高中数学椭圆中的最值问题 专题辅导

高中数学椭圆中的最值问题
邓卫和
函数的最值、值域问题是高二数学的一个热点问题，它常和其他数学知识结合，增加了题目的难度。

本文就椭圆中的一些最值问题作一些简单的探讨。

一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值
例1. 已知椭圆1y 4
x 22=+上的一动点P 和一定点)0,a (A ，试求线段|PA|的最小值。

分析：如图1所示，P 为椭圆1y 4
x 22
=+上的点，则点P 的坐标有一定的X 围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a 进行讨论。

图1
解：设点P （x ，y ）是椭圆1y 4
x 22
=+上的一点，则由两点公式可知 13a 3a 4x 43a 1ax 24
x 34x a )a x (y )a x (|PA |2
22
2
2
2
2
2+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-+-=+-= []2,2x -∈ 当23a 4-<，即2
3a -<时，x 取2-，|2a |a a 44|PA |2min +=++= 当23a 42≤≤-，即23a 23≤≤-时，x 取3
a 4，3a 1|PA |2min -= 当23a 4>，即2
3a >时，2x =，|2a |a a 44|PA |2min -=+-= 点评：这里字母a 是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。

例2. 已知椭圆116
y 25x 2
2=+的左焦点为F ，椭圆内有一个定点A （4，1），P 为椭圆上的任意一点，试求|PA ||PF |+的最大值。

分析：如图2所示，设右焦点为C ，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将|PA ||PF |+转化为|PC ||PA |a 2-+，然后应用三角形中两边之和大于第三边
这个性质求得最大值。

图2
解：设椭圆的右焦点为C 则|)PC ||PA (|a 2|PA ||PC |a 2|PF ||PA |-+=+-=+ |AC ||PC ||PA |≤-（当点P 在线段AC 的延长线上时取“=”），所以|PF ||PA |+=210|AC |a 2|PA ||PC |a 2+=+≤+-。

说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P 到椭圆内一定点A 及一焦点F 的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。

二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值（取值X 围）
例3. 已知椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+的长轴的两端点分别是A 、B ，若椭圆上有一点P ，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e 的取值X 围。

分析：要求离心率e 的取值X 围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的X 围建立不等式求解。

图3
解：由题设知3k k 1k k APB tan PB
PA PB PA -=⋅+-=∠
设点)y ,x (P 00，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+-220220202200b y 1a x 3y a x ay 2
化简得220c 3ab 2y =
由椭圆的几何性质知b c 3ab 20b y 0220≤<⇒≤< 利用a
c e c a b 222=-=和得，04e 4e 324≥-+
解得1e 3
6<≤ 点评：当点P 在椭圆上运动时，∠APB 的大小也随之变化，且当点P 在向短轴端点靠近时，∠APB 逐渐增长，当点P 为椭圆短轴端点时，∠APB 达到最大。

因此，只要长轴关于短轴端点的X 角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P ，使∠ABP=120°。

练一练：
直线1m
y 9x 1kx y 2
2=++=与椭圆总有公共点，试求m 的取值X 围。

答案：9m 1m ≠≥且。