2020年中考数学备考 三轮专题复习 三角形(解析版)

2020年中考数学备考三轮专题复习三角形（解
析版）
一、选择题（本大题共6道小题）
1. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为
()
A.7
B.8
C.9
D.10
【答案】C[解析]由三角形三边关系可知，第三边长x的取值范围是4-1<x<1+4，即3<x<5.
∵第三边长为整数，
∴x=4，
∴该三角形周长为1+4+4=9.
故选C.
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则()
A.=
B.=
C.=
D.=
【答案】C[解析]根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.
∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故选C.
3. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边
和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
【答案】C[解析]如图，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，
∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°.
∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°，
故选C.
4. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()
A.2+
B.+
C.2+
D.3
【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF=1.
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD=DF=，
∴BC=BD+CD=2+.
5. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是()
A.24
B.30
C.36
D.42
【答案】B[解析]过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DH=CD=4，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=AB·DH+BC·CD=×6×4+×9×4=30.
6. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，则(sinθ-cosθ)2= ()
A.B.C.D.
【答案】A[解析]∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，
∴5cosθ-5sinθ=5，
∴cosθ-sinθ=，
∴(sinθ-cosθ)2=.故选A.
二、填空题（本大题共6道小题）
7. 如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米(结果精确到0.1 m，参考数据:sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19).
【答案】1.5[解析]由三角函数的定义得:sinα=sin50°==≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5(米).
8. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD 绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B在同一直线上，则∠ABD的度数是.
【答案】22.5°[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD，
∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.
∵D'，D，B三点在同一直线上，
∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.
9. 如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=.
【答案】90°[解析]∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°.∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD.
∵DE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，
∴∠1+∠2=(∠ABD+∠CDB)=90°，故答案为:90°.
10. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=.
【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.
∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.
∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，
∴S△BDC=9S△BPG=9.
∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，
∴S△PDF=4S△BPG=4.
∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.
11. 如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是.
【答案】8[解析]∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°.
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=30°.
延长CD到H使DH=CD，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.
在△ADH与△BDC中，
∴△ADH≌△BDC(SAS)，
∴AH=BC=4，∠H=∠BCD=90°.
∵∠ACH=30°，
∴CH=AH=4，∴CD=2，
∴△ABC的面积=2S△BCD=2××4×2=8.
12. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是.
【答案】(2，2)[解析]如图，作AE⊥x轴于E，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠OAE=30°.
∵点B的坐标是(6，0)，∴AO=OB=3，
∴OE=OA=，
∴AE===，
∴A.
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，
∴点C的坐标为，即(2，2).
三、解答题（本大题共5道小题）
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:直线AB与☉O相切;
(2)若AB=5，☉O的半径为12，则tan∠BDO=.
【答案】
解:(1)证明:连接OB，如图所示.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠OCD，
∴∠ABC=∠OCD.
∵OD⊥AO，
∴∠COD=90°，
∴∠D+∠OCD=90°.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
∴∠OBD+∠ABC=90°，
即∠ABO=90°，
∴AB⊥OB，
∵点B在☉O上，
∴直线AB与☉O相切.
(2)∵∠ABO=90°，
∴OA===13，
∵AC=AB=5，
∴OC=OA-AC=8，
∴tan∠BDO===.
故答案为:.
14. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;
(2)∠BEC=3∠ABE.
【答案】
证明:(1)如图，连接DE.
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB.
∴∠ADC=90°.
∵AE=CE，
∴DE=AC=CE=AE.
∵BD=CE，
∴DE=BD.
∴点D在线段BE的垂直平分线上.
(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.
∵DE=AE，
∴∠A=∠ADE=2∠ABE.
∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，求DE的长.
【答案】
解:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.
∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠D，∴CD=BC=6.
在Rt△ABC中，AC===8.
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，
∴====，
∴CE=AE，DE=BE，即CE=AC=×8=3.
在Rt△BCE中，BE===3，
∴DE=BE=×3=.
16. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O 相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接P A，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:P A是☉O的切线;
(2)证明:EF2=4OD·OP;
(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.
【答案】
解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以P A=PC，所以∠PCA=∠P AC，因为AB是☉O的直径，
所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，
因为∠PCA=∠ABC，所以∠P AC=∠ABC，
所以∠P AC+∠BAC=90°，所以P A⊥AB，所以P A是☉O的切线.
(2)因为∠P AO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△P AO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，
所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.
(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，
则FD=3x，
连接AE，易证△ADE∽△FDA，
所以==，
所以ED=AD=x，
所以EF=x，EO=x，DO=x，
在△ABC中，DO为中位线，
所以DO=BC=4，
所以x=4，x=，所以ED=x=.
17. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD
的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断. AB，AD，DC之间的等量关系为;
(2)问题探究:如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.
①
②
【答案】
解:(1)AD=AB+DC
[解析]延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F.
∵E是BC的中点，
∴CE=BE.
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB.
故答案为:AD=AB+DC.
(2)AB=AF+CF.
证明:如图，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G.
在△AEB和△GEC中，
∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠F AG，
∴∠F AG=∠G，
∴F A=FG，
∴AB=CG=AF+CF.。