关于公平合理、简便省时的选举投票规则

关于公平合理、简便省时的选举投票规则
摘要：评选问题是大家生活中经常会遇到的问题，如何才能够实现评选的公平合理是大家比较关心的问题。

同时大家又希望能够快速选出所需要的人，这时投票的规则就显得尤为重要了。

一个好的投票规则能够保证选举的公平性又能节约大家的时间。

我们建模的主要目的就是找的这样的一套投票规则，并证明它的合理性和有效性。

一．问题分析和假设
题目中提到要做到投票的公平合理，简便省时，因此投票的次数应尽可能的少，每个人投的总票数也要尽可能少。

因此我们可以假设总投票的次数不超过两次。

然后在一次投票和两次投票中选择一个使得每个人总共投的票数最少的方案。

首先进行一些假设：
（1）假设每个人进行投票时每次给每个候选人至多投一票；
（2）假设最多进行两次投票；
（3）假设每个评委对同一个候选人投票的概率是相同的，简单起见设为0.5.
（4）假设每次投票总能选出一部分，即第二次投票每个人可以投的票数总小于第一次。

二．模型建立
基于上面的假设，我们可以给出两种方案：
1 ，从省时考虑，可以把所有的候选人分成四组，从每组中选出三人
作为先进工作者，每个评委在每组必须选三个候选人入选。

这样可以大大减少投票数，但是对候选人进行人为分组容易产生不公平现象，不符合投票选举的原则，所以不合理。

2，可以让每个评委每次给多个人投票，这样当评委每次可以投足够多的票时，总会选出一部分人，使他们得到的票数多余三分之二评委人数，然后再对剩余的人进行投票，再找出一部分，使其投票总数满足条件。

这样可以保证结果的公平合理性，同时我们总可以找到每次投的票数，是的每个人投的总票数最小。

第一次，设每个人可以投a1票， 每个人获得i 票的概率为151111
313115
1132
32
1i
i
a a i
a a C C C
C
C
---⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
每个人获得的票数超过
10票的概率为
15111115
3131
1511
1032321i
i
a a i a a i C C C C C ---=⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦∑
可以选出的合适人选的人数为：
15111115
31311511
103232
1321i
i
a a i
a a i C C T C C C ---=⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦∑
第二次，设每个人可以投a2票，
第二次投票是在第一次的基础上进行累计，第一次如果得到9票，那么第二次只要得到的票数超过1票就可能被选上，即在第一次的基础上乘以第二次得到超过1票的概率即为在第二次被选出来的概率，再求和得到第二次总共可以得到超过10票的概率，乘以第一次剩余的
人数，即为第二次可以选出的人数T2。

()1515111121219153131311311
151511220103232321321232111i j i j
a a a a i j T T a a a a i j i T T C C C C T T C C C C C C --------==---⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=---⎨⎬⎨⎬
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
∑∑三. 模型求解
1） 只投一次得到每个人投票总数情况
通过对a1取不同的值，可以得到T1的值。

对应点图形如下所示：从图中可以看到当T1=12时，它对应的a1=19.因此只投一次时，每个人投票的总数是19票。

图（1）
2） 投两次得到每个人投票的总数情况
图（2）中不同的系列号代表的是第一次中a1取不同值时，T2关于a2的一条曲线族。

图（二）
图（三）
图（3）反应的是在不同的a1情况下，总的选出的人数与a2的关系
曲线。

我们在纵坐标为12时，作一条垂直于纵坐标的直线，观察它
与每一条曲线的交点。

通过对各个点的记录，我们得出对应的总共投票数最优值为19.
结论：通过对一次投票和两次投票的情况进行比较可知，两种方案下来每个人须投的总票数是相同的。

为了简便，我们选取第一种方案，即采用一次投票决定结果，每个人投19票的方案。

四、模型评价
1）模型的优点：该模型是基于概率统计的观点的，采用多次筛选，每次从中选出一部分有资格的人的方法，直到得到名额中要求的人数。

模型中限定了筛选的次数是考虑到了模型的简便省时性，要求每个人所投票数最少也是为了省时，该模型是一个筛选次数与总投票数之间的一个折中，考虑到现实生活中多轮筛选的复杂，浪费人力财力，我们限定筛选次数不超过2次。

再在一次和两次中找到一种较优的方案。

由于采用每次每个评委只能对一人投不超过一票的票数，所以每个被选出了的人其实是大家普遍认可的，保证了选举的公平性。

2）模型的缺点：模型中假定了每个人得票的概率是相同的，但在实际中这种相同要基于评委人数较多的情况下，如果评委仅是一两个人，就很难保证这一假设的成立。

五．推广
若是m 个名额、n 个候选人、k 个评委的情况:
思路过程是大体相同的的，只是那个式子的形式改变了，如下所示：
151111
11112311i
i
a a k
i
n n k
a a n
n
i k
C C T n C C C
-----=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑
()21
111121213
11
1111112220
113
2111k i k j k i j
a a a a k
i j n n n T n T k k a a a a i n n n T n T j k i C C C C T n T C C C C C C -------------=--=-⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=---⎨⎬⎨⎬
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
∑
∑T1+T2=m。