吉林省长春市市汽车产业开发区第三中学高一数学理期末试题含解析

吉林省长春市市汽车产业开发区第三中学高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若动点分别在直线上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()
A．2 B．3 C．3 D．4
参考答案：
C
2. Sin165o等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
3. 下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数（）
A．y=B．y=x2 C．y=（）x D．y=
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，依次分析选项可得：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（）x不具有奇偶性，不符合题意；对于D、
y=是幂函数，符合题意；即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=是奇函数，不符合题意；
对于B、y=x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；
对于C、y=（）x是指数函数，不具有奇偶性，不符合题意；
对于D、y=是幂函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意要掌握常见函数的奇偶性与单调性．
4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
参考答案：
A
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin
（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求
【解答】解：∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA
∴sin（A+B）＜sinBcosA
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA
∴sinAcosB＜0 又sinA＞0
∴cosB＜0 即B为钝角
故选：A
5. 设=（）
A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，由、的坐标计算可得向量+的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意， =（1，﹣2），=（3，4），
则+=（4，2），
又由=（2，﹣1），
则（+）?=4×2+2×（﹣1）=6；
故选：A．
6. 已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于()
A. B.－1
C．2－ D.＋1
参考答案：
B
略
7. （5分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）
A．B．C．D．π
参考答案：
D
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：将已知两等式分别平方，左右两边相加求出cos（α+β）的值，再由已知两等式表示出sinβ与cosβ，代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值，得到cos（α+β）=﹣cosβ，根据α，β均为锐角，化简即可求出α+2β的值．
解答：由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，
将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，
同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，
整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，
两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9
整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，
即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，
将sinβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，
整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，
解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，
即cos（α+β）=﹣cosβ，
∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），
∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，
则α+2β=π．
故选：D．
点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
8. 若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣
，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，
得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．
【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，
∴φ=kπ+，k∈Z，
又∵|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+），
当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，
∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），
∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，
∴f（x1+x2）=．
故选C．
9. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1 （B）5 （C）14 （D）30
参考答案：
C
10. 在边长为6的正中，点满足，则等于（）
A. 6
B. 12
C.
18 D. 24
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若三点在同一条直线上，则实数a
的值为
▲.
参考答案：
6
12. 化简：cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）+sin（θ﹣46°）sin（57°+θ）= ．
参考答案：
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式可求sin（θ﹣46°）=﹣cos（44°+θ），sin（57°+θ）=cos（33°﹣θ），代入所求，即可化简求值．
【解答】解：∵sin（θ﹣46°）=cos（90°﹣θ+46°）=﹣cos=﹣cos（44°+θ），
又∵sin（57°+θ）=cos（90°﹣57°﹣θ）=cos（33°﹣θ），
∴cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）+sin（θ﹣46°）sin（57°+θ）
=cos（44°+θ）cos（θ﹣33°）﹣cos（44°+θ）cos（33°﹣θ）
=0．
故答案为：0．
13. 方程的解集为用列举法表示为____________.
参考答案：
略
14. 下面有五个命题： ①终边在y 轴上的角的集合是 | ；
②函数
是奇函数；
③
的图象向右平移
个单位长度可以得到
的图象;
④函数的图象关于y 轴对称;
其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）
参考答案：
②③ 略
15. 函数的对称中心为(1,－1)，则a =
参考答案：
－ 1 因为是对称中心，则将
图象左移1个单位，上移1个单位后，图象关于
对称，奇函
数。

移动之后的函数
， ，解得。

16. （5分）已知f （x ）=
，若f （a ）=2，则a= ．
参考答案：
﹣
考点： 函数的值．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意知，分a≤1与a ＞1讨论求解．
解答： 解：若a≤1，则a 2
﹣1=2， 解得a=﹣
；
当a ＞1时，a+＞2；
故不成立； 故答案为：﹣
．
点评： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
17. 设f(sin α+cos α)=sin α?cos α,则f(sin )的值为______.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)． (1)求满足的实数m ，n ； (2)若
，求实数k ；
参考答案：
（1）； （2）.
【分析】 (1)由
及已知得
,由此列方程组能求出实数；(2)由
,可得
，由此能求出的值.
【详解】(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以
，解得；
(2)∵a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.
【点睛】本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
19. （本小题满分14分）
设集合为方程的解集，集合为不等式的解集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
参考答案：
(I)由，解得……………………………2分
时，…………………………………… …………… ……4分
……………………………………………………………7分
……………………………………………………………10分
……………………………………………………………14分
20. 已知等差数列{a n}的前四项的和A4＝60，第二项与第四项的和为34，等比数列{b n}的前四项的和B4＝120，第二项与第四项的和为90.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)设c n＝a n·b n，且{c n}的前n项和为S n，求S n.
参考答案：
解：(1)由题意知，对数列{a n}，
?
∴①－②可得：2d＝8.
∴d＝4，a1＝9.
∴a n＝4n＋5(n∈N＋)．
由题意知，对数列{b n}，
∴
④÷③可得q＝3，则b1＝3，
∴b n＝3×3n－1＝3n(n∈N＋)．-----------6分
(2)由c n＝a n·b n＝(4n＋5)·3n，
∴S n＝9·3＋13·32＋17·33＋…＋(4n＋5)·3n.
两边同乘以3，得
3S n＝9·32＋13·33＋17·34＋…＋(4n＋1)·3n＋(4n＋5)·3n＋1.
两式相减，得
－2S n＝9·3＋4·32＋4·33＋…＋4·3n－(4n＋5)·3n＋1
＝27＋4·－(4n＋5)·3n＋1
＝27＋2·3n＋1－18－(4n＋5)·3n＋1，
∴S n＝[(4n＋3)·3n＋1－9]．-------------12分
略
21. （12分）设集合A={2a-1<x<a+1}，集合，若，求实数的范围．
参考答案：
a=1或
22. (本小题满分14分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
参考答案：
（1）由每月产量台，知总成本为……1'
从而……7'
(2) 当
当……10'
当为减函数
……12'
答：当月产量为300台时，利润最大，最大利润25000元。

……14'。