山东省枣庄市山亭区中考数学4月份模拟试题(含解析)

山东省枣庄市山亭区2015届中考数学4月份模拟试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．a（a≠0）的相反数是( )
A．﹣a B．a2C．|a| D．
2．8的平方根是( )
A．4 B．±4C．2 D．
3．地球上的陆地面积约为149000000km2．将149000000用科学记数法表示为( ) A．1.49×106B．1.49×107C．1.49×108D．1.49×109
4．下列运算正确的是( )
A．3﹣1=﹣3 B．=±3C．（ab2）3=a3b6D．a2+a3=a5
5．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( )
A．6 B．9 C．18 D．36
6．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )
A．130°B．120°C．110°D．100°
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为( )
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
11．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于( )
A．B．C．2 D．
12．当x=1时，代数式ax3﹣3ax+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是( ) A．7 B．3 C．1 D．﹣7
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若代数式和的值相等，则x=__________．
14．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．15．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是__________．
16．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O 与AC相交于点E，则CE的长为__________cm．
17．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为__________．
18．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是
__________．（结果保留π）
三、解答题（共60分）
19．计算：
（1）计算：2tan30°﹣+0+；
（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
20．（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；
（2）解不等式组：．
21．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
22．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠D=30度．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=6，求AD的长．
23．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF
并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求证：tan∠E=．
2015年山东省枣庄市山亭区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．a（a≠0）的相反数是( )
A．﹣a B．a2C．|a| D．
【考点】相反数．
【分析】直接根据相反数的定义求解．
【解答】解：a的相反数为﹣a．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．8的平方根是( )
A．4 B．±4C．2 D．
【考点】平方根．
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴8的平方根是．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．地球上的陆地面积约为149000000km2．将149000000用科学记数法表示为( ) A．1.49×106B．1.49×107C．1.49×108D．1.49×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：149 000 000=1.49×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算正确的是( )
A．3﹣1=﹣3 B．=±3C．（ab2）3=a3b6D．a2+a3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；负整数指数幂．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、算术平方根、合并同类项、负整数指数幂等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、3﹣1=，原式错误，故本选项错误；
B、=3，原式错误，故本选项错误；
C、（ab2）3=a3b6，计算正确，故本选项正确；
D、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、算术平方根、合并同类项、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( )
A．6 B．9 C．18 D．36
【考点】弧长的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据弧长的公式l=进行计算．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得 r=18，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
6．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )
A．130°B．120°C．110°D．100°
【考点】切线长定理．
【分析】利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．
【解答】解：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°﹣∠A=110°．
故选C．
【点评】本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度求解．
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】由已知可求得∠C的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ADC 的度数．
【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．
【点评】熟练运用圆周角定理及其推论．
8．设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】估算无理数的大小．
【分析】首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．
【解答】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∵n＜＜n+1，
∴n=8，
故选；D．
【点评】此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．
9．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为( )
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到a与b的值，即可确定出3a+b的值．
【解答】解：，
①×2+②得：5a=10，即a=2，
将a=2代入①得：b=2，
则3a+b=6+2=8．
故选A
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于( )
A．B．C．2 D．
【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】作OC⊥AB，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：作OC⊥AB于C点．
根据垂径定理，AC=BC=4．
在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．
故tan∠OPA==．
故选D．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
12．当x=1时，代数式ax3﹣3ax+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是( ) A．7 B．3 C．1 D．﹣7
【考点】代数式求值．
【分析】把x=1代入代数式ax2﹣3ax+4求得a的值，进一步把a的值与x=﹣1一同代入代数式求得答案即可．
【解答】解：∵当x=1时，代数式ax3﹣3ax+4的值是7，
∴a﹣3a+4=7，
解得：a=﹣，
把a=﹣，x=﹣1，代入得
原式=﹣×（﹣1）﹣3×+4=1．
故选：C．
【点评】此题考查代数式求值，这种类型的试题求解时，首先要求出参数的值，然后再将它们一同代入求解即可．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若代数式和的值相等，则x=7．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：根据题意得：=，
去分母得：2x+1=3x﹣6，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解．
故答案为：x=7．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为1．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，
解得：m=1．
故答案为：1
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是﹣1．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，m﹣1=0，n+2=0，
解得m=1，n=﹣2，
所以m+n=1+（﹣2）=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O 与AC相交于点E，则CE的长为3cm．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即
OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．
17．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．
【考点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC 的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．
【解答】解：连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD是直径，
即CD=10，
∵点C（0，6），
∴OC=6，
∴OD==8，
∴cos∠ODC===，
∵∠OBC=∠ODC，
∴cos∠OBC=．
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．
18．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是16π．（结果保留π）
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
【解答】解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=AB=×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16π．
故答案为：16π．
【点评】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．
三、解答题（共60分）
19．计算：
（1）计算：2tan30°﹣+0+；
（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．
【考点】实数的运算；整式的混合运算—化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．
【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=2×﹣+1+1+=2；
（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，
当x=时，原式=2+4=6．
【点评】此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，
解得：x1=6，x2=﹣1；
（2），
由①得：x≥3；
由②得：x＞5，
则不等式组的解集为：x＞5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
，
解得：．
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，由题意，得
80a+40（60﹣a）≤3200，
解得：a≤20．
故彩色地砖最多能采购20块．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价×数量=总价的关系建立方程及不等式是关键．
22．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠D=30度．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=6，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明∠OAD=90°即可；
（2）根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=6，则可以利用勾股定理求得AD 的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA；
∵sinB=，
∴∠B=30°，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=60°；
∵∠D=30°，
∴∠OAD=180°﹣∠D﹣∠AOD=90°，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6，
∵∠OAD=90°，∠D=30°，
∴AD=•AO=．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
23．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF
并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求证：tan∠E=．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
（2）由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，
∴=，∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
（2）∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
（3）∵AF=3，FG=2，
∴AG=，
tan∠E=tan∠ADG=．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。