江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(七)

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1．已知复数1z i =+，则3z 的虚部为( )
A.2i
B. 2i -
C.2
D. 2- 2．设,A B 为非空集合,定义集合A*B 为如图阴影．．
部分表示的集合，
若{|A x y ={|3,0},x
B y y x ==>则A*B=( )
A ．（0，2）
B ．[][)0,12,⋃+∞
C ．（1,2]
D ．[]()0,12,⋃+∞ 3．已知cos ,0()(1)1,0
x x f x f x x π≤⎧=⎨
-+>⎩，则11
()()33f f +-的值为( )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4．若(0,)2
πα∈，且21
sin cos 24
αα+=，则tan α=( )
A B C
5．===…．=则n m -=( )
A.43 B ．57 C ．73 D ．91 6．一次考试某简答题满分5分，以5.0分为给分区间．这次考试有100人
参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按]5,4(,],2,1(],1,0( 分 组所得的频率分布直方图如图所示．设其众数、中位数、平均分最大的可 能值分别为x m m c ,,0，则( ) A. x
m m c >>0 B. x m m c <<0
C. x m m c <<0
D. c m x m <<0
7. 给定下列命题
①过点(3,3)且与圆22(1)4x y -+=相切的直线方程为512210x y -+=.
②在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为
12
③1x <是不等式2320x x -+>成立的一个充分不必要条件. ④“存在实数x 使1sin 22x >
”的否定是“存在实数x 使1
sin 22
x ≤”. 其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A ．
B ．
C ．
D ． 9.已知椭圆()2
2
2210x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设
ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A ．⎫⎪⎪⎣⎭
B ．⎣⎦
C ．⎫⎪⎪⎣⎭
D ．⎣⎦
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11. 不等式x x <-≤|2|1的解集为 ． 12. 已知两个单位向量12,e e 的夹角为3
π
，若向量1122b e e =-，2121232,b e e b b =+⋅则= . 13. 曲线x
e x
y =
在0=x 处的切线方程为 ． 14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a 、7a 是方程22120x x c -+=的两根,且13S c =,则数列
{}n a 的公差为__________.
15. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是
三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已知函数()sin()4
f x A x π
ω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值
为2，最小正周期为8.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos POQ ∠的值.
17. (本小题满分12分) 已知}{n a 是单调递增的等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S ，数列}
{n b 是等比数列，首项.20,12,123221=+==b S b a b 且 （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设1(1)(1)
n n n n b c b b +=
++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1
2n T <．
18. (本小题满分12分) 已知集合{1,1,2}M =-,{1,1,2}N =-,{1,1,2}P =-.从集合,,M N P 中
各取一个元素分别记为,,a b c ，设方程C 为22
x y c a b
+=． （1）求方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线的概率. （2）求方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率．
19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是边长为2的正方形,
E 是1A B 的中点,
F 在棱1CC 上.
(1)当112
C F CF =时,求三棱锥1F A BC -的体积.
(2)当点F 使得1A F BF +最小时,判断直线AE 与1A F 是否垂直,并证明结论.
20. (本小题满分13分) 已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()
20,，点
(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C
,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.
21. (本小题满分14分) 已知函数1
()()2ln ()f x a x x a x
=--∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()a
g x x
=-.若至少存在一个0[1,4]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．
2013届高三模拟试卷（07）数学(文)参考答案
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭
∴(4,P Q .
∴OP PQ OQ ===
∴
2
2
2
222
cos 23
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠=
=
=
. 解法2：∵(2)2sin
2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ (4)2sin
2sin 44f
πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭，
∴(4,P Q .∴
(2,2),(4,OP OQ ==
∴cos cos ,36OP OQ POQ OP
OQ OP OQ
⋅∠=<>=
=
=解法3: ∵
(2)2sin 2cos 2
44f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭
(4)2sin 2sin 44f πππ
⎛
⎫=+=-= ⎪
⎝
⎭
∴(4,P Q . 作1PP x ⊥轴, 1
QQ x ⊥轴,垂足分别为1
1P Q ,,
∴112,
OP OP PP ===
=114OQ QQ ,==设1
1POP QOQ ,αβ
∠=∠=,则13333
sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ∴cos cos POQ ∠=()
cos cos sin sin αβαβαβ+=-=
. 17. (本小题满分12分)
解：(1)设公差为d ，公比为q ，则22(3)12a b d q =+=
322233(3)9320S b a b d q d q +=+=++=++= 311,113d q q d +==-
2(3)(11)332312d d d d +-=+-=,232210,(37)(3)0d d d d --=+-=，
{}n a 是单调递增的等差数列，0d >.
则3,2d q ==,3(1)33n a n n =+-⨯=,1
2
n n b -=
（2）∵1(1)(1)n n n n b c b b +=++112(21)(21)n n n --=++111
2121n n -=-
++， ∴n T 11223
11
111111
11121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111121n =-++11221n =-+1
2
<.
18. (本小题满分12分)
解：a b 、、c 所有可能的取法有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1-------，(1,1,1)--，L L ，
(2,2,1),(2,2,1),(2,2,2)-，共27种，
（1）其中表示焦点在x 轴上的双曲线的有：(1,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(1,2,1),------
(1,1,2),(2,1,2)--共6种，故方程C 表示焦点在x 轴的上双曲线的概率为：162
279
P =
=； （2）其中不表示椭圆也不表示双曲线的有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),-------
(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),-(1,2,1),(2,1,1),(2,2,1),-
--(2,2,1),(2,2,2)共11种，故方程
C 不表
示椭圆也不表示双曲线的概率为：21127
P =
19. (本小题满分12分) 解：(1)因为侧面11AAC C 是边长为2的正方形，12AC CC ∴==2BC ∴=
又11423
C F CF CF =∴=
1
1
11422323F A BC A FBC V V --∴==⨯⨯⨯=
(2)解法1：将侧面11B BCC 展开到侧面1
1ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点
F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1
的一半,F ∴为C C 1的中点.连接EF
AF 、
在1Rt A AB 中，1
2AA AB ==
得AE 在Rt
AFC 中，2,1AC FC ==得AF =在等腰1A FB 中，1A F BF =EF =
所以由AE =AF EF 得222AE EF AF +=有勾股定理知AE EF ⊥
1111
AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪
∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面 解法2：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.过点C 作CG AB ⊥交AB 于G ,连接EF ，由FC EG 且FC EG =知四边形EGCF 为所以EF CG .在正三棱柱111ABC A B C -中知CG ⊥面1A AB ,而EF CG ，所以EF ⊥面1A AB .AE EF ∴⊥
1111
AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪
∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩面 20. (本小题满分13分)
(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为2
2
221x y a b +=()0a b >>,依题意: 22
2222231,
4.
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
解得: 22
16,
12.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为
2211612x y +=. 解法2：设椭圆1C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，
即4a =， ∵2c =， ∴222
12b a c =-=. ∴ 椭圆1C 的方程为
2211612
x y +=. (2) 解法1：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，
由()2234y k x x y ,,
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=.
设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-.
由2
4x
y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2
1112
12x y x x y -+=.
∵2114
1
x y =， ∴211124x y x x =-
. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2
22124
x y x x =-
. 由2
11222124124
x y x x x y x x ,,
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩
∴()223P k k ,-. ∵1212PF PF AF AF +=+,
∴点P 在椭圆2
2
111612x y
C :
+=上. ∴()()22
22311612
k k -+=. 化简得2
71230k k --=.(*) 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个.
解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由2
4x y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x .
∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2
11
1x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=
.∵2114
1
x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102
y x x
y -=. ①
同理， 20202
y x x
y -=. ② 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程
y x x y -=002.∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x x
y -=002
，
∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ∴点P 的轨迹方程为3-=x y .
若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点.
∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. 解法3：设点)41,
(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=，)4
1
3,2(211x x --=，
∵C B A ,,三点共线, BC BA //. ()()
()22
2211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝
⎭
化简得：12122
12x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即2
14y x ,=得y '=12
x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即2
114
12x x x y -=. ②
同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2
224
12x x x y -=. ③
设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2
121x x x +=. 代入②得 214
1
x x y =， 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，
即点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在
直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),
∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个.
21. (本小题满分14分) 解：（1）函数的定义域为()0,+∞，222
122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=．设
2()2h x ax x a =-+ ，
①当0a =时，()20h x x =-<，2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，则()0f x '<在),0(+∞上恒成立，此时()f x 在),0(+∞上单调递减． ②当0a ≠时，（I ）由,0442
=-=∆a 得1±=a .
当1=a 时，2()2h x ax x a =-+0)1(122
2
≥-=+-=x x x 恒成立，
)(x f ∴在),0(+∞上单调递增． 当1-=a 时，2()2h x ax x a =-+0)1(1222≤--=-+-=x x x 恒
成立，)(x f ∴在),0(+∞上单调递减．
（II ）由,0442
<-=∆a 得1-<a 或1>a ；.当1-<a 时，开口向下，2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，则()0f x '<在),0(+∞上恒成立，此时()f x 在),0(+∞上单调递减． 当1>a ，开口向上，()0h x ≥在),0(+∞上恒成立，则()0f x '≥在),0(+∞上恒成立， 此时()f x 在),0(+∞上单调递增． （III ）由2
440,a ∆=->得11a -<<
若01a <<
，开口向上，12x x ==122
0x x
+=>，121x x =，12,x x 都在),0(+∞上. 由()0f x
'>，即()0h
x >，得x <或
x >；
由()0f x '<，即(
)0h x <
x
<<． 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,
a 和1()a
++∞， 单调递减区间为． 当10a -<<时，抛物线开口向下，2
120,0,()20x x h x ax x a <<=-+<在(0,)+∞
恒成立，即'
()0f x <在（0，+)∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减
其中1x =（2）因为存在一个0[1,4]x ∈使得00()()f x g x >，
则002ln ax x >，等价于0
02ln x a x >
.令2ln ()x F x x =，等价于“当[]1,4x ∈ 时，()min a F x >”. 对()F x 求导，得2
2(1ln )
()x F x x
-'=. 因为[]1,4x ∈，由()0,1F x x e '>∴<<，()0,4F x e x '<∴<<所以()F x 在[1,e]上单调递增，在[,4]e 上单调递减. 由于(4)(1)F F >，所以min ()(1)0F x F ==，因此0a >.。