导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法之欧阳组创编

导数和数
列综合问题解决技巧之构造函数法
1．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下
面的不等式在R 上恒成立的是 A ．
)(>x f B ．
)(<x f C ．x x f >)(
D ．x x f <)( 【答案】A
【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．
令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，
① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x
'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．
②
当0x <时，有2()
2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=
>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
2．已知函数21()(1)ln 2
f x x ax a x =-+-，1a >．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有
1212
()()
1f x f x x x ->--．
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．
211(1)(1)
()a x ax a x x a f x x a x x x
--+--+-'=-+== …………………2分
（i ）若11a -=即2a =，则2
(1)()x f x x
-'=
，
故()f x 在(0,)+∞单调增加．
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少， 在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．
（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在
(0,1),(1,)a -+∞单调增加．
（II ）考虑函数()()g x f x x =+2
1(1)ln 2
x ax a x x =
-+-+． 则
21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+
≥-=-． 由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当
120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即
1212()()0
f x f x x x -+->，故
1212
()()
1f x f x x x ->--，当
12
0x x <<时，有
12211221
()()()()
1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分
3．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引
斜率为
(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．
（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2
）证明：1
3521n
n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅<
<．
【解析】曲线222:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)
n ，半径为n 的圆，
切线:(1)n n l y k x =+ （Ⅰ）依题意有
n =，解得22
21n n k n =+，又2220n n n x nx y -
+=， (1)n n n y k x =+ 联立可解得,1
n n n
x y n =
=
+，
=
n n x y = 先证：13521n x x x x -⋅⋅
⋅
⋅<
证法一：利用数学归纳法 当1n =
时，112
x =<
假设n k =时，命题成立，即13521k x x x x -⋅⋅⋅
⋅<
则当1n k =+时，135212121k k k x x x x x x -+
+⋅⋅⋅
⋅<
=
∵22
22
41616/[12(2)483
k k k k k
++=>+
++， <=
．
∴当1n k =+时，命题成立
故13521n x x x x -⋅⋅⋅
⋅<
证法二
：
=
=，
121
21
4)12(4)12(2122
222+-=--<-=-n n n n n n n n ，
<
不妨设(0,3t =
，令()f t t t =，
则()10f t t '=<
在t ∈
上恒成立，故()f t t t =
在
(0,
3
t ∈上单调递减，
从而()(0)0f t t t f =<=
<
综上，13521n
n n
x x x x x y -⋅⋅⋅
⋅<
成立．
4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）
设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <． （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224
ln f x ->．
【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-
且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式
480a ∆=->，即 1,2
a <
且
12x x =
= …………………………………①
又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2
．
当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：
因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．
（II ）由题设和①知
于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．
设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++ 则
()()2(12)1g t t t ln t '=-++
当12
t =-时，()0g t '=；
当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2
-是增函数．
于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24
ln g t g ->-=
因此 ()22122()4
ln f x g x -=>． www ．ks5u ．com5．【2008
年山东理】 21．（本题满分12分）
已知函数1()ln(1),1)
n
f x a x x =
+--（其中*
,n N ∈a 为常数． （I ）当2n =时，求函数()f x 的极值；
（II ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤- 【标准答案】
（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >， 当2n =时，
2
1()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以2
3
2(1)()(1)a x f x x --'=-．
（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =>，211x =<， 此时123
()()
()(1)
a x x x x f x x ---'=-． 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．
（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值． 综上所述，2n =时，
当0a >时，()f x 在1x =+
211ln 2a f a ⎛⎛⎫
+=+ ⎪ ⎝⎭⎝
． 当0a ≤时，()f x 无极值．
（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1
()ln(1)(1)
n
f x x x =+--． 当n 为偶数时， 令
1
()1ln(1)(1)
n
g x x x x =--
---， 则11
12()10(1)11(1)n n n x n
g x x x x x ++-'=+
-=+>----（2x ≥）．
所以 当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增， 又(2)0g =， 因此 1
()1ln(1)(2)0(1)n
g x x x g x =--
--=-≥恒成立，
所以 ()1f x x -≤成立．
当n 为奇数时， 要证()1f x x -≤，由于
1
0(1)n
x <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，
令 ()1ln(1)h x x x =---， 则 12()1011
x h x x x -'=-
=--≥（2x ≥）， 所以 当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>， 所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立． 综上所述，结论成立． 证法二：当1a =时，1
()ln(1)(1)n
f x x x =
+--．
当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有1
1(1)
n
x -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤．
令 ()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则 12
()111
x h x x x -'=-
=--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增， 因此 当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故 当2x ≥时，有1
ln(1)1(1)
n
x x x +---≤． 即
()1f x x -≤．
【试题分析】第一问对a 讨论时要注意一些显而易见的结果，当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值．第二问需要对构造的新函数()h x 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最
后作出判断．
【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式
【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断
/123
()()
()1)
a x x x x f x x ---=
-（的正负漏掉符号． 【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性． 6．【2007年山东理】 （22）（本小题满分14分）
设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．
（I ）当12
b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
（II ）求函数()f x 的极值点；
（III ）证明对任意的正整数n ，不等式2
3111
ln(1)n
n n
+>
-都成
立．
【解】（Ⅰ）由题意知，
()
f x 的定义域为
(1)
-+∞，，
222()211
b x x b
f x x x x ++'=+=++
设2()22g x x x b =++，其图象的对称轴为1(1)2
x =-∈-+∞，
， 当12
b >时，max 1()02
g x b =-+>，即2()220g x x x b =++>在(1)-+∞，
上恒成立，
∴当(1)x ∈-+∞，
时，()0f x '>， ∴当1
2
b >
时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，
上单调递增 （Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当12
b >时，函数()f x 无极值点
②12
b =时，
2
122()01
x f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭
'==+有两个相同的解12x =-，
112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 12x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，
1
2
b ∴=
时，函数()f x 在(1)-+∞，
上无极值点 ③当12
b <时，
()0f x '=
有两个不同解，112
x -=
，
2x =
0b <
时，11x =
<-
，20x =>，
即1(1)x ∉-+∞，，[21x ∈-+∞，
0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点2x =，
当102
b <<时，1112
x -=>-，
12(1)x x ∴∈-+∞，，
此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112
x -=和一
个极小值点
212
x -=
；
综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点212
x -=；
1
02b <<
时，()f x 有一个极大值点x =
x =
1
2
b ≥
时，()f x 无极值点 （Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，
则32
2
13(1)()3211
x x h x x x x x +-'=-+
=++．
∴当[)0x ∈+∞，时，()0h x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，
上单调递增， 又(0)h =(0)x ∴∈+∞，
时，恒有()(0)0h x h >=，即32ln(1)x x x >-+恒成立
故当(0)x ∈+∞，
时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n
=∈+∞，
，则有2
3111
ln 1n
n n
⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
所以结论成立．
7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分13分）
已知函数
2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-
+．
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式1(1)n a e n
++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是
自然对数的底数）．
求a 的最大值．
解： （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，
设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x
-'=
-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '>()h x 在(1,0)-上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数． 所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以
()0(0)g x x '<≠，
函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数． 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．
当0x >时，()0,
f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间
为(0,)+∞．
（Ⅱ）不等式1(1)n a e n
++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n
++≤由111
n
+>知，
设(]11
(),0,1,ln(1)G x x x x
=
-∈+则
由（Ⅰ）知，2
2
ln (1)0,1x x x
+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数． 故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1
(1) 1.ln 2
G =- 所以a 的最大值为
1
1.ln 2
- 1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14分）
设函数2()2(1)ln (),()k f x x x k N f x *'=--∈表示()f x 的导函数． （I ）求函数()y f x =
的单调递增区间；
（Ⅱ）当k 为偶数时，数列{n a }满足2111,()3n n n a a f a a +'==-，求数列{2n a }的通项公式；
（Ⅲ）当k 为奇数时， 设()12
n b f n n '=-，数列{}n b 的前n 项
和为n S ，证明不等式
()1
1
1n b
n b e ++>对一切正整数n 均成立，并比较20091S -与2009ln 的
大小．
解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
又212[(1)]
()22(1)k k
x y f x x x x
--''==--= ， (1)
分
1
当k 为奇数时，22(1)()x f x x
+'=，
即
()
f x '的单调递增区间为
(0,)+∞． …………2分
2
当k 为偶函数时，
22(1)2(1)(1)
()x x x f x x x
-+-'==
由()0f x '>，得10,1x x -> ∴>，即()f x 的单调递增区间为
(1,)+∞，
综上所述：当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞， 当
k 为偶数时，
()
f x 的单调递增区间为
(1,).+∞ …………4分
（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知22(1)
()x f x x
-'=
所以
2
2(1)
().n n n
a f a a -'=
根据题设条件有2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+ ∴{21n a +}是以2为公比的等比数列， ∴221211(1)22,2 1.
n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=- (8)
分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x
'=+
由已知要证
1
11,
n e n +⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
两边取对数，即证
11ln 1,1n n ⎛⎫
+> ⎪+⎝⎭
…………………10分
事实上：设11,t n
+=则1
(1),1
n t t =
>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t
>->…………………………………………① 构造函数1()ln 1(1),g t t t t
=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．
∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >=
即1ln 1,t t
>-
∴
11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∴1
11,n e n +⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
即()1
1
1n b n b e ++>成立． (12)
分
由11ln ,1
n n n +>
+
得111231ln ln ln ln(1),23112n n n n
+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++
即11ln(1),n S n +-<+
当2008n =时，20091S -<2009.ln ……………………………………………14分 2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）
已知0a >，函数1()ln x f x x ax
-=+．
（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由； （Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求证：
解：
（Ⅰ）
()
f x 的定义域为()0,+∞，
2
1
()ax f x ax -'=
，由
()0
f x '=得
1
x a
=
． ……2分 当1(,)x a a
∈时，()0f x '<，()f x 递减；
当1(,)x a
∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．
所以
()
y f x =不是定义域上的单调函
数． ……………………………4分
（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1a x
≥恒成立．
……
……………………．…6分
即1max,[1,)a x x ⎧⎫
≥
∈+∞⎨⎬⎩⎭
1
1x
∴
≤1a ∴≥． ……………8分 （Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x f x x x
-=+在[1,)+∞上为增函
数，
又当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x
-∴+>，即1ln 1x x
>-．
令()1ln ,g x x x =--则1()1g x x
'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>
从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->
综上有：
1
1ln 1,(1).x x x x
-<<-> ………………………………10分
111
ln .1x x x x
+∴
<<+ ………………………………………12分 令1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x
+∴<<+也
成立，
于是代入，将所得各不等式相加，得 即11111
...ln 1. (2)
3
2
1
n n
n +++<<+++
- 即111()(2).n n n
S f n S n N n n
*---<
-
<∈≥且 ……………………14分
3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本
小题满分12分）
已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,22
1)(2≠>=-=，如果
)()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点
（()()h x h x '为的导函数）． （I ）求a 的值；
（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，
0()()
()g n g m g x n m
-'=
-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明
解：（I ）因为).0(log 22
1)(2>+-=x x x x x h a
所以.ln 12)(a
x x x h +-='
因为),0()(+∞在x h 上是增函数． 所以),0(0ln 1
2+∞≥+
-在a
x x 上恒成立 ……………………………1分 当.ln 1
20ln 12,02a
x x a x x x -≥-⇔≥+
->时 而),0(1)1(222+∞--=-在x x x 上的最小值是-1．
于是.ln 11,ln 11a
a ≤-
≥-即（※） 可见)1ln 1.0ln 1,10(1矛盾这与则若≥<<<>a
a a a
从而由（※）式即得.1ln ≤a
① ………………．．………………………… 4分
同时，)0(ln 1ln 2ln ln 12)(2>+-=+
-='x a
x a x a x a x x x h 由2()()(2ln )4ln 0,h x a a '∆=--≥存在正零点知
解得1ln ≥a ②，或).,0ln ,1(0ln 这是不可能的
因为>>≤a a a 由①②得 .1ln =a
此时，e a x x h =='故存在正零点,1)(即为所求 ……………………………6分
注：没有提到（验证）1ln =a 时，,1)(='x x h 存在正零点不扣分． （II ）由（I ），,1)(,ln )(0
0x x g x x g ='= 于是
.ln ln ,)()(100m
n m n x m n m g n g x --=--= ……………………………7分 以下证明.ln ln n m
m n m
-<
-（☆）
（☆）等价于.0ln ln <+--m n m m n m ……………………………8分 构造函数),0(ln ln )(n x x n x x n x x r ≤<+--= 则),0(,ln ln )(n x x n x r ∈-='当时，
],0()(,0)(n x r x r 在所以>'上为增函数．
因此当,0)()(,=<<n r m r n m 时 即.0ln ln <+--m n m m n m 从而m x >0得到证明． ……………………………11分 同理可证.,.ln ln 0n x m m
n m
n n <<-->
综上 ……………………………12分
注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．
4．烟台市三月诊断性检测数学理22．（本小题满分14分） 设函数2(),()2ln h x x x e x ϕ==（e 为自然对数的底数）． （1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；
（2）若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域
上的任意实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．
试问函数()h x 和()x ϕ是否存在“隔离直线”?若存在．求出此
“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵2()()()2ln (0)F x h x x x e x x ϕ=-=->
∴22()()
'()2.e x e x e F x x x
-
+=-=
∴当x e =时，'()0F x =． ∵
当
0x e
<<时
'()0
F x <此时
()
F x 递
减；……………………………………3’
当x e >时，'()0F x >，此时()F x 递增． ∴当
x e
=时，
()
F x 取极小值，其极小值为
0．…………………………………6’
（2）由（1）可知，当0x >时，()()h x x ϕ≥（当且仅当x e
=时取等号）．
若存在()h x 和()g x 的“隔离直线”，则存在实常数k 和b ， 使得()h x kx b ≥+和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立． ∵()h x 和()g x 的图象在x e =()
h x 和()g x 的“隔离直线”，
则
该
直
线
过
这
个
公
共
点
(,)e e ． …………………………………………………8’
设“隔离直线”方程为()y e k x e -=，即.y kx e e =+-
由()(),h x kx e e x R ≥+-∈可得20x kx e e --+当x R ∈时恒成
立．
∵2(2)k e ∆=-
∴
由
∆≤，得
2k e =……………………………………………………………10’
下面证明()2x ex e ϕ≤-当0x >时恒成立．
令()()22ln 2,G x x ex e e x ex e ϕ=-+=-+则
当x e =
'()0G x =；
当0x e <<'()0G x >，此时()G x 递增；
当x e >
'()0G x <此时()G x 递减．
∴当x e =()G x 取极大值．其极大值为
0．
从而()2ln 20,G x e x ex e =-+≤
即
()2(0)
x ex e x ϕ≤->恒成
立．………………………………………………13’
∴函数()
h x 和
()
x ϕ存在唯一的“隔离直
线”2
.y ex e =-………………………14’
5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）
已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）
为减函数．
（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；
（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （3）当1->b 时,若2
12)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取
值范围．
解：（1）,2)(x
a x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ．
∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分
又x
a x g 21)(-
=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．
∵上式恒成立,∴.2≥a ②…………………………2分 由①②得2=a ．…………………………3分 ∴.2
)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分
（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即
设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x
x
x x h +--='则
令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x (5)
分
令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析：
x
（0,1）
1 （1,+）
)(x h ' - 0 + )(x h
递减
递增
可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分
当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,
∴0)(=x h 在（0,+）上只有一个解． 即当
x ＞0
时,方程
2
)()(+=x g x f 有唯一
解．…………………………8分 （3）设2'
23
122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, …………9分
()
x ϕ∴在
(0,1]
为减函数
min ()(1)1210
x b ϕϕ∴==-+≥ 又
1b >-………11分
所以：11≤<-b 为所求范围． (12)
分
6．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22．
已知函数1()ln x f x x ax
-=+ （注：ln 20.693≈）
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，若直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2
上
有两个不同交点，求实数b 的取值范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数1111
,ln 234n n n >++++…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以2
1
'()(0)ax f x a ax
-=> 依题意可得，对2
1
[1,).'()0ax x f x ax -∀∈+∞=≥恒成立， 所以 对[1,).10x ax ∀∈+∞-≥恒成立，
所以 对1[1,),x a x
∀∈+∞≥恒成立，max 1()a x
≥，即1a ≥
（2）当1a =时，2
1'(),x f x x
-=若1[,1]2
x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；
若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增；
故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f = 又11()1ln 2,(2)ln 2,2
2
f f =-=-
所以要使直线y b =与函数()y f x =
的图象在1
[,2]2
上
有两个不同交点，
实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即10,ln 2]2
-；
（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x f x x x
-=+在[1,)+∞上
为增函数，
当1n >时，令1n
x n =
-，则1x >，故()(1)0f x f >=， 即
111()ln ln 01111
n n n n n f n n n n n n --=
+=-+->----所以
1ln
1n n n
>-． 故 2131411ln ,ln ,ln ,ln
122334-1n n n
>>>>…,
相加可得2341111ln ln ln ln 123-1234n n n
+++>+++⋯+…+
又因为234234ln ln ln ln ln()ln 12311231
n n n n n ++++=⋅⋅=--……
所以对大于1的任意正整书1111,ln 234n n n
>++++…
（二）2009年4月后
7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）
已知函数2()ln .f x ax x =+
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于
两点1122(,)(,)A x y B x y 、
21()x x >，求证：121
x x k
<
<． 解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x = 以下先证11x k
>，
2121
2121
ln ln 0,y y x x k x x x x --=
=>--
所以只需证2121
1
ln ln 1x x x x x -<-，即
设()ln 1(
1)t t t t ϕ=-+ >，则1
()10(1)t t t
ϕ'=-< >． 所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1)t t ϕϕ<= >． 即ln 1(1)t t t <- >．又2
1
1x x >，
∴221
1
ln 1x x x x <-成立，即11x k
>．
同理可证21x k
<．
∴121x x k
<<．
8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分14分）
设函数()(1),()x f x e x g x e =-=．（e 是自然对数的底数） （Ⅰ）判断函数()()()H x f x g x =
-零点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *+=∈ ①求证：01n a <<；
②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．
解：（Ⅰ）()(1)x H x e e '=-- 令0()0,ln(1)H x x e '= =-
当0(,)x x -∞时，()0,H x '> ()H x 在0(,)x x -∞上是增函数 当
0(,)
x x +∞时，
()0,H x '< ()
H x 在
0(,)
x x +∞上是减函
数 (2)
从而0
max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x
H x H e x e e e e ==-+-=---+ (4)
注意到函数()ln 1k t t t t =-+在[)1,+∞上是增函数， 从而()(1)0,11k t k e ≥=->又 从而0()0H x > 综
上
可
知
：
()
H x 有两个零
点． …………………………………………………．6分 （Ⅱ）因为1()(),n n f a g a +=即1(1)1n
a n e a e +-+=
所以11
(1)1
n a n a e e +=
--…………………………………………………．7分 ①下面用数学归纳法证明(0,1)n a ∈． 当1n =时，1(0,1)a ∈，不等式成立．
假设n k =时，(0,1)k a ∈ 那么11
(1)1
k a k a e e +=
-- 1
0(1)11
k a e e ∴<
-<- 即1(0,1)k a +∈ 这表明1n k =+时，不等式成立．
所以对n N *∈，(0,1)n a ∈ (10)
②因为1(1)1n
a
n n n e a a e a +--=--
考虑函数()1(01)x p x e x x =-- << (12)
从而()p x 在(0,1)上是增函数 ()(0)0p x p >=
所以1(1)0n n e a a +-->
即1(1)n n e a a +->…………………………………………………………14分 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）
已知函数1()ln sin g x x x
θ=
+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，
1
()ln m f x mx x x
-=-
-，m R ∈． （1）求θ的取值范围；
（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()e h x x
=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得
000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．
解：
（1）由题意，
2
11()0sin g x x
x
θ'=-
+
≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即
2
sin 1
0sin x x θθ⋅-≥⋅
(0,),sin 0θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， (2)
分
只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得
2
π
θ=
．…4分
（2）由（1），得
()()2ln .m f x g x mx x x -=--()22
2()().mx x m f x g x x -+'∴-=
()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数， 220
mx x m ∴-+≥或者
220
mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成
立． ……………．． 6分
220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即2
2,1x
m x
≥
+ 而
2
222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫
⎪⎪
== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭
． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即2
21x
m x ≤+在[)1,∞恒成立，
而(]220,1,01x m x
∈≤+．
综上，
m
的取值范围是
(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分
（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x
=
--=-
-- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x
∈-≤，22ln 0e x x
--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，
使得000()()()f x g x h x ->成立．
当0m >时，2222
2222().m e mx x m e
F x m x x x x -++'=+-+=
…………12分 因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．
故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4
()4F x me e
=--，只要440me e
-->，
解得24.1
e
m e >- 故
m
的取值范围是
24,.1e e ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
……………………………………………14分 10．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22．（本小题满分14分）
数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意
n N *∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n n
x
b a =，求证：对任
意实数(1,](x e e ∈是常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；
（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*+=∈．求数列{}n c 中的最大项．
解：由已知：对于n N *∈，总有22n n n S a a =+成立 (1)
2
1112(2)n n n S a a n ---∴=+≥…（2） ……………………………………1分
（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+--
1,n n a a -均为正数， 11(2)n n a a n -∴-=≥
∴
数列{}
n a 是公差为1的等差数
列 ………………………………………3分
又1n =时，21112S a a =+，解得11a =
()n a n n N *∴=∈……………………………………………………………5分
（2
）证明：对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有
22
ln 1n n n x b a n
=≤……6分
1111111(1)()...222231n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭
……………9分
（3
）解：由已知22112a c c ==⇒=
33223a c c ==⇒=
44334a c c ==⇒==
易得12234,......c c c c c <>>> 猜
想
2
n ≥时，
{}
n c 是递减数
列 ……………………………………………11分
令ln ()x f x x
=，则
22
1
ln 1ln ()x x
x x f x x x
⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，
由11n n n a c ++=知ln(1)ln 1
n n c n +=+
2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列
又
12
c c <，
∴
数列{}n c 中的最大项
为
2c =分
三、2010年模拟试题
1．山东临沂罗庄补习学校数学资料
已知23()ln 2,().8
f x x x
g x x =++=
（1）求函数()()2()F x f x g x =-⋅的极值点；
（2）若函数()()2()F x f x g x =-⋅在),()t e t Z ⎡+∞∈⎣上有零点，
求t 的最小值；
（3）证明：当0x >时，有[]1()
1()g x g x e +<成立；
（4）若1
(1)
()
()
g n n b g n n N *+=∈，试问数列{}n b 中是否存在
()n m b b m n =≠？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请
说明理由．（e 为自然对数的底数）．
解：（1）由题意，
2
3()ln 228
F x x x x =
++-的定义域为
(0,)+∞……………1分
(32)(2)
()4x x F x x
--'=
……………………………………………………2分
∴函数()F x 的单调递增区间为20,3⎛⎤
⎥⎝⎦和[)2,+∞，()F x 的单调递
减区间为2,23
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
所以
2
3
x =
为
()
F x 的极大值
点， ………………………………………………3分
2
x =为
()
F x 的极小值
点， ………………………………………………4分
（2）()F x 在2,3
x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
上的最小值为(2)F 且23ln 41(2)242ln 208
2
F -=⨯-++=>
()F x ∴在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上没有零点，
……………………………………………5分
∴函数()F x 在),t
e ⎡+∞⎣
上有零点，并考虑到()F x 在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
单调递增且在
2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，故只须
2
3
t e <
且
()0
F t ≤即
可，……………………………………………6分
易验证121222313()120,()20,8
8F e e e F e e e -----⎛⎫
=⋅+->=
⋅-< ⎪⎝⎭
当2,t t Z ≤∈时均有()0,t F e <所以函数()F x 在)1
,()t e e t Z -⎡∈⎣
上有零点，
即函数()F x 在),()t
e t Z ⎡+∞∈⎣上有零点， t ∴的最大值为
2-……………9分
（3）证明：当0x >时，不等式[]1()
1()g x g x e +<
即为：1
1
(1)
ln(1)1ln(1)x
x e x x x x
+<⇔
+<⇔+< 构造函数()ln(1)(0),h x x x x =+->则1()10,11x h x x x
-'=
-=<++ 所以函数()h x 在(0,)+∞上是减函数，因而0x >时，
()(0)0,h x h <= 即：0x >时，ln(1)x x +<成立，所以当0x >时，[]1()
1()g x g x e +<成
立；…11分
（4）因为1
(1)(2)111
(1)(2)2222
(1)11(1)3(1)
,(1)n n n n n n n n n n n b n n e n n b n
b n n n n n ++++++++++++===⋅+<<
令2
3(1)
1n n
+<，得：2330n n -->，结合n N *∈得：4n ≥时， 因此，当4n ≥时，有(1)(2)
1(1)(2)1,n n n n n n
b b +++++<
所以当4n ≥时，1n n b b +>，即456...b b b >>>……………………………12分
又通过比较1234b b b b 、、、的大小知：1234b b b b <<<， 因为11,b =且1n ≠时11
1,n n b n
+=≠所以若数列{}n b 中存在相等的
两项，只能是23b b 、与后面的项可能相等，
又1
1113
9
6
4
283528,35
b b b b ====>=，所以数列{}n b 中存在唯一相等
的两项，
即28b b =． ……………………………………………………………………14分
2．皖南八校2010届高三年级第二次联考21．（本小题满分13分）
在数列{}n a 中，12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列}2
{
n n
a 为等差数列； （II ）若m 为正整数，当
2n m
≤≤时，求证：
1
231
(1)()n m n n m m n a m
⋅--+≤
． 解：（I ）由1122+++=n n n a a 变形得：12
2,1221
111=-+=++++n n
n n n n n n a a a a 即 故数列}2
{n
n a 是以121
=a 为首项，1为公差的等差数列…………
（5分）
（II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅=
m
m n m m m a n n m m n
m n n 1
)23)(1(1)3)(1(221
-≤
+--≤⋅+-即…………（7分）
欧阳组创编 2021..02.16 欧阳组创编 2021..02.16 令m n m n n m n f n m n f 1)2
3()()1(,)23()1()(+⋅-=+⋅+-=则 当m n m n m n f n f n m 1)3
2(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时 又23221211)211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 1
)23(211>-+∴ 则)(,1)
1()(n f n f n f 则>+为递减数列． 当m=n 时，)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴递减数列．（9分） 要证：2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m m
m m m m n m m m m n 而即证时， 故原不等式成立．（13分）
（法二）由（I ）得n n n a 2⋅=
m m n m m m a n n m m n
m n n
1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即（7分） 令)12
3ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m x m x 则 ],2[)(0)(',11,2m x f x f m x m m x 在即<∴<+-∴
≤≤ 上单调递减．（9分） ∴m m m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max
-≤--==∴2故只需证 也即证时而2,)11(149≥+≤m m m ，
故原不等式成立．（13分）。