2023-2024学年福建省厦门市高一上册期末教学质量数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学
模拟试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，
，且，则（
）
{}
9,3A m ={}
2,9B m =A B =m =A. 0
B. 3
C. D. 3或0
3
±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（ ）
1rad 5A. B. 1
C. 2
D. 4
1
2
3. “
”是“”的（
）
1
a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 若，，，则（ ）
ln x π=5
1log 3y =1
2z e -
=A. B. C. D. x y z
<<z x y
<<z y x
<<y z x
<<5. 函数①
；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（ ）
A 0
B. 1
C. 2
D. 3
6. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
最小值是（ ）
A. -1
B. -2C -4
D. -8
7. 已知函数
则的大致图像是（ ）(
),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨
⎪->⎩()2y f x =-
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ω）
A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢
⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢
⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
(0,2]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）
θ5π
3-
θA. B. C. D. 7π3
-1π3
4π313π3
10. 下列说法错误的是（
）
A. 函数与函数表示同一个函数
x
y x =
1y =B. 若
是一次函数，且
，则
()
f x ()()165
=+f f x x ()41
f x x =-C. 函数
的图象与y 轴最多有一个交点
()
f x D. 函数
在上是单调递减函数
1
1y x =
+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）
ππ,π2⎛⎫ ⎪
⎝⎭A. B.
C.
D.
cos 2y x
=sin y x
=cos y x
=tan y x
=12. 设函数
的定义域为，
为奇函数，为偶函数，当
时，
()
f x R ()
1f x -()
1f x +[]
1,1x ∈-，则下列结论正确的是（
）
()21
f x x =-+A. 7324
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数
()7f x +C.
在
上为减函数
()
f x ()6,8D. 方程
仅有6个实数解
()lg 0
f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数
的零点为______.
()32
x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是
23208kx kx ++
>___________．
16. 若函数
在区间上的最大值为，最小值为，则
()()
2
2211x f x x +=
+[]2023,2023-M m ______．
M m +=
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知为钝角，且
.
α4cos 5α=-
（1）求，的值；
sin αtan α（2）求的值
sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..
19. 已知定义在上的偶函数，当时，
，且
.
R ()
f x 0x ≥()()
3x f x a a =-∈R ()326
f -=（1）求的值；a （2）求函数
的解析式；
()
f x （3）解不等式：
.
()2
f x >20. 已知函数
.π()sin 21
3f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；
()f x （2）当
时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神
经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时
()()0
0n
G L n L D
n =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减
0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型
，，且当训练迭代轮数为18时，学
()1
02L =
018G =习率衰减为.
2
5（1）求该学习率模型的表达式；
（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据151
5）
lg 20.3010≈22.
已知函数．
424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．
()()f x g x =
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A
解析：由得，解得或，
A B =2
3m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B
解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.
1
51
5l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为
或，
11
a a >⇔<-1a >又时，不能得出；
1a <-0a >时，不能得出；
0a >1a <-所以“
”是“”的既不充分也不必要条件.
1
a >0a >故选: D.4. D
解析：，
，，
ln 1π> 5
1log 03<12
0e 1-<<.
y z x ∴<<故选：D.5. B
解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除
[]
0,2πx ∈②；
对于①，，是奇
22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭()()()()22
sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③
，
，是偶函数．
sin 2y x
=()()
sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D
解析：因为幂函数的图像过点，所以
，得，()f x x α
=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭1
55α=1α=-所以
，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.
1198
3g ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A
解析：函数
，则(
),1,
ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩(
)()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨
--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；
1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合
1x <()
2f x -故选：A.8. C
解析：由题意得
，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥
⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π2
4422k k ωω⎡⎤⎡⎤
++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =π
ππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨
⎪+≤⎪⎩
3124ω-≤≤0ω>104ω<≤
当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨
⎪+≤⎪⎩
ω2,Z k k ≥∈ω故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD
解析：依题意
，
5π
2π,3k k θ=-
+∈Z 当时，
，1k =π3θ=
当时，
，
3k =13π3θ=
所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD
解析：A ：函数
的定义域为，函数的定义域为R ，
x
y x =
(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；
B ：设，则，
()(0)f x kx b k =+≠2
(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2
165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩45
3k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
所以或
，故B 符合题意；
()41f x x =+5
()43f x x =--
C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；
D ：函数
在上是单调递减函数，故D 符合题意.
1
1y x =
+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD
11. BD
解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；
cos 2y x =
作函数
图象，如图2，故B 正确；
sin y x
=
作函数
图象，如图3，故C 错误；
cos y x
=
作函数
图象，如图4，故D 正确.
tan y x
=
故选：BD 12. BD 解析：因为
为偶函数，所以
，
()
1f x +()()
11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为
为奇函数，所以
，
()
1f x -()()
11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.
()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令
，得，()(2)f x f x =-+72x =
7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在
中，令
，得
，
()()
11f x f x -=---1
2x =-
3111222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫
-=-+=
⎪⎝⎭
73132224f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
因为，所以，
(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以
，从而
为奇
()()()()()
711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()
7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，
()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以
在
上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；
()
f x ()7,8()6,8
因为
为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为
为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当
时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.
()f x lg y x =-
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.
()lg 0f x x +=故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二
解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，
tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，
cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；
x 故答案为：二
14. 3log 2
解析：令
，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32
x f x =-3log 2故答案为：
3log 215. {}
03k k <<解：因为不等式
为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠
又一元二次不等式对一切实数x 都成立，
23208kx kx ++
>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩
03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．
{}03k k <<16. 4解析：因为
，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，
()()()()224411x x g x g x x x ---=
==-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以
在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．
max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）解：因为为钝角，
α所以
，3sin 5α===故.3
sin 35tan 4cos 4
5ααα===--（2）原式.
sin cos sin tan αααα-+=
-+将，，代入，3sin 5α=
4cos 5α=-3tan 4α=-
得原式.
342855332754--==--18. （1）∵， ， ，
0x >0y >280x y xy +-=∴
，当且仅当时取等号，28xy x y =+
≥=28x y =
8≥∴，当且仅当时取等号，
64xy ≥416x y ==故的最小值为64.
xy （2）∵，则 ，
28x y xy +=281y x +=又∵， ，
0x >0y >
∴，
2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，
212x y ==故的最小值为18.
x y +19. （1）因为
是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326
f f =-=3326a -=解得.
1a =（2）当时，，
0x ≥()31x f x =-设，则，则，
0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故
()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x
->得，得，解得或，
33x >1x >1x <-1x >故的解集是.
()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞
20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，
2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -
+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -
+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为
.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -
≤+≤故当，即时，；
ππ236x +
=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.
ππ232x +
=π12x =max ()2f x =即，此时
；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得
，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518
141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭
即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >
，()()452lg
lg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.
73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，
410
x ->04x <<()f x (0,4)而，
4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．
()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有
()()f x g x
=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，
故在上有解．
41x a
x -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．
41a x x +=
-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，
4y x =
y x =-(0,4)所以函数
在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．
04x <<4x
x -(3,)-+∞令，解得．
13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．
(4,)-+∞法二：，即，
()()f x
g x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，
()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)
整理得到在上有解，
2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或
2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．
4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。