2018届高三数学理一轮总复习课时规范训练：第三章 三角函数、解三角形 3-2 含答案 精品

课时规范训练 [A 级 基础演练]
1．已知α是第二象限角，sin α＝5
13，则cos α＝( )
A ．－12
13
B ．－513
C.513
D ．1213
解析：选A.因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2
α＝－1213
.
2．已知sin(θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0
D ．sin θ<0，cos θ<0
解析：选B.∵sin (θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0. 3．已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25
B ．－15
C.15
D ．25
解析：选C.sin ⎝
⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π＋π2＋α＝
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α，故cos α＝15.
4．(2017²成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2，则sin
⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )
A.4
5 B ．－45
C.35
D ．－35
解析：选B.tan(α－π)＝34⇒tan α＝3
4
.
又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2，
所以α为第三象限的角， 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
31π3的值为( )
A.1
2 B ．－13
C ．－12
D ．13
解析：选C.∵f (α)＝sin α²cos α
－cos αtan α＝－cos α，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π3
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3
＝－cos π3＝－1
2
.
6．若tan α＝2，则2sin 2
α＋1
sin 2α的值为( )
A.53 B ．－134
C.135
D ．134
解析：选D.因为tan α＝2， 所以2sin 2
α＋1sin 2α＝3sin 2
α＋cos 2
α2sin αcos α
＝3tan 2
α＋12tan α＝3³22
＋12³2
＝13
4
.故选D. 7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝ ． 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝3
10，
∴sin(θ－5π)sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.
答案：3
10
8．若cos(π－α)＝－13，则cos （2π－α）²sin （π＋α）
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²tan （3π－α）
的值为 ．
解析：由cos(π－α)＝－13，得cos α＝1
3.
则
cos （2π－α）²sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α²tan （3π－α）＝cos α²（－sin α）
cos α²（－tan α）
＝cos α＝1
3.
答案：13
9．化简
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－αcos （π＋α）
＋
sin （π－α）²cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋αsin （π＋α）
的值．
解：原式＝cos α²sin α－cos α＋sin α（－sin α）
－sin α＝－sin α＋sin α＝0.
10．若f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值．
解：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－
3
2
. [B 级 能力突破]
1．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π
2，
∴A >π2－B >0，B >π
2
－A >0，
∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－B ＝cos B ，
sin B >sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－A ＝cos A ，
∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在第二象限，选B.
2．已知函数f (x )＝αsin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 016)的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
解析：选C.∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，
∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3， 即f (2016)＝3.
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1
4
，则sin 2x 的值为( )
A.15
16
B ．916 C.78
D ．±1516
解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22cos x －22sin x ＝14， ∴cos x －sin x ＝1
422
＝
2
4
，两边平方得 cos 2x ＋sin 2
x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ＝18，
∴sin 2x ＝7
8
.
4．(2017²新疆阿勒泰一模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α
1＋1
tan 2α＝ ． 解析：原式＝cos α
sin 2
α＋cos 2
α
cos 2
α
＋sin α²sin 2α＋cos 2
α
sin 2
α
＝cos α1|cos α|＋sin α²1
|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos
α
1|cos α|＋sin α²1
|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.
答案：0
5．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－θ＋sin 3
⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－θ的值．
解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2
－4a ≥0，
∴a ≥4或a ≤0.
又⎩
⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2
－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. ∴cos 3
⎝
⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin 2
θ－sin θcos θ＋cos 2
θ) ＝(1－2)＝2－2. 6．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2＋α，求下列各式的值：
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2
α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－1
6.
(2)由已知得tan α＝sin α
cos α
＝2，
∴sin 2
α＋sin 2α＝sin 2
α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α＋2tan α1＋tan 2α＝22
＋2³21＋22＝8
5
.。