2016-2017年辽宁省葫芦岛一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（文
科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列命题中的真命题是（）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2
2．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
3．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4
4．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或
6．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q 的（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）
A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|
8．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直
角三角形，则这样的点P有（）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
9．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
10．（5分）已知点P为双曲线﹣=1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左
右焦点，M为△F1F2P的内心，若S△F1MP=S△F2MP+4，则△F1F2M的面积为（）
A．5 B．6 C．2 D．10
11．（5分）若点P是有共同焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若，
则=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别
是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．± B．±C．±1 D．±
二．填空（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．
14．（5分）若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，则实数m的范围．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．
三．解答题（共6个大题）
17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围
（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，过
焦点且垂直于y轴的弦长为6，
（1）求双曲线方程；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，求MN的长．19．（12分）某学校校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不管墙高），工程的造价是：
（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%；
（2）拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%．问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？
20．（12分）已知a+b+c=1，且a，b，c是正数，
（1）求证：++≥9；
（2）若不等式|x﹣2|≤a2+b2+c2对一切满足题设条件的正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
21．（12分）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2=4y上，P在第一象限，如图．F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，|PF|=3，求直线AB的方程．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，
=λ2，求证：λ1+λ2为定值．
2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试
卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列命题中的真命题是（）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2
【解答】解：A中取a=﹣1，b=﹣1，c=1，d=2可判断A为假命题；取a=1，b=﹣2可判断B、C为假命题；D中由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a2＞b2．
故选：D．
2．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），
∴a﹣b=0且a＜0则b＜0，
∵，
∴（ax+b）（x﹣2）＞0，即a（x+1）（x﹣2）＞0，
解得：﹣1＜x＜2，
∴不等式的解集为（﹣1，2）
故选：B．
3．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4
【解答】解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：
令z=0，可得直线x+my=0的斜率为﹣，
结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，
线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，
而直线AC的斜率为=﹣1，
所以﹣=﹣1，解得m=1，
故选C．
增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：
依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m
解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，
所以m=1，选C．
评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！
4．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴y=x+=x﹣1++1
≥2+1=5
当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，
∴函数y=x+（x＞1）的最小值是5，
故选：C．
5．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或
【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，两条渐近线方程为y=±x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴=，2b=a
∴c=a，离心率e=，
当双曲线焦点在y轴上时，两条渐近线方程为y=±x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴=，2a=b
∴c=a，离心率e=，
故选：B．
6．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q 的（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：ax2+2ax+＞0的解集是实数集，
（1）若a=0，则1＞0恒成立；
（2）若a≠0，则，
故0＜a＜1．由（1）（2）得0≤a＜1．
故选：A．
7．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）
A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|
【解答】解：∵2x2=x1+x3，
∴，
∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|
故选：C．
8．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；
同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；
由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．
故符合要求的点P有六个．
故选：C．
9．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）
【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，
∴x+2y=（x+2y）（+）
=4++≥4+2=8，
当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，
∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，
解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2
故选：D．
10．（5分）已知点P为双曲线﹣=1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，M为△F1F2P的内心，若S△F1MP=S△F2MP+4，则△F1F2M的面积为（）
A．5 B．6 C．2 D．10
【解答】解：由双曲线方程可得：﹣=1，焦点在x轴上，实轴长为2a=8，
虚轴长为2b=6，焦距2c=10，
设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=8，|F1F2|=10，
S△F1MP=|PF1|•r，S△F2MP=|PF2|•r，
=S△F2MP+4，
由S
△F1MP
∴|PF1|•r=|PF2|•r+4，解得：r=1，
∴=•2c•r=c•r=5，
故选A．
11．（5分）若点P是有共同焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若，则=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②
又，故∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2=2c2，即=2
故选：B．
12．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别
是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．± B．±C．±1 D．±
【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），
∵A1B⊥A2C，
∴，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
二．填空（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．
【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴
∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5
当且仅当即x=2y=1时取等号
故答案为：5
14．（5分）若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，则实数m的范围（﹣∞，﹣] ．
【解答】解：sinx+cosx=2sin（x+），
当x∈[，π]时，（x+）∈[，]
2sin（x+）=[﹣，1]，
若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，
则m∈（﹣∞，﹣]；
故答案为：（﹣∞，﹣]．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若
点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x或y=﹣x
y=x到平行直线x﹣y+2=0的距离d==，
则若点P到直线x﹣y+2=0的距离d＞，
∵d＞t恒成立，
则t≤，
即t的最大为，
故答案为：
三．解答题（共6个大题）
17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围
（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：对于命题p：x2﹣4ax+3a2＜0，即（x﹣a）（x﹣3a）＜0，故a＜x＜3a；
对于命题q：．
（1）若a=1，则命题p：1＜x＜3
∵p∧q为真，∴p真q真．
∴，
即实数x的取值范围为（1，2）；
（2）若┐q是┐p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，
故（a，3a）⊊[﹣1，2）
又∵a＞0，∴3a≤2，得a≤
故a的取值范围为（0，]
18．（12分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，过
焦点且垂直于y轴的弦长为6，
（1）求双曲线方程；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，求MN的长．
【解答】解：（1）由题意，=，=6，
∴，
∴双曲线方程为y2﹣=1；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线方程为y=x﹣2，
代入双曲线方程可得2x2﹣12x+9=0
∴|MN|==6．
19．（12分）某学校校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不管墙高），工程的造价是：
（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%；
（2）拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%．问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？
【解答】解：设保留旧墙x m，即拆去旧墙（14﹣x）m修新墙，设建1m新墙费用为a元，则
修旧墙的费用为y1=25%×ax=ax；
拆旧墙建新墙的费用为y2=（14﹣x）×50%a=a（14﹣x）；
矩形边长为x，所以另一边长为，矩形总周长即为+2x，因为有14m
旧墙拆掉或拆旧建新，所以新墙就是+2x﹣14，新墙的费用为：y3=（+2x ﹣14）a．
于是，所需的总费用为：
y=y1+y2+y3=[a≥=35a，
当且仅当，即x=12时上式的“=”成立；
故保留12 m的旧墙时总费用为最低．
20．（12分）已知a+b+c=1，且a，b，c是正数，
（1）求证：++≥9；
（2）若不等式|x﹣2|≤a2+b2+c2对一切满足题设条件的正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】（1）证：∵a+b+c=1，且a，b，c是正数，
∴2（++）=（a+b+b+c+c+a）•（++）
=6+2+2+2≥6+2×2+2×2+2×2=18，
∴++≥9．（当且仅当a=b=c=时取等号）．…（5分）
（2）解：∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2，（当且仅当a=b=c=时取等号），
由|x﹣2|，可解得x的取值范围是．…（10分）
21．（12分）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2=4y上，P在第一象限，如图．F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，|PF|=3，求直线AB的方程．
【解答】解：设P（x，y），由|PF|=3，得y=2，
∴x=2，即P（2，2）
设M（x0，y0），由=3，得x0=﹣，y0=，即M（﹣，）
M为AB的中点，k AB=﹣，
∴AB的方程为：3x+9y﹣2=0．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，
=λ2，求证：λ1+λ2为定值．
【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于，
∴设椭圆方程为，
根据题意得：，
解得a2=5，b2=1，所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）证明：椭圆C的右焦点F（2，0），
根据题意可设l：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k），
令A（x1，y1），B（x2，y2），
由得：（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，
所以，且△＞0，
由，得（x1，y1+2k）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2，y2+2k）=λ2（2﹣x2，﹣y2），
所以，
所以．
故λ1+λ2为定值．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
B
D
C
O
A
P
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ．
(1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
G
C
M
E D
O
B
A
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。