贵州省湄潭县湄江高级中学高考数学等差数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等差数列选择题
1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4
D ．-4
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45
B ．50
C ．60
D ．80
4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列
D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11
B ．12
C ．23
D ．24
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6
12S
S =（ ） A ．
17
7
B ．
83 C ．
143
D ．
103
8．已知数列{}n a 中，132a =
，且满足()*
1112,22
n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有
n a n
λ
≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．169．题目文件丢失！
10．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60
B ．11
C ．50
D ．55
11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=
B ．560a a +=
C ．670a a +=
D ．890a a +=
12．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
13．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42 14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）
A ．24
B ．23
C ．17
D ．16
15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S > D ．70S <，且80S <
16．若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020
D ．2021
17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333
122n n n a a a ++=+，则10a 等于
（ ）
A ．10
B C ．64
D ．4
19．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项
B ．133项
C ．134项
D ．135项
20．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则
n a =（ ）
A ．21n -
B ．43n -
C ．54n -
D ．n
二、多选题
21．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）
A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1
C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021
D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
22．若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．1
2
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
24．已知数列0,2,0,2,0,2,
，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+-
B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin
2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
25．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
28．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
29．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >
B ．170S <
C ．1819S S >
D ．190S >
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一、等差数列选择题 1．A 【分析】
由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得154
52252
a ⨯+
⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 2．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.
3．C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】
{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +⨯⨯=
===
故选：C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题
4．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】
设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得
728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断
D ． 【详解】
设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；
所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；
1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得10
1n d
≤-
+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d
≥-， 所以1010
1n d d
-
≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，
当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关
键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．
6．C
【分析】
由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】
32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，
故选：C. 7．D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =. 又
()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而
126103
S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：
（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且
9
3
6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 8．A 【分析】 将11122
n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2
2n n n a +=，从而得
出()
22n
n n λ+≥
，求出()max
22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，111
22
n n n a a -=
+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{
}
2n
n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n
n a n =+，从而2
2n n
n a +=
.
又因为
n a n λ
≥恒成立，即()22n
n n λ+≥恒成立，所以()max
22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()
()()()()
1
*121322,221122n n n
n n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨
+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2
max
2222222n n n +⨯+⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A
9．无
10．D 【分析】
根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】
因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()
1111161111552
a a S a +===.
故选：D. 11．B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()110101002
a a S +==，1100a a ∴+=，
由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ． 13．C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即
可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
14．A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】
解：根据题意，52820
45252
a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 15．A 【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=
>
()()188
1884
02
a a S a a +⋅==+<
故选：A . 16．B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈，则11()2
n n a a n N *+=+∈， 即11
2
n n a a +-=
，
所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公差的等差数列， 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =20211
10112
+=. 故选：B 17．D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】
解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，
得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩
，
即
{
1132024
a d a d +-+=， 解得：
{
123
a d =-=，
51424310a a d ∴=+=-+⨯=.
故选：D. 18．D 【分析】
利用等差中项法可知，数列{}
3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}
3
n a 的公
差，可求得3
10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】
对*n N ∀∈都有3
3
3
122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}
3
n a 为等差数列，
由于11a =，22a =，则数列{}
3n a 的公差为33
217d a a =-=，
所以，33
101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .
故选：D. 19．D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】
11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-
令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2
311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，
与已知矛盾，故解得31a t =+
{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =
则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A
二、多选题
21．ABD 【分析】
对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】
由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n
－1
2
＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋
(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；
由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；
故选：ABD.
【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 22．ABC
【分析】 根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n
<-
恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n -<恒成立， 由12+n 递减，且1223n
<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n <-
恒成立， 由12n -第增，且31222n
≤-<， 所以32
a <， 综上可得：322a -≤<
， 故选：ABC .
【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 23．BD
【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．
【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=，
所以()1999983622
a a S +⨯===．
因为35a =，73a =，所以公差731732
a a d -=
=--． 故选：BD
24．AC
【分析】 对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】
对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；
对于选项B ，2cos
2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2
n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；
故选：AC
25．ABD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
26．BC
【分析】
设公差d 不为零,由
38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】
设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，
即1127a d a d +=--， 解得19
2
a d =-，
11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，()()22510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC
27．AC
【分析】 利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-== 故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
28．ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00
a c
b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0
c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
29．BD
【分析】
由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.
【详解】
因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，
因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；
135********()35235022
a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；
19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题. 30．ABD
【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()0117917917
2171722
a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022
a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，
∴前9项的和最小，故A 正确；
()11791791721717022a a a S a +⨯⨯=
==<，故B 正确； ()11910191019
2191902
2a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确；
190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。