小学数学统计与概率

小学数学统计与概率
小学数学统计与概率
一、数据分析观念的内涵
1.在实验稿《课标》中“统计观念”是核心概念，现在为什么改名为“数据分析观念”呢？
在《不列颠百科全书》中关于统计学是这样定义：统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。

的确，统计学的一个研究对象是数据，它是通过收集数据，以及对数据的分析来帮我们解决问题的。

在义务教育阶段我们处理的数据都是有实际背景的，正如课表组组长史宁中教授所述：“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术」
可见，统计学的一个核心是数据分析，实验稿中叫统计观念，现在叫数据分析观念，这两点并没有本质性的不同，而是用这样的语言更加点出了统计的核心就是数据分析让人一目了然。

2.数据分析观念的内涵
在课标当中，对于数据分析观念，有这样的描述：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面说明只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析是统计的核心。

3.如何发展学生的“数据分析观念” ？
第一，就是让学生去经历这个数据分析的过程，体会数据中蕴含的信息。

例如，清华附属小学安华老师执教的一年级《统计》。

安老师为学生提供了四部动画片，选出大家最喜欢看的一部进行播放。

学生的想法各不相同，这可怎么办呢？老师启发学生自己去想办法，让学生感悟到我们是为了解决问题而来做统计的。

统计什么？怎样统计呢？学生自始至终都在思考中，他们最先想到举手表决，却没有准确统计出结果，然后又继续想办法，有的学生说站起来这样数的更清楚了，还有说在小组内去统计，然后我们再汇总，最后大家
都统一到用投票表决的方法来统计。

当数据统计上来以后，如何让学生体会数据中蕴含的信息呢？安老师让学生利用数据来推断，看哪部动画片，要用数据来说话。

恰巧当时这个班正好有一个孩子是请假没来，老师提出问题：如果这名同学也来投票表决，还是去看“多啦A梦”吗？学生根据数据利用简单推理也做出了判断。

第二，鼓励学生掌握数据分析的方法，根据问题的背景能选择合适的方法。

例如，体育课上11名男同学100米跑的成绩：13秒2 17秒13秒5 15秒8 12秒17秒1 16秒7 15秒6 17秒16秒6 16秒7。

平均数：15秒6，中位数：16秒6
(1)如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以参加，选择哪个成绩作为标准？
(2)如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？(答案不唯一)
(3)如果要确定一个标准，你如何确定？为什么？
第三，通过数据分析，让学生感受数据的随机性。

史宁中说：“统计与概率领域的教学重点是发展学生的数据分析意识，培养学生的随机观念，难点在于，如何创设恰当的活动，体现随机性以及数据获得、分析、处理进而作出决策的全过程。

”
例如：上学时间。

学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。

为什么我们要在统计概率教学中，把数据分析观念作为一个核心概念呢？可以从标准解读中对核心概念的价值进行分析。

在标准解读中，提出了四个方面的价值。

第一，它们是学生在义务教育阶段数学
课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面(教育价值)；第二，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把
握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键；第三，核心概念本质上体现的是数学的基本思想；第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。

二、统计与概率的内容变化及主线分析
（一）新课标中关于“统计与概率”的内容标准
1.《标准》中有关“统计与概率”的内容标准
2.分析调整原因
“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容学习的层次性更加明确。

强调培养数据分析观念，与学生的现实生活联系得更加紧密。

内容结构上，三个学段有较大的差别。

第一学段内容大减少，只保留3条要求。

主要是学会分类、会进行简单的数据搜集与整理的；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共8条；第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率两部分”，共11条。

这样调整的原因在于，在实验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习有一定困难，教学设计与实施有很大难度。

同时，在内容上与后面两个学段有很大的重复。

因此，较大幅度降低了第一学段统计与概率内容的要求，对
后两个学段的内容也做相关的调整，如中位数、众数等内容从第二学段移到第三学段。

这样使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也表现一定的梯度。

（二）统计与概率的内容主线
统计与概率的内容主线，主要包括四方面的内容，第一是数据分析过程；第二是数据分析方法；第三是数据的随机性；第四是随机现象及简单事件发生的概率。

这四条主线很重要，我们常说教知识不仅仅要教给学生一颗一颗的珍珠，还需要把这些珍珠串成一条一条美丽的项链，显然主线就是串这个项链非常重要的方面。

我们可以看到课标每个学段的第一句话，都是提出了有关过程的要求，显然就成为了统计学习的最主要或者最首要的一个主线，《标准》在三个阶段都提出了相应的要求：在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程”在第二学段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”。

在第三学段中，提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据”。

从三个学段的要求不难看到，首先过程都是重要的，第二数据分析的过程可以包括收集、整理、描述和分析，另外随着年龄的差别，在要求上会有所差别，第一学段经历简单就可以了，到第二学段稍微要把描述分析数据提出来是这样一个过程，为了使大家对这个过程，再加深理解，我们下面列举标准中的一个案例，来说明这个过程。

第一学段（《标准》例19）:对全班同学的身高进行调查分析。

从以下的数据中可以得到哪些信息呢？
第 1 小组116 128 124 135 128 141
第 2 小组129 130 134 127 134 138
第 3 小组138 142 119 123 127 146
第 4 小组119 137 136 138 150 152
第 5 小组125 120 131 143 135 148
第 6 小组138 132 147 139 148 139
［说明］学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的
数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。

希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。

在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。

教学中可以作如下设计：
（1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。

（2）从汇总后的数据中发现信息。

比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等。

在讨论过程中, 括号中的有些
名词并不需要出现，但是希望学生体会数据所代表的意义。

（3）在整理中，可以让学生尝试创造灵活的方法。

例如，寻找最高，可以直接比较寻找，当学生人数比较多时，也可以分组寻找组内最高，然后在每组的最高中寻找最高；在考虑顺序问题时，学生可能会有不同的排序方法。

例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将这些数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数，拿第二个数与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将这些数排序。

无论学生的出发点如何，只要思路清晰、排序正确即可。

第二学段（《标准》例38）：对全班同学的身高的数据进行整理和分析。

［说明］在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。

在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。

整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。

学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。

教学设计时，可以关注如下要点：
（1）组织学生讨论并明确画统计图的基本标准。

如果学生意见不一致，可以根据意见的不同把学生分组，各自画出统计图后进行比较。

（2）可以把几年来全班同学平均身高的数据画出折线统计图，让学生与自己身高
数据的折线图进行分析比较。

还可以对男女生的身高数据进行分析和
比较。

（3 ）组织学生讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。

学生可以用平均身高作为代表，用自己的身高与平均身高进行比较；可以用出现次数最多的身高作为代表（“众数”的意义），用自己的身高与其相比；也可以用班级中等水平学生的身高作为代表（“中位数”的意义），用自己的身高与其相比。

学生只要能说出自己的理由就可以，不需要出现“众数”“中位数”等名词（只要求教师理解，不要求给学生讲解）。

（4）虽然数据整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的结论清晰, 能够更好地反映实际背景。

第三学段：比较自己班级与别的班级同学的身高状况。

［说明］对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。

因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。

同样的一个内容，在不同的年级可以有不同的要求，第一学段，要求的难度，就是在提取信息的数量上，要求并不是非常的高，关键是让他意识到，感悟到数据是信息，那么到了第二学段，显得这个要求又有所变化了，总之要让学生经历数据的收集、整理、描述、分析的过程，要亲自参与其中。

三、数据分析的方法
1.收集数据的方法
在收集数据的方法中我们要把握这么几点：第一点就是我们所涉及的数据, 可能是全体数据，或者我们说总体数据，也可能是通过抽样获得的数据，抽样数据，在小学阶段，学生收集的基本上都是总体数据。

第二个就是数据的来源，实际上是有两种，一种就是阅读别人现成的数据，比如说报刊资料上等等的数据，还有一点就是需要自己的调查的数据，对于小学来说除了要看别人的数据非常重要，也要自己要做一些调查数据，在这方面很多老师都有非常好的经验和设计好的例子，比如我看到一些课堂中，老师们引入了让一年级的孩子来统计换乳牙的情况，或者让有些同学来统计看电视的
时间等等，值得注意的是如果我们让学生去收集自己调查的数据，一定要教给他们一些方法，比如说我曾看到，有的学生并不知道什么叫乳牙，他也不知道看电视的时间应该怎么统计，所以这样以来呢，报出来的数据就不够真实，是比影响统计的效果，那我们可以安排一些活动，让学生在老师的指导下，或者在家长的帮助下，让他来去调查，这样会更好。

常用的收集数据的方法包括这么几方面：调查的方法、实验的方法、测量的方法、查阅资料的方法等等。

总而言之，学生应该对收集数据的方法有一个比较丰富的体验，《课标》无论在第一学段还是第二学段都提出了这样的要求，比如说在第一学段课标是这样说的，要了解一些调查、测量等收集数据的简单方法。

那么有的老师说这两个好像也没有太大区别，其实严格意义上都是学生自己去做，当然我们可以这么理解，调查就是学生去问问自己的同伴，那么测量呢，比如说我们可以量量这个课桌有多长，我们量量我们班的课桌大体上都是多长，包括我们在前面举过的上学时间都可以理解是测量。

在第二学段，显然又进了一步，要求学生能够自己来设计简单的调查表，这
跟第一学段相比有进一步的提高，而且能够选择适当的方法了，就不仅仅是了解了，在选择方法中包括了我们说的调查，可以做一些测量，还可以做一些试验，比如说我们原来肯定做过的物理试验，或者说呢有的课上这样让学生做试验，反弹高度，就不同高度抛一个球，肯定起始高度越高，反弹高度一般情况下都会高，那么到底是什么关系呢，这时候通过试验来获取一些数据。

这三点都是学生能够自己获得的。

当然我们也要让学生了解现成的数据，也就是从报刊、杂质、电视等等媒体中呢，有意识的获得一些数据，那么总而言之应该对收集数据的方法有比较丰富的体验。

2.整理、描述、分析数据的方法
当人们收集了一堆数据以后，这些数据往往看起来比较杂乱，这就需要来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱无章的数据进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。

常用的收集数据方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。

学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验。

为此，《标准》在第一学段提出“了解调查、
测量等收集数据的简单方法”在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。

在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。

第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量一一平均数。

统计图可以很直观反应数据，学生对统计图中数据的分析以及预测都是数据分析观念的重要体现。

对于统计图的学习，提出几点需要注意的：第一，不要急于引入正规统计图的学习，在第一学段《标准》要求鼓励学生用自己的方式来描述数据。

第二，在描述数据的过程中，使学生不断体会各种统计图的特点，能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。

第三，鼓励学生读懂媒体中的一些统计图表。

第四，鼓励学生从统计图中获取尽可能地有用信息。

这个问题也是大家普遍困惑的，到底引导学生从哪些方面来“读图”呢？
Curcio （1987 ）把学生对统计图的认识分为三个水平：（1 ）数据本身的读取（reading the data ），包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。

（2）数据之间的读取（reading between the data ）。

这包括做比较（例如比较好、最好，最高、最小等）和对数据进行操作（例如加减乘除）。

（3）
超越数据本身的读取（reading beyond the data ），包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。

在实际教学中，教师已经开始重视鼓励学生尝试由信息来进行预测。

但是, 在教学中还存在了一些误区。

比如，曾经有过这样的案例：如图2，教师鼓励学生根据某女生出生到12岁的身高，由此去预测这个学生15岁的身高（图2
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有的学生（虽然是很少数）脱离了数据去进行“预测”：“我觉得她应该能长到190厘米，因为我希望她去打篮球”。

就是基于数据，学生也有五花八门的答案，有的说：“ 8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，照这个趋势12到14岁要长30多厘米，我估计她到15岁要到2米了”；有的说：“ 8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了 24厘米， 12岁到14岁又会回到长10厘米，我估计她到15岁快到180厘米”还有的说：“到12岁就不怎么长了，我估计她到15岁差不多170厘米。

”面对五花八门的答案，教师也觉得都有道理，不知如何引导。

这里需要注意两点。

第一，预测需要基于数据。

对于脱离数据进行“预测” 的学生，要引导他用数据说话，虽然这个预测也有可能，但可能性不会大；第二，有时候为了更合理地预测，需要我们收集更多的数据。

教师可以引导学生思考：几个学生的想法都有道理，但是要比较合理地预测，还需要我们掌握更多的信息，比如，可以收集曾经和她差不多情况的人15岁的身高来帮助预测; 或者把她与当地女生平均身高进行对比，看看12岁与平均身高的对比情况，由此预测15岁与平均身高的对比情况。

当然，无论哪种预测都不能肯定是正确的，但会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测要合理。

进一步，如果条件允许的话，还可以鼓励学生实际去做。

在这样的思考下，一位老师做了如下的设计：根据统计图来进行“三次”预测。

第一次，教师呈现小婷（女生）出生到12岁的身高数据（如图2 ），鼓励学生
预测她15岁的身高。

和前面叙述的一样，学生基于这个数据给出了不同答案。

教师没有就此结束，而是给出了小婷15岁的身高，引起学生的反思：“实际上，小婷今年已经15岁了，她的身高是168厘米”，并得到图3 。

11
在此基础上再鼓励学生预测小婷18岁的身高。

学生发现小婷12
— 15
岁增长的幅度不大，由此推断15 —18岁增长的幅度也会不大。

那么是这样吗？有的学生提出可以找一些和小婷情况差不多的女孩，看看她们18岁时的
身高。

根据学生的想法，教师呈现了如下三个女生的身高（如图4，图5，
图6）鼓励学生进行第二次预测。

学生发现虽然她们的身高具体数值不同，但15 — 18岁变化趋
势却比较
一致，增长的幅度都不大，由此可以预测小婷到18岁很可能只比15岁时增长2厘米左右，即她18岁的身高在170厘米左右。

还有的同学发现小婷的身高值与图6所表示的女生比较接近，并且比这个女生略矮一些，由此根据这个女生18岁171厘米预测小婷170厘米。

进一步，有的学生提出只有这三个女生的数据是否太少了，不说明一般情况，还可以收集更多的数据。

于是，教师给出了北京城市女生平均身高统计图（如图7 ），鼓励学生进行第三次预测。

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学生发现这组数据也有这个趋势：15到18岁的身高增长的不多，由此预测小婷的身高是170厘米左右。

有的学生则根据15岁时小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估计小婷18岁时也要多6厘米，所以是169厘米左右。

当然，这些预测也并不能保证一定正确。

以上“三次预测”的案例是鼓励学生从数据中获取合理信息的有益尝试，在实践中我们还需要更多的案例，以及如何鼓励学生有效获取信息的策略，这也构成了需要进一步研究的问题。

教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法等的掌握。

需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。

总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏’”，而不是“对错”。

3.关于统计教学的几点建议
(1)发展学生的应用意识，感受统计的价值。

(2)教师要重视统计，并把发展学生的数据分析观念的培养作为重要的教学目标。

(3)切忌将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能。

四、数据的随机性及简单随机事件发生的可能性
1.数据随机性的内涵
数据的随机性主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

老师们存在这样的困惑：概率也是研究随机现象的，那么为什么又提出数据的随机性呢？
对于这个问题，史宁中教授这样回答：我听了一些课，老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得到出现正面或反面的概率是1/2，然
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后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果。

这里有两个问题。

第一，一个硬币，先假定它出现正面和反面的可能性是1/2，这是数学（或者称为概率）。

这个1/2是通过概
率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。

实际上，学生做了很多次实验也得不到1/2，反而更加糊涂了。

第二，运用定义的方式教学随机，不能很好的培养学生的随机观念。

需要指出的是，我们赞成做实验，赞成运用统计的思想来做实验。

统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。

同样是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例（频率），然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。

如果这个可能性接近1/2的话，就推断这个硬币大概是均匀的，这是统计的思想。

2.合理设计实验，体会数据的随机性
《标准》中提出了“体会数据随机”的想法，如何在课堂中设计合理的实验落实“体会数据随机”的目的呢？一个好的切入点是对目前课堂教学中的实验加以分析，看看哪些实验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思考和改进。

第一类：“验证”类
下面是一个五年级的课堂教学片段：
老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。

如果从中任意摸出1 个球，可能是什么颜色的球？摸到白球的可能性有多大，黄球呢？
（学生略做思考后交流。

）
生1 ：可能摸到白球，也可能是黄球。

生2 :摸到白球的可能性是9/10，因为有10个球，其中9个是白球。

（大家都表示同意）
师：好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。

本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为9/10，如前所述是不提倡的。

因为
学生完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率，他们产生不了做实验的需求。

如果做了实验，摸到白球的频率往往不是9/10，学生反而产生困惑，
当然也体会不到数据的作用了。

第二类：“体会随机”类
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看下面的一个二年级的课堂教学片段：
组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。

每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球？每次你都猜对了么？
活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学?（全班只有2人举手。

）。