苏教版高中数学必修二回扣验收特训(二) 平面解析几何初步

回扣验收特训（二） 平面解析几何初步 1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内
B ．在xOy 平面内
C ．在xOz 平面内
D ．在yOz 平面内
解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．
2．若直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为
( )
A ．－1
B ．43
C ．－1或43
D ．1或12
解析：选B 由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2＋m －1≠0，－m 2－2m －32m 2＋m －1
＝1， 解得m ＝43
，选B. 3．已知点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，若(a －1)2＋(b －1)2的最小值为4，则实数c 的值为( )
A ．－21或19
B ．－11或9
C ．－21或9
D ．－11或19 解析：选B ∵点M (a ，b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，
∴点(1,1)到此直线的最小距离d ＝
|4－3＋c |5
＝2， 解得c ＝9或－11.故选B.
4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )
A ．5 2
B ．2 5
C ．510
D ．10 5 解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．
所以A ′B ＝(2＋3)2＋(10＋5)2＝510.
5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( )
A ．|b |＝ 2
B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2
C ．－1≤b ≤1
D ．非A ，B ，C 的结论
解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考
查它们的关系，寻找解决问题的办法．
将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2
＝1，|b |＝2，b ＝±2. 观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．
6．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2,6]
B ．[4,8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，
则圆心C (2,0)，r ＝2，
所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2
＝22， 可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.
由已知条件可得|AB |＝22，
所以△ABP 面积的最大值为12
|AB |·d max ＝6， △ABP 面积的最小值为12
|AB |·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．
7．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.
∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝
|1＋1|2
＝2， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.
答案：2 2
8．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最大值为________．
解析：圆心到直线的距离为
|－25|32＋42＝255＝5，再加上圆x 2＋y 2＝1的半径，得5＋1＝6，即为所求的最大值．
答案：6
9．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________．
解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，
将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0， 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1
， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，
即3k －2k －2＋3k －3k ＋1
＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.
法二：设直线l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)，
∵P (3,0)是线段AB 的中点，
则直线l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝113，y 1＝163，
∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫113，163，由两点式可得直线l 的方程为8x －y －24＝0.
答案：8x －y －24＝0
10．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．
解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，
∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，
即y ＝－x ＋3.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，y ＝6， 即圆心C 为(－3,6)，
则半径r ＝(－3＋1)2＋62＝210.
又AB ＝(3＋1)2＋42＝42，
∴圆心C 到AB 的距离d ＝(210)2－(22)2＝42，
∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210，
∴△PAB 的面积的最大值为12
×42×(42＋210)＝16＋8 5. 11．已知：以点C ⎝⎛⎭
⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .
∴S △OAB ＝12×OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪
⎪4t ×|2t |＝4， 即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，
∴直线OC 垂直平分线段MN .
∵k MN ＝－2，∴k O C ＝12
. ∴直线OC 的方程是y ＝12
x . ∴2t ＝12
t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，
此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，
此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
95 >5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，
∴t ＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
12．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为圆H .
(1)求圆H 的标准方程；
(2)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(3)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上始终存在不同的两点M ，N ，使得M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．
解：(1)设圆H 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，
则由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－D ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，
9＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝0，
E ＝－6，
F ＝－1， 所以圆H 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.
(2)设圆心到直线l 的距离为d ，则1＋d 2＝10， 所以d ＝3.
若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，
则直线方程为x ＝3，满足题意；
若直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，
圆心到直线l 的距离为d ＝|－3k －1|
(－1)2＋k 2＝3，
解得k ＝43
，所以直线l 的方程为4x －3y －6＝0. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.
(3)由题意得0＜CP －r ≤2r ，
即r ＜CP ≤3r 恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
r ＜CP min ＝4105，3r ≥CP max ＝CH ＝10，
解得103≤r ＜4105. 于是圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103
，4105.
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