高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第31课平面向量的数量积与平面向量应用课时分层训练

第六章 平面向量与复数 第31课 平面向量的数量积与平面向量应
用课时分层训练
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. －32 [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－32.] 2．(2017·启东中学高三第一次月考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥
b ，则m ＝________.
8 [∵a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， ∴a ＋b ＝(4，m －2)．
由(a ＋b )⊥b 可知，(a ＋b )·b ＝0. 即12－2(m －2)＝0，∴m ＝8.]
3．已知点A (0,1)，B (－2,3)，C (－1,2)，D (1,5)，则向量AC →在BD →
方向上的投影为________．
－
13
13
[∵AC →＝(－1,1)，BD →＝(3,2)， ∴AC →在BD →方向上的投影为|AC →|cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →
|BD →|＝－1×3＋1×232＋22
＝－113＝－1313.] 4．(2017·盐城模拟)已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 夹角为120°，则(a ＋2b )·(a ＋
b )＝________.
12 [∵|a |＝4，|b |＝2，∴a ·b ＝4×2×cos 120°＝－4. ∴(a ＋2b )·(a ＋b )＝a 2
＋3a ·b ＋2b 2
＝16－12＋8＝12.]
5．已知平面向量a 与b 的夹角为π
3
，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝________.
【导学号：62172168】
2 [由题意得|a |＝12＋
3
2
＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |
2
＝22－4×2cos π3
|b |＋4|b |2
＝12，解得|b |＝2(负舍)．]
6．(2017·南通模拟)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．
π
3
[∵a ＝(4，－3)，∴|a |＝5， 又|a －b |＝a 2
－2a ·b ＋b 2
∴|a －b |2
＝a 2
＋b 2－2a ·b ，即21＝25＋1－2a ·b ， ∴a ·b ＝5
2
.
设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝525×1＝1
2.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π
3
.]
7．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →
，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．
垂心 [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →
)＝0， ∴OB →·CA →
＝0，
∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →
＝0，故O 是△ABC 的垂心．]
8．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为________. 【导学号：62172169】
7
12
[因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0， 所以(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB 2→＋AC 2→－AC →·AB →
＝0.
因为向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →
|＝2， 所以(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝7
12
.]
9．(2017·南京一模)如图31­3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →
，则
AD →·BC →
的值为________．
图31­3
－2 [∵BC →＝AC →－AB →
，
∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →·(AC →－AB →)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23
AB →＋13AC →·(AC →－AB →
)
＝－23AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC →
＝－23×9＋13×9＋13×3×3×13
＝－6＋3＋1＝－2.]
10．(2016·天津高考改编)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，
BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →
的值为________．
1
8
[如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →
，
所以AF →＝12AB →＋34AC →
.
又BC →＝AC →－AB →
，
则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)
＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →
＝34AC →2－12AB →2－14
AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →
|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.]
二、解答题
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．
(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值. 【导学号：62172170】 [解] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)，则 AB →
＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →
＝(4,4)．
所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC →
＝(－2，－1)，
AB →
－tOC →
＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB →－tOC →)·OC →
＝0，
得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－
115
. 12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
(3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积． [解] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. ∴4|a |2
－4a ·b －3|b |2
＝61.
又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π
3.
(2)|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝42
＋2×(－6)＋32
＝13， ∴|a ＋b |＝13.
(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，
∴∠ABC ＝π－2π3＝π
3
.
又|AB →|＝|a |＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2
＝3 3.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·南通一模)已知边长为4的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →
，AD 与BE 交于
点P ，则PB →·PD →
的值为________．
图31­4
3 [以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，P (0，3)．所以PB →·PD →
＝(－2，－3)·(0，－3)＝3.]
2．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →
＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 [设Q (c ，d )，由新的运算可得 OQ →
＝m ⊗OP →
＋n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x ，1
2
sin x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
，0
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝2x ＋π3，
d ＝1
2sin x ，
消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，
所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6， 易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12.] 3．(2017·如皋市高三调研一)如图31­5所示，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴(含坐标原点)滑动，其中AD ＝4，AB ＝2.
图31­5
(1)若∠DAO ＝π
4，求|OC →＋OD →|；
(2)求OB →·OC →
的最大值．
[解] (1)由题意可知点A (22，0)，D (0,22)，B (32，2)，C (2，32)， 所以|OC →＋OD →
|＝|(2，52)|＝213.
(2)过点B 作BM ⊥AO ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥OD ，垂足为N ，设∠DAO ＝θ，则∠CDN ＝θ，∠ABM ＝θ，所以点A (4cos θ，0)，D (0,4sin θ)，B (4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，
C (2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，
则OB →·OC →
＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2
θ＋4cos 2
θ
＝4＋8sin 2θ，∵θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴(OB →·OC →)max ＝12.
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →
. (1)求角B 的大小；
(2)若|BA →－BC →
|＝6，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .
根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，
即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝
22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4
. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →
|＝6，
即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2
＋c 2
－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，
故△ABC 的面积S ＝1
2
ac sin B ≤
2＋2
，
32＋3
2.
即△ABC的面积的最大值为。