三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题08导数与不等式函数零点相结合理含解析55

专题08 导数与不等式、函数零点相结合
2018年高考全景展示
1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数． （1）若，证明：当时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求．
【答案】（1）见解析（2）
当时，；当时，.故当
时，
，且仅当
时，
，从
而，且仅当时，.
所以
在
单调递增.又，故当时，
；当
时，. （2）（i ）若，由（1）知，当
时，
，这与
是
的极大值点
矛盾.
（ii ）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.如果，则当，且
时，，故不是的极大值点.如果，则存在根
，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则
.则当时，；当时，.所以是的极大值点，
从而是的极大值点，综上，.
点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,
当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：
，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；
当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值.。