在[]4,5上恒成立，只需2(4)340x a x a -+++，注意到[4,5]a ∉；
（3）()2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()
2()44x m x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()1
1131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.
【题目详解】
（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，
所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-.
（2）()(4)()x
f x x e y
g x a x -==-，2'2
(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.
因为函数()()f x y g x =在区间[]
4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，
所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即492a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩
，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞， 故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.
（3）()2'244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x
-+--+-=+==. 因为函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，
所以方程()'0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()
2440x x x e a -+-=. 令()2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2x m x x x e =-，由()0m x '
>，得2x >， 所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，
所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()1
2111(0,2),44x x x x e a ∈-+=. 又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈，
且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '
>，单调递增， 当()12,x x x ∈时，()()'0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，
此时()()()()()111121111111111444431x x x x x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-===--
令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<，
所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-.
因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-.
若124m -<<-，取114
m x =--，则14 4m x =--， 所以()()1111343x h x m x e x -=-++.
令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-.
当(0,1)x ∈时，()''0H x <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.
所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，
所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114
m x =--使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.
【题目点拨】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.。