2020届高考数学大二轮复习 第二部分 刷题型 解答题(二)理

解答题(二）
17．（2019·广东肇庆第三次统一检测)在△ABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，sin C＝2sin B.
（1)求错误!；
（2)若AD＝AC＝1，求BC的长．
解(1）由正弦定理可得在△ABD中,错误!＝错误!,
在△ACD中，错误!＝错误!,
又因为∠BAD＝∠CAD，所以错误!＝错误!＝2.
（2）sin C＝2sin B，由正弦定理得AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，则cos∠BAD＝错误!＝错误!，cos∠CAD＝错误!＝错误!，因为∠BAD＝∠CAD，所以错误!＝错误!，解得x＝错误!，即BC＝3x＝错误!.
18. （2019·湖北4月调研）已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝3，BC＝4，AC＝5。

(1)当AP变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由;
(2）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时,求二面角A－PD
－C的余弦值．
解（1)由AB＝3,BC＝4,AC＝5知AB2＋BC2＝AC2,则AB⊥BC，由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PA⊥BC，又PA∩AB ＝A,PA,AB⊂平面PAB，
则BC⊥平面PAB，则点C到平面PAB的距离为定值BC＝4。

（2)由PA⊥平面ABCD，则∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝3。

由AD∥BC，AB⊥BC 得AB⊥AD,故直线AB，AD,AP两两垂直，因此，以点A为坐标原点，以AB，AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得P（0,0，3），D（0，3,0），C(3,4,0)，于是错误!＝(0，－3,3),错误!＝（3，1,0)，
设平面PDC的法向量为n1＝（x，y,z)，则错误!即错误!取x＝1,则y ＝－3，z＝－3,即n1＝(1，－3，－3)，显然n2＝（1，0,0）为平面PAD 的一个法向量,
于是，cos<n1，n2〉＝错误!＝错误!＝错误!。

又二面角A－PD－C为钝角，
所以二面角A－PD－C的余弦值为－错误!.
19．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元)，如图所示：
(1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人,求至少有1位消费者去年的消费金额在(3200,4000］范围内的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表：
会员等级消费金额
普通
会员
2000银卡
会员
2700金卡3200
预计去年消费金额在
通会员,消费金额在（1600，3200］内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200，4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案一：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星"给予奖励：
普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元;金卡会员中的“幸运之星"每人奖励800元．
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励。

规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游
戏（每次摸奖的结果相互独立)．请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由．
解（1)去年的消费金额超过3200元的消费者有12人，随机抽取2人，设消费金额在(3200，4000]范围内的人数为X，X的可能取
值为1，2，P（X≥1）＝1－P(X＝0)＝1－C24
C2，12
＝错误!,即所求概率为错误!.
（2）方案一：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡
会员、金卡会员的人数分别为28
100
×25＝7，错误!×25＝15，错误!×25
＝3，按照方案一奖励的总金额为ξ1＝7×500＋15×600＋3×800＝14900（元)．
方案二：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,200，300，
由摸到红球的概率为P＝错误!＝错误!，
∴P(η＝0)＝C错误!×错误!0×错误!3＋C错误!×错误!×错误!2＝错误!，
P（η＝200）＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!，
P(η＝300)＝C错误!×错误!3＝错误!，
η的分布列为：
数学期望为E（η错误!错误!错误!＝76.8(元）,按照方案二奖励的总金额为ξ2＝（28＋2×60＋3×12)×76.8＝14131.2(元)，
由ξ1＞ξ2知，方案二投资较少．
20．（2019·安徽江淮十校最后一卷）已知P是圆F1:(x＋1）2＋y2＝16上任意一点，F2(1,0）,线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
(2）记曲线C与x轴交于A,B两点,M是直线x＝1上任意一点，直线MA,MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE 过定点H(4,0)．
解(1)由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，得｜QF1｜＋|QF2｜＝|QF1｜＋|QP｜＝|PF1｜＝4〉｜F1F2｜＝2，所以点Q 的轨迹为以F1,F2为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4,a＝2，2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，曲线C的方程为错误!＋错误!＝1.
(2）证明：由(1）得A（－2，0)，B(2，0)，设点M的坐标为(1，m),直线MA的方程为y＝错误!(x＋2），
将y＝错误!(x＋2）与错误!＋错误!＝1联立整理得
（4m2＋27）x2＋16m2x＋16m2－108＝0，
设点D的坐标为（x D，y D)，则－2x D＝错误!,
故x D＝错误!,则y D＝错误!（x D＋2)＝错误!，
直线MB的方程为y＝－m（x－2),将y＝－m(x－2）与错误!＋错误!＝1联立整理得(4m2＋3）x2－16m2x＋16m2－12＝0，
设点E的坐标为(x E，y E）,则2x E＝错误!，
故x E＝错误!，则y E＝－m（x E－2)＝错误!，
HD的斜率为k1＝错误!＝错误!
＝－错误!，
HE的斜率为k2＝错误!＝错误!
＝－错误!,
因为k1＝k2,所以直线DE经过定点H。

21．(2019·河北中原名校联盟联考）已知函数f（x)＝e x，g(x）＝a ln x（a>0)．
(1)当x〉0时，g（x）≤x,求实数a的取值范围；
（2）当a＝1时，曲线y＝f（x)和曲线y＝g（x)是否存在公共切线？并说明理由．
解(1)令m（x)＝g(x)－x＝a ln x－x，则m′（x）＝错误!－1＝错误!。

若0〈x〈a，则m′(x）>0，若x>a，则m′（x)<0。

所以m（x）在（0,a）上是增函数，在(a,＋∞)上是减函数．
所以x＝a是m(x）的极大值点，也是m(x)的最大值点，即m(x)max ＝a ln a－a.
若g（x）≤x恒成立，则只需m（x)max＝a ln a－a≤0,解得0<a≤e。

所以实数a的取值范围是(0，e］．
（2)假设存在这样的直线l且与曲线y＝f(x)和曲线y＝g（x）分别相切于点A（x1，e错误!），B（x2，ln x2)．
由f(x）＝e x，得f′(x）＝e x。

曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为y－e错误!＝e错误!(x－x1),即y＝e错误!x＋（1－x1)e错误!.
同理可得，曲线y＝g(x)在点B处的切线方程为
y－ln x2＝错误!(x－x2)，即y＝错误!x＋ln x2－1。

所以错误!
则（1－x1)e错误!＝ln e错误!－1,
即（1－x1）e x1＋x1＋1＝0.
构造函数h(x)＝(1－x)e x＋x＋1,存在直线l与曲线y＝f（x)和曲线y＝g（x）相切等价于函数h（x)＝(1－x)·e x＋x＋1在R上有零点，又h′（x)＝1－x e x，当x≤0时，h′(x)>0，h（x)在(－∞,0）上单调递增；
当x>0时，因为h″（x)＝－（x＋1)e x〈0，所以h′(x)在(0，＋∞）上是减函数．
又h′(0)＝1>0，h′(1)＝1－e<0，
所以存在x0∈（0,1）,使得h′（x0）＝1－x0e错误!＝0，即e错误!＝错误!。

且当x0∈(0，x0）时，h′（x）〉0，当x0∈(x0，＋∞）时,h′(x）〈0。

综上，h（x)在(0，x0)上是增函数,在（x0,＋∞）上是减函数．
所以h（x0)是h（x）的极大值，也是最大值,且h（x)max＝h（x0）＝(1－x0)e x0＋x0＋1＝（1－x0)·错误!＋x0＋1＝错误!＋x0>0，又h(－2)＝3e－2－1<0，h（2)＝－e2＋3<0,所以h（x）在(－2，x0）内和（x0，2）内各有一个零点．
故假设成立，即曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x）存在公共切线．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!（t为参
数）．直线l与x轴交于点A。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线l′：θ＝错误!(ρ≥0)，直线l与射线l′交于点B。

（1)求B点的极坐标；
(2）若点P是椭圆C：x2＋y2
3
＝1上的一个动点,求△PAB面积的最
大值及面积最大时点P的直角坐标．
解(1）l:y＝错误!(x－错误!)＝错误!x－3,
则l的极坐标方程为ρsinθ＝错误!ρcosθ－3。

令θ＝错误!得ρ＝3，∴B点的极坐标为错误!。

（2）∵|AB｜＝|OA｜＝3,∴S＝错误!d.
设P点坐标为(cosα,错误!sinα），l：错误!x－y－3＝0.
∴d＝错误!＝错误!|（cosα－sinα)－错误!|
＝错误!错误!。

当α＋错误!＝π＋2kπ（k∈Z)时,d max＝错误!，
∴S max＝错误!。

此时cosα＝cos错误!＝－错误!，sinα＝sin错误!＝错误!，∴P点坐标为错误!.
23．设函数f（x）＝|2x－4|＋|x＋1｜,
(1）求函数f（x）的最小值;
（2）若直线y＝a与曲线y＝f(x）围成的封闭区域的面积为9，求a的值．
解(1）①当x≥2时，f（x)＝3x－3≥3;
②当－1〈x<2时，f(x）＝5－x∈(3,6）；
③当x≤－1时,f（x)＝3－3x≥6，
∴f(x）min＝3。

(2)f（x）＝错误!f(x）的图象如图所示：
y＝6与y＝f（x)围成的三角形面积为S＝错误!×[3－（－1）］（6－3)＝6〈9，∴a〉6。

故y＝f(x），y＝6，y＝a围成的梯形面积为3.
令f(x）＝3x－3＝a⇒x1＝错误!；
令f(x）＝3－3x＝a⇒x2＝3－a 3
,
故梯形面积为1
2
×错误!（a－6)＝3,
∴a＝3错误!。