复数的加、减法运算及其几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共20张PPT)
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数)．
[跟踪训练 2]
1、已知四边形 ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点 A，B，C
分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点 D 对应的复数及对角
线 AC，BD 的长．
解析
zA＋zC
如图，因为 AC 与 BD 的交点 M 是各自的中点，所以有 zM＝
2
zB＋zD
＝
，所以 zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
两点 , , , 间的距离.
解析 因为复平面内的点 , , , 对应的复数分别为
= + , = + .
所以 , 之间的距离为 = = −
= − + −
2
―→
因为 AC ：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
―→
所以| AC |＝|7＋2i|＝
72＋22＝ 53，
―→
因为 BD ：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
―→
所以| BD |＝|5－12i|＝
52＋122＝13.
故点 D 对应的复数是 1－7i，AC 与 BD 的长分别是 53和 13.
内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公
式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求
人教2019版必修第一册
第七章 复数
7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义
课程目标
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
数学学科素养
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其
几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关
问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面
A． 2
答案 B
B．2
C． 10
4．(5－i)－(3－i)－5i＝________.
答案 2－5i
(
D．4
)
题型分析
题型一
举一反三
复数的加减运算
例 1 计算：
(1)(－3＋2i)－(4－5i)；
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．
解析
(1)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)
＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i
＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i
＝3a＋(4－2b)i.
则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，
z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i .
2．复数加法的运算律
(1)交换律： z1＋z2＝z2＋z1 ；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
3．复数加、减法的几何意义
―→ ―→
如图，设在复平面内复数 z1，z2 对应的向量 分别为 OZ1 ，OZ2 ，
1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；
(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
解析 (1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.
(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
题型二
复数加、减运算的几何意义
例 2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．
(× )
2．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
(
)
答案 B
―→ ―→
3．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量 OA 和 OB ，
―→
其中 O 为坐标原点，则| AB |等于
以 OZ1，OZ2 为邻边作平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量
―→
―→
Z2Z1 .
OZ ，与 z1－z2 对应的向量是________
是_______
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．
(× )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．
(× )
题型三
复数加、减运算几何意义的应用
例 3 已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
解析
由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数 z 对应的点 Z
与复数－3＋4i 对应的点 C 之间的距离等于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(－3,4)为圆心，
半径等于 1 的圆．
而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离，又|OC|＝5，
所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 5＋1＝6，最小距离为 5－1＝4.
即|z|max＝6，|z|min＝4.
解题技巧(复数的加、减法运算几何意义的解题技巧)
(1)|z－z0|表示复数z,ห้องสมุดไป่ตู้0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号
解题技巧(复数加减运算技巧)
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部
相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部
与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类
项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右
依次进行计算．
[跟踪训练 1]
图形,数形结合,综合应用.
自主预习,回答问题
阅读课本75-76页,思考并完成以下问题
1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何
意义如何？
2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问
题。
知识清单
1．复数的加、减法运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
=
−
+ −
解题技巧(运用复数加、减法运算几何意义注意事项)
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加
法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被
减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注
意向量对应的复数是zB －zA(终点对应的复数减去起点对应的复
[跟踪训练 2]
1、已知四边形 ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点 A，B，C
分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点 D 对应的复数及对角
线 AC，BD 的长．
解析
zA＋zC
如图，因为 AC 与 BD 的交点 M 是各自的中点，所以有 zM＝
2
zB＋zD
＝
，所以 zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
两点 , , , 间的距离.
解析 因为复平面内的点 , , , 对应的复数分别为
= + , = + .
所以 , 之间的距离为 = = −
= − + −
2
―→
因为 AC ：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
―→
所以| AC |＝|7＋2i|＝
72＋22＝ 53，
―→
因为 BD ：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
―→
所以| BD |＝|5－12i|＝
52＋122＝13.
故点 D 对应的复数是 1－7i，AC 与 BD 的长分别是 53和 13.
内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公
式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求
人教2019版必修第一册
第七章 复数
7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义
课程目标
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
数学学科素养
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其
几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关
问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面
A． 2
答案 B
B．2
C． 10
4．(5－i)－(3－i)－5i＝________.
答案 2－5i
(
D．4
)
题型分析
题型一
举一反三
复数的加减运算
例 1 计算：
(1)(－3＋2i)－(4－5i)；
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．
解析
(1)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)
＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.
(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i
＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i
＝3a＋(4－2b)i.
则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，
z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i .
2．复数加法的运算律
(1)交换律： z1＋z2＝z2＋z1 ；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
3．复数加、减法的几何意义
―→ ―→
如图，设在复平面内复数 z1，z2 对应的向量 分别为 OZ1 ，OZ2 ，
1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；
(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．
解析 (1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.
(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
题型二
复数加、减运算的几何意义
例 2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．
(× )
2．已知复数 z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则 z1＋z2 等于
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
(
)
答案 B
―→ ―→
3．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量 OA 和 OB ，
―→
其中 O 为坐标原点，则| AB |等于
以 OZ1，OZ2 为邻边作平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量
―→
―→
Z2Z1 .
OZ ，与 z1－z2 对应的向量是________
是_______
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．
(× )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．
(× )
题型三
复数加、减运算几何意义的应用
例 3 已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
解析
由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数 z 对应的点 Z
与复数－3＋4i 对应的点 C 之间的距离等于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(－3,4)为圆心，
半径等于 1 的圆．
而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离，又|OC|＝5，
所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 5＋1＝6，最小距离为 5－1＝4.
即|z|max＝6，|z|min＝4.
解题技巧(复数的加、减法运算几何意义的解题技巧)
(1)|z－z0|表示复数z,ห้องสมุดไป่ตู้0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号
解题技巧(复数加减运算技巧)
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部
相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部
与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类
项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右
依次进行计算．
[跟踪训练 1]
图形,数形结合,综合应用.
自主预习,回答问题
阅读课本75-76页,思考并完成以下问题
1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何
意义如何？
2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问
题。
知识清单
1．复数的加、减法运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
=
−
+ −
解题技巧(运用复数加、减法运算几何意义注意事项)
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加
法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被
减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注
意向量对应的复数是zB －zA(终点对应的复数减去起点对应的复