高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点总复习含答案解析

数学高考《不等式选讲》试题含答案
一、14
1．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <
C ．{|48}x x <≤
D ．{|45}x x <<
【答案】B 【解析】 【分析】
分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】
当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时
45x <<；
当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}
5x x <，故选B. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
2．若关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．(],0-∞
C ．(],1-∞
D ．(]
,5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到
22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得
到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】
关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2
2
22221
221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥
21t =--，
所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得11
5
t ≤≤-
， 所以01t <≤，
综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】
本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.
3．已知点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标
原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A B ．
13
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，
||OM =a ，b 关系，代入即可．
【详解】
解：点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，可得22911a b +=，
(,)M a b 为平面上一点，||OM =
所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 22
22
13
b e a =-=，
e =
． 故选D ． 【点睛】
考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
4．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
【答案】B 【解析】
由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，
∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.
5．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】D 【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴
+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
6．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的各项的和222111123S n L L =+
++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413
S << B ．
5443
S << C ．
3
22
S << D ．2S >
【答案】C 【解析】 【分析】
由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】
由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =+
+++<+-+-++--12n
=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，
由22111341123363+
+=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】
本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
7．设n *∈N
） A
>B
C
=D ．不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】
2
2
-
=
==
.
2
2
-=
==
.
*n N
∈ 42,31n n n n +>++
>+
>
>
>
<
<
成立，因此本题选B ． 【点睛】
对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．
8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，
B ．(]
1∞-， C ．14∞⎛
⎤- ⎥⎝⎦
，
D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
2212,21n n a a S n +==++ ()
*n N ∈，可得2n ≥时，
()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，
212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ
的取值范围． 【详解】
2212,21n n a a S n +==++Q ()
*n N ∈，
2n ∴≥时，()22
112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222
121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．
11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，
1n =时，212224a a +==，解得11a =．
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．
11n a n n ∴=+-=． 12111111
12n n a n a n a n n n n
∴
++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =
++⋯++++，1111
111211
n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()
11111
022*******n n b b n n n n n +-=
+-=>+++++.
所以{}n b 为增数列，112
n b b ≥=
,即121111111
122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤
，解得1
4
λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦，．
故选C ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）
A ．(,5)(5,)-∞-+∞U
B ．(,5)(3,)-∞-+∞U
C ．(,7)(3,)-∞-+∞U
D ．(,7)(2,)-∞-+∞U
【答案】C 【解析】 【分析】
根据偶函数以及当0x „时，2
()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得
(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.
【详解】
∵()f x 是定义域为R 的偶函数，
∴当0x ≥时，0x -≤,所以22
()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，
∴2
|2|4|2|5x x +-+>，
所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,
所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.
10．若，则不等式
的解集为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值三角不等式的性质得出，由
，得出
，借助正弦函数
图象可得出答案。

【详解】 因为成立，所以
，
又，所以
，
，故选：D 。

【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

11．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．
65
B ．6 35
C ．36 35
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得：
x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2222
1
)135++
≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186
,,35357
y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为36
35
. 本题选择C 选项. 【点睛】
根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.
12．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）
A ．集合P 是集合Q 的真子集
B ．集合Q 是集合P 的真子集
C ．P Q =
D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<Q ，
∴当0x „时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<„；
当01x <„时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；
当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．
{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<， P Q ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．设不等式3
412x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15a <-或47a >
B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064
a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式3
412
x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得
15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为2
81t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解:因为不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,
当2x =时,3
12
x +-有最大值31,不等式显然要成立,
即2
431a ->,解得15a <-或47a >,
当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈, 所以3
412
x
x a +->-等价于2
81t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t h t >+-=,
即求2
()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;
②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t f t <-+=,
即求2
()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;
综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
14．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有
,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的
函数()=3f x mx --，且()f x 为[
)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．[)1+∞，
C ．(],0-∞
D ．][()
,01,-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时
633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
15．已知(),0A a ，()0,C c ，
2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r
，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）
A 1- B
C 1 D
【答案】C 【解析】
【分析】
设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得2
2
1x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放
. 【详解】
设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，
()
2
22251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+
=+
取等号条件：ay cx =；
令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.
故选：C. 【点睛】
本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.
16．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b a c b c -≤-+- B ．2
2
1
2a a +
≥
C ．1
2a b a b
-+≥- D 【答案】C 【解析】 【分析】
A.用a b a b a b -≤±≤+来判断.
B.用基本不等式来判断.
C.用特殊值当1,2a b ==时来
判断.D.
==，再比
较. 【详解】
A. 因为-=-+-≤-+-a b a c c b a c b c 恒成立，故正确.
B.因为 2212+
≥=a a ，当且仅当221a a =即1a =±时取等号，故正确. C.当1,2a b ==时，1
110-+=-=-a b a b
，原不等式不成立，故错误.
D.
==
>≤确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了不等式的比较及其应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题.
17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足
321(log (211))(log )2
f m f -+>，则m 的取值范围是( ) A ．13(,)(,)22
-∞-+∞U ） B ．3(,)2-∞ C ．1(,)2-+∞
D ．13(,)22- 【答案】D
【解析】
【分析】 不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>，利用函数是偶函数和其单调性可知()3log 2111m -+<，转化为解对数和含绝对值的不等式.
【详解】
()f x Q 是偶函数，()()21log 112f f f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝
⎭， 即不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>
()3log 2110m -+≥Q ，
Q ()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，
()f x ∴在[)0,+∞单调递减，
()3log 2111m ∴-+<， 即2113m -+<，整理为：212m -< ，
2212m ∴-<-<， 解得：1322
m -<<. 故选：D
【点睛】
本题考查利用函数的性质解不等式，主要考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，一般利用函数是偶函数，并且已知函数在区间上的单调性时，
()()()()1212f x f x f x f x >⇒>，然后利用()0,∞+或[)0,+∞的单调性解不等式.
18．已知函数()1()02f x x a a a =-+
≠．当12
a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．8,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】
【分析】 将函数的零点问题转化为方程的根问题，再构造函数1(2)g x x a x =+--求得函数的值域，可得关于a 的不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】 Q 函数()()21g x f x x =+-有零点，
∴方程2112x a
x a -=+--有根， 令1(2)g x x a x =+--，则31,,1()1,,2131,,2
x a x a g x x a a x x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ ∴1()[,)2g x a ∈--+∞，∴11,221,2
a a a ⎧-≥--⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得：1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.
【点睛】
本题考查已知函数存在零点求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将函数的零点转化为方程的根.
19．曲线312ln 3y x x =
+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3
B ．2
C ．32
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.
【详解】 解：由于312ln 3
y x x =+，根据导数的几何意义得：
()()2221130k f x x x x x x x '==+
=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，
当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3
y x x =
+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.
【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
20．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )
A ．33()()f x f a a -≤+
B ．24()()f x f a a -≤+
C ．()()5f x f a a -≤+
D ．2
|()()2|(1)f x f a a -≤+ 【答案】B
【解析】
【分析】
先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立
【详解】 令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()
0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立
()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +
故选：B ．
【点睛】
本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．。