【精品】天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018～2019学年度第一学期期末七校联考
高三数学（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求解集合A，然后根据补集的运算求解，再根据集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意或，所以，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A，准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2.设，直线：，直线：，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.
【详解】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，
当时，若，则满足，
由得，解得或，
当时，成立，
当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故
所以是的充要条件，故选C.
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（）
A. -5
B. 1
C. 2
D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解.
【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由目标函数，可得，
由图象可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值为，故选B.
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出
不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. 7
B. 14
C. 30
D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.
【详解】由题意，模拟程序的运行，可得，
不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；
不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；
不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；
不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，；
此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5.已知，，，，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
现判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.
【详解】函数是奇函数，当时，为增函数，
又由，
则，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单调性，合理得到
的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6.己知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，
所以函数的最小正周期为4，则，解得，所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
令，解得，
当时，函数的单调单调递增区间为，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到，
在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.
【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，
由，且为的中位线，可得，
即有，
在直角三角形中，可得，即有，
由双曲线的定义可得，可得，
所以，所以，故选A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或
离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
8.定义域为的函数满足，当时，.若时，
恒成立，则实数的取值范围是（）
A. ，
B.
C. ，
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的性质和函数的解析式，求得，
则若时，恒成立转化为且，即可求解.
【详解】当时，，
则，
当时，，则，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以时，，
所以，
“若时，恒成立”等价于，
解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案.
【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10.若二项式的展开式中的常数项为，则_____________.
【答案】124
【解析】
【分析】
根据题意，利用二项式求得的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解.
【详解】由题意，二项展开式的通项为，
由，得，所以，
则.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项，求得
的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11.已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是_____________.
【答案】8
【解析】
【分析】
由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体的表面积为求的的值，则正方体的体积，即可求解. 【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体的棱长为，
其表面积，得，
所以正方体的体积是.
【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积
的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.
12.已知抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，顶点为，准线为，过点斜率为的直
线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，若的面积为，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为的直线方程，与抛物线方程联立，求出点A的坐标，写出点B的坐标，利用的面积列出方程，即可求出P的值.
【详解】抛物线C的参数方程为（为参数，），
消去参数，化为，其焦点坐标为，准线方程为，
过焦点F且斜率为的直线方程为，
由，整理得，
解得或（不合题意，舍去），
所以当时，，所以点，所以，
所以的面积为，
解得.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了三角形的
面积的计算问题，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，求解交点的坐标，再利用三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
13.设，，若，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，因为满足，
所以，且，
则，
当且仅当且，即时取得最小值.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
14.在梯形中，，，，，，分别为线段和上的动点，且，
，则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算与数量积的运算，求得的解析式，进而求得实数的取值范围，在利用函数的单调性，求得最值，即可得到答案.
【详解】由题意，梯形中，，
因为，，
则
，
因为，解得，
设，则在上单调递增，
所以当时，取得最大值.
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也
考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15.在中，内角所对的边分别为.，，.
（Ⅰ）求边的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得的值，再根据余弦定理可解得的值；
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由，得，
因为，由，得，∴，
由余弦定理，得，
解得或（舍）∴
（Ⅱ）由得
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16.某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.
（Ⅰ）设为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者”，求事件发生的概率. （Ⅱ）设表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解的值；
（Ⅱ）由题意得出随机变量的取自，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望.
【详解】（Ⅰ）事件为的基本事件的总数为，
事件包含基本事件的个数为，则.
（Ⅱ）由题意知可取的值为：0，1，2，3，4 .
则，
，，
因此的分布列为
的数学期望是
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答中认真审题，合理准确求解随机变量取每个值对应的概率，利用公式求解数学期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
17.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面
平面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的数量积，求得，即可得到平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解平面与平面所成二面角的正弦值．
（Ⅲ）设，，得，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到向量的坐标，进而求解的长.
【详解】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面.
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
设平面的法向量，∵，，
由得，不妨设，
又∴，∴，
又∵平面∴平面．
（Ⅱ）设平面的法向量
∵，，
由得，不妨设，
∴，∴
∴平面与平面所成二面角的正弦值为．
（Ⅲ）∵点在线段上，设，
∴，
又∵平面的法向量，设直线与平面所成角为
∴，
∴∴，
∵，∴
∴，∴，∴的长为.
【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中熟记空间向量在线面位置关系中的应用，以及熟记空间向量的夹角公式在空间角求解中的应用是解答的关键，同时建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面法向量是解答的基础，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
18.设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，，. （Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）(ⅰ) ；(ⅱ)详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程，求得的值即可求解数列的通项公式；
（Ⅱ）由题意，则(ⅰ)中，即可求得；
(ⅱ)化简，利用裂项法，求解，即可作出证明.
【详解】（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，
∵，，∴，∴或，
∵，∴，∴.
由，解得，：
∴，.
（Ⅱ）设，则
(ⅰ)
(ⅱ)∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 19.设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是
面积的3倍，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出方程组，求得，，即可求解椭圆的方程；
（II）设点，，由题意，且，由的面积是面积的3倍，可得，联立方程求得的值，即可求解的值.
【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，
所以，椭圆的方程为．
（II）设点，，由题意，且
由的面积是面积的3倍，可得，
所以，从而，
所以，即．
易知直线的方程为，由消去，可得
由方程组消去，可得．
由，可得，
整理得，解得，或．
当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．
所以，的值为．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用问题，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，利用直线与圆锥曲线的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
20.已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.
（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；
（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标，即可求解切线的方程，进而求解得值；
（II）求得函数的导数，根据在单调递增，转化为，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（Ⅲ）由得：，得，由已知，设为在区间内的一个零点，则
由可知在区间上至少有三个单调区间，得到在区间内存在零点，在区间内也存在零点.则在区间内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解.
【详解】（I）时，，，
∴切线斜率，切点坐标∴切线方程
∵
切线经过点，∴∴
（II）∵∴.
∵在单调递增，∴
，即时，，所以单调递增区间为
②当，即时，，所以单调递减区间为
③当时，令，得，
令，得，令，得，
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为
综上①②③可得：
当时，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为.
（Ⅲ）由得：，∴
由已知，设为在区间内的一个零点，
则由可知，在区间上至少有三个单调区间．
∴在区间内存在零点，在区间内也存在零点.
∴在区间内至少有两个零点．
由（II）可知，
当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．∴，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增
∴
∵∴
令，∵∴，
令
∵，令得；令得；
∴在单调递增，在单调递减.
∴在恒成立.
即在时恒成立.
∴由得，∴∴
∴的取值范围是．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式问题，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。