高考数学二轮滚动检测 解析几何试卷 理含解析 试题

解析几何(jiě xī jǐhé)
本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共(yīgòng)150分，考试时间是是120分钟．
第一卷
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小(yī xiǎo)题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)
1．(2021·模拟(mónǐ))假设k，－1，b三个数成等差数列，那么直线y＝kx＋b必经过定点()
A．(1，－2)kB．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，
∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，
∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．
【答案】 A
2．(2021·高考)集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么“a＝3”是“A⊆B〞的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或者3，∴“a ＝3〞是“A⊆B〞的充分而不必要条件．
【答案】 A
3．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的间隔是()
A．2 3 B．2
C. 3 D．1
【解析】抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，由点到直线的间隔公式得F(2,0)到直线x
－3y＝0的间隔d＝|2－3×0|
12＋(－3)2
＝2
2
＝1.
【答案(dá àn)】 D
4．(2021·高考(ɡāo kǎo))设z1，z2是复数，那么(nà me)以下命题中的假．命题(mìng tí)是()
A．假设|z1－z2|＝0，那么z1＝z2
B．假设z1＝z2，那么z1＝z2
C．假设|z1|＝|z2|，那么z1·z1＝z2·z2
D．假设|z1|＝|z2|，那么z21＝z22
【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；
B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．
【答案】 D
5．假设圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，那么圆O的方程是()
A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
【解析】设圆心为(a,0)(a<0)，那么r＝
|a＋2×0|
12＋22
＝5，解得a＝－5，所以，所求圆的方程为：(x＋5)2＋y2＝5，应选D.
【答案】 D
6．(2021·高考)假设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±12
x
D ．y ＝±2
2
x
【解析(jiě xī)】 ∵e ＝3，∴c
a ＝3，即a 2＋
b 2a 2＝3，
∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程(fāngchéng)为x 2a 2－y 2
2a 2
＝1， ∴渐近线方程(fāngchéng)为y ＝±2x . 【答案(dá àn)】 B
7．点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2
＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，那么△ABM 的周
长为( )
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16 【解析】 因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.
【答案】 B
8．(2021·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MFMF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或者y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或者y 2＝8x
C ．y 2＝4x 或者y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或者y 2＝16x
【解析】 设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N . 由y 2＝2px ，F ⎝⎛⎭⎫
p 2，0，∴N 点的坐标为x 0＋
p
22，y 02
.
由抛物线的定义知，x 0＋p
2＝5，
∴x 0＝5－p
2.∴y 0＝
2p ⎝⎛⎭
⎫5－p 2. ∵|AN |＝
|MF |2＝52，∴|AN |2＝25
4
. ∴x 0＋
p
222＋y 02－22＝254
.
即
⎝⎛⎭
⎫5－p 2＋p 224
＋
2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22
－22＝25
4
.
∴
2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22
p 2－10p ＋16＝0.
解得p ＝2或者(huòzhě)p ＝8.∴抛物线方程(fāngchéng)为y 2＝4x 或者(huòzhě)y 2＝16x . 【答案(dá àn)】 C
9．假设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥1，
y ≥0，
那么z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( ) A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2
D ．2和0
【解析】 作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，
∴z min ＝2，z max ＝4. 【答案】 B
10．(2021·高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A.43 B ．2
C.83
D.1623
【解析(jiě xī)】 由C ：x 2＝4y ，知焦点(jiāodiǎn)P (0,1)． 直线(zhíxiàn)l 的方程(fāngchéng)为y ＝1. 所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 2
4d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3
122－2＝8
3. 【答案】 C
11．(2021·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2
n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与
抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，那么n 的值是( )
A ．1
B ．4
C ．8
D ．12 【解析】 抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋n
m
＝4，即n ＝3m .
所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 D
12．(2021·质检)椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，假如直线y ＝2
2x 与椭圆的一个
交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，那么m 的值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．8
D ．2 3
【解析】 根据条件c ＝
16－m 2
，那么点(
16－m 2
，
2
2
16－m 2
)在椭圆x 216＋y 2
m
2＝
1(m ＞0)上，
∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.
【答案(dá àn)】 B
第二卷
二、填空题(本大题一一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上)
13．l 1，l 2是分别(fēnbié)经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行(píngxíng)直线，当l 1，l 2间的间隔 最大时，直线l 1的方程是________．
【解析】 当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的间隔 最大．
又k AB ＝
－1－1
0－1
＝2， ∴直线l 1的斜率k ＝－1
2
，
那么l 1的方程是y －1＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －3＝0.
【答案】 x ＋2y －3＝0
14．(2021·高考改编)双曲线x 24－y 2
＝1的顶点到其渐近线的间隔 等于________．
【解析】 由x 24－y 2
＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，
∴顶点到渐近线的间隔 d ＝
25
＝255.
【答案】
25
5
15．执行如图5－1所示的程序框图，假设输入n 的值是4，那么输出s 的值是________．
图5－1
【解析(jiě xī)】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5完毕(wánbì)．
【答案(dá àn)】 7
16．三角形ABC 中，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝－6，且角C 为直角(zhíjiǎo)，那么角C 的对边c 的长为__________．
【解析】 由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6， 得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6， 即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】
6
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)
17．(本小题满分是10分)圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；
(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程． 【解】 圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)， 即kx －y －k －2＝0，
由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝4
3
，
所以切线方程为y ＋2＝4
3(x －1)，即4x －3y －10＝0，
又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以(suǒyǐ)所求的切线方程为x ＝1或者(huòzhě)4x －3y －10＝0.
18．(本小题满分(mǎn fēn)是12分)(2021·高考(ɡāo kǎo)改编)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为
22
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为
6
4
.假设A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .假如OP →＝tOE →
，务实数t 的值．
【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
那么⎩⎪⎨⎪⎧
c 2
＝a 2
－b 2
，c a ＝22，
2b ＝2，
解得a ＝2，b ＝1，
故椭圆C 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)．
将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝
2－m 2
2
， 所以S △AOB ＝|m |
2－m 22＝6
4
. 解得m 2＝32或者m 2＝1
2
.①
又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝1
2t (2m,0)＝(mt,0)，
又点P 在椭圆上，所以(mt )2
2＝1.②
由①②得t 2＝4或者t 2＝4
3
.
又因为t ＞0，所以t ＝2或者t ＝23
3
.
19．(本小题满分(mǎn fēn)是12分)如图5－2，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心(zhōngxīn)，A 1O ⊥平面(píngmiàn)ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.
图5－2
(1)证明(zhèngmíng)：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ； (2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．
【证明】 (1)方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系．
∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，
∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由A 1B 1→＝AB →
，易得B 1(－1,1,1)．
∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→
＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，
又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .
方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .
又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，
∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，
∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .
又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，
∴A 1C ⊥平面(píngmiàn)BB 1D 1D .
(2)【解】 设平面(píngmiàn)OCB 1的法向量(xiàngliàng)n ＝(x ，y ，z )．
∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－z .
取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面(píngmiàn)BB 1D 1D 的法向量，
∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3
. 20．(本小题满分是12分)(2021·高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满
足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．
(1)证明：a 2＝4a 1＋5；
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12
. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1，
即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5.
(2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，①
所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，②
由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，
即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．
因为(yīn wèi)a n >0，所以(suǒyǐ)a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．
因为(yīn wèi)a 2，a 5，a 14成等比数列(děnɡ bǐ shù liè)，所以a 25＝a 2a 14，
即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.
又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2.
综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，
所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．
所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．
(3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. 21．(本小题满分是12分)(2021·高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
1－a 2
＝1的焦点在x 轴上． (1)假设椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．
【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58
. 故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23
＝1. (2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.
由题设知x 0≠c ，那么(nà me)直线F 1P 的斜率(xiélǜ)kF 1P ＝y 0x 0＋c
， 直线(zhíxiàn)F 2P 的斜率(xiélǜ)kF 2P ＝y 0x 0－c
. 故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c
(x －c )． 当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0
，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0
. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0
＝－1. 化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①
将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．
22．(本小题满分是12分)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，
点Q 到抛物线C 的准线的间隔 为34
. (1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由．
【解】 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p 4
上， 因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p 2
， 所以3p 4＝34
，即p ＝1. 因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .
(2)假设(jiǎshè)存在点M (x 0，x 202
)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线(qiēxiàn)斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22
)′|x ＝x 0＝x 0， 所以(suǒyǐ)直线MQ 的方程(fāngchéng)为y －x 202
＝x 0(x －x 0)． 令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0
， 所以Q (x 02＋14x 0，14
)． 又|QM |＝|OQ |，
故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116
， 因此(14－x 202)2＝916
. 又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．
故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .
内容总结。