2018版高中数学 第3章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法学案 新人教B版必修5

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
求方程
f(x)＝0
的解
有两个不等
的实数解
x1，x2
有两个相等
的实数解
x1＝x2
没有
实数解
解不等式f(x)＞0或
f(x)＜0的
步骤
画函数y＝f(x)
的示意图
得等的集不式解
f(x)
＞0
{x|x＜x1_
(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立.故该说法正确.
(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 ，故该说法错误.
【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×
教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系
阅读教材P74倒数第三行～P78练习A以上内容，完成下列问题.
三个“二次”的关系：
(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
由根与系数的关系得
解得a＝－1，b＝1.
【答案】－11
5.解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
【解】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4.
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
其中 ＝ ，－ ＝ ＝ ＝ ＋ ，
∴x1＝ ＝－3，x2＝ .
∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为 .
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(1)当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a<x<2a}；
(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
(3)当a<0时，x1<x2，
不等式的解集为
{x|2a<x<－a}.
综上所述，原不等式的解集为：
a>0时，{x|－a<x<2a}；
a＝0时，x∈∅；
a<0时，{x|2a<x<－a}.
1.含参数的不等式的解题步骤
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式.
探究2方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
当a<－2时，－1≤x≤ .
综上所述，
当－2<a<0时，解集为 ；
当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为 .
[探究共研型]
一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系
探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
【答案】A
3.二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________.
【导学号：18082047】
【解析】由y<0，得x2－4x＋3<0，
∴1<x<3.
【答案】(1,3)
4.若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a＝________，实数b＝________.
【解析】由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根.
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为
{x|1<x<6}.
1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.
2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
∵Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为∅.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
解含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).
【精彩点拨】 → →
【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
【提示】y＝x2－2x－3的图象如图所示.
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}.这说明：
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式.()
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.()
(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解.()
(4)x2－ >0为一元二次不等式.()
【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；
当m≠0时，它是一元二次不等式.
(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
【精彩点拨】
【自主解答】(1)由x2－5x>6，得
x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
方程(2x－1)2＝0的根为x＝ .
∴4x2－4x＋1≤0的解集为 .
又 ＝－ ，∴b＝－ a，c＝－ a.
∴不等式变为 x2＋ x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0.
所求不等式的解集为 .
法二：由已知得a＜0且 ＋2＝－ ， ×2＝ ，知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ ，
若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是 ，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集.
【精彩点拨】一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.
【自主解答】法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集是 ，知a＜0,又 ×2＝ ＜0，则c＞0.
又－ ，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－ ＝ .∴ ＝－ .
[再练一题]
1.解下列不等式：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)－ x2＋3x－5>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝－1)2－4×2×6<0，
函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，
与x轴无交点.
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
(1)将二次项系数转化为正数；
(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).
2.解含参数的一元二次不等式
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
∴x∈R.
【答案】R
3.设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________.
【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，
N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，
所以M N.
【答案】M N
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).
3.一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.
[再练一题]
2.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).
【导学号：18082046】
【解】原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1) ≤0.
当－2<a<0时， ≤x≤－1；
当a＝－2时，x＝－1；
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为
或x＞x2}
R
f(x)
＜0
{x|x1＜
x＜x2}
∅
∅
1.不等式x2≤1的解集为________.
【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}.
【答案】{x|－1≤x≤1}
2.不等式2x≤x2＋1的解集为________.
【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，
1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1一元二次不等式的概念
阅读教材P74～P74倒数第四行，完成下列问题.
1.一元二次不等式的概念
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
【提示】方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}.
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.这说明：
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则 即不等式的解集的端点值是相应方程的根.
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为()
A.
B.
C.
D.
【解析】因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为 .
【答案】A
2.不等式 ＜1的解集是()
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－1,1)
【解析】∵ ＜1，∴ －1＝ ＜0，即 ＞0，∴(x－1)(x＋1)＞0解得x＞1或x＜－1，∴不等式 ＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________.
【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解.
【答案】{x|x＜－2或x＞3}
[小组合作型]
解一元二次不等式
求下列一元二次不等式的解集.
(1)x2－5x>6；
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[再练一题]
3.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集.
【解】由题意知
即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0).
即6x2＋5x＋1<0，
解得－ <x<－ ，
所以所求不等式的解集为 .