2015年全国统一考试全国二卷数学详细解答+教师归类点评

2015高考数学全国二卷(理)一． 选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 26002700A ．81 B ．71 C ．61 D ．517．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值 为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点， 点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）DPCBOA xa > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，a ≠ b是是否 否11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．212．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0x f x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．14．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三、解答题 17．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A BC D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．A 地区B 地区4 5 6 7 8 9（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 21．（本题满分12分） 设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22． （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．DD 1 C 1A 1 EF A BCB 1（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23c o s C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+；（Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．参考答案一、选择题 1．A解析：(2,1),A {2,1,0,1,2},A B {1,0}.B =-=--=-故 考点：（1）1.1.3集合的基本运算． 难度：A备注：高频考点 2. B解析：因为22(2)(2)2424(4)40.ai a i a i a i a a a i i a +-=-++=+-=-⇒=． 考点：（1）11.2.2复数的代数运算．GAEFONDB CM难度：A备注：高频考点 3. D 解析：选项 正误 原因A √ 由图知，2008年相对2007年二氧化硫排放量下降最多.B √ 由图知，2007年二氧化硫开始下降，效果显著.C √ 由图知，2006年以来，我国二氧化硫整体呈减少趋势. D╳由图知，2006年以来，我国二氧化硫排放量与年份呈负相关.考点：（1）10.3.1两个变量间的相关关系；（2）10.3.3线性回归分析． 难度：A备注：高频考点 4. B解析：由题意，242421351(1)3(1)21 2.a a a a q q q q q ++=++=++=⇒=2357135()42.a a a q a a a ∴++=++=考点：（1）6.3.1等比数列的基本量的计算． 难度：A备注：高频考点 5.C解析：22log 121log 622(2)(log 12)1log 4232369.f f --+=++=+=+=．考点：（1）2.1.4分段函数及其应用． 难度：A备注：高频考点 6. D解析：由题目三视图知，图中几何体为正方体中截去一个小的三棱锥，不妨设正方体边长为1，则截去三棱锥的体积111111.326V =⨯⨯⨯⨯= 116=.1516V V ∴=-截剩考点：（1）9.2.3由三视图求几何体的表面积、体积． 难度：A备注：高频考点 7. C解析：解法一 由(1,3),C(1,7)A - 则圆心在AC 中垂线2y =- 上，同理，圆心在AB中垂线35y x =- 上，联立解得圆心Q(1,-2), 5.r QA == 圆心到y 轴距离为1，由勾股定理，2224 6.MN r d =-=解法二 由(1,3),C(1,7)A - 则圆心在AC 中垂线2y =- 上，设圆心Q （a,-2）,由QA QB = 带入解得圆心Q(1,-2), 5.r QA == 圆心到y 轴距离为1，由勾股定理，2224 6.MN r d =-=考点：（1）8.3.1求圆的方程；（2）8.4.1直线与圆的位置关系.难度：B备注：高频考点 8. B解析：由程序框图为利用更相减损术求两个数的最大公约数，依次运行可求得最大公约数为2.考点：（1）11.1.3程序框图的识别及应用. 难度：B备注：高频考点 9. C解析：如图，由题意，201132ABC C OAB V V R h --==⨯⨯⨯.由题意，AOB 所在平面为球过球心平面，故C 到平面0AB 的最大距离为R,32max 13664144.6V R R S R ππ∴==⇒=⇒== BOAC考点：（1）9.2.4棱锥、棱柱的外接球与内切球问题. 难度：C备注：高频考点 、易错点 10. B解析：由题意知，当[0,],4x π∈22tan ,4tan 4,x PB PA PB x ==+=+故2(x)tan +4+tan f x x =.在[0,],4x π∈单增，且由tan y x =图像知，增长速度越来越快，故选B.考点：（1）2.8.1作图、识图、辨图； (2) 2.1.7求函数的解析式. 难度：D备注：高频考点、易错题 11. D解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：（1）8.6.3双曲线的几何性质. 难度：C备注：高频考点 12. A解析：记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x-=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：（1）3.2.2导数与函数单调性； (2) 2.3.5函数性质的综合应用;(3) 3.2.5导数与不等式.难度：D备注：高频考点、易错题二. 填空题 13. 1.2λ=解析：由a b λ+ 与2a b +平行，且向量,a b 不共线，则1211.2λλ=⇒= 考点：5.1.3平面向量的共线问题． 难度：A备注：高频考点 14.32解析：由题意，作出可行域，可得可行域三个顶点分别为1(0,1),(2,1),(1,)2-- 带入解得max 3().2x y +=考点：7.4.2求线性目标函数的最值问题． 难度：A备注：高频考点 15. 3解析：由题意，设4250125()(1)x a x a a x a x a x ++=+++，则令1x =，可得：012516(1)a a a a a +=+++，令1x =-，可得：01250a a a a =-+--，两式相减可得1358(1)32 3.a a a a a ++=+=⇒=考点：(1) 10.7.3二项式定理的应用． 难度：B备注：高频考点 16. 1n-解析：由1111111,0,1,n n n n n n n n n na S S S S S S S S S +++++=⇒-=≠⇒-=- 由111S =- ,11,n n n S S n=-∴=-.考点： (1) 6.5.2求常见数列的通项公式. 难度：C备注：高频考点 三、解答题： 17.见解析.解析：（1）ABD1S=AB ADsin ,2BAD ∠ADC1S =AC ADsin C ,2AD ∠因为ABD ACD S =2S ，BAD=CAD ∠∠，所以AB=2AC ，由正弦定理可得sin 1.sin 2B AC C AB ∠==∠(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：（1）4.6.3正、余弦定理的综合应用. 难度：A备注：高频考点 18. 见解析.解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区满意度评分比较分散. (2)记A1C 表示事件“A 地区用户满意等级为满意或非常满意”；A2C 表示事件：“A 地区用户满意等级为非常满意”； B1C 表示事件：“B 地区用户满意等级为不满意”；2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”． 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．A 地区B 地区45 6 7 8 96 81 3 6 4 32 4 5 5 6 4 23 34 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 65 11 37 5 5 21122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B PC 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=． 考点：（1）10.9.2相互独立事件的概率；（2）10.2.2茎叶图的应用;(3) 4.2.1同角三角函数的基本关系式的应用;(4) 5.3.1平面向量的数量积运算;(5) 4.6.3正、余弦定理的综合应用. 难度：B备注：高频考点 19. 见解析.解析：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM AE ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面E H G F 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515． A 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM考点：（1）9.4.1直线与平面平行的判定与性质；（2）9.8.2求直线与平面所成的角. 难度：B备注：高频考点 20. 见解析.解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即239P kmx k ±=+．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是239km k ±=+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．考点：（1）8.8.2圆锥曲线中的对称点与点差法；（2）8.5.4直线与椭圆的位置关系； (3) 8.8.9圆锥曲线与平面向量结合问题. 难度：C备注：高频考点 21. 见解析.解析：（Ⅰ）'()(1)2mxf x m ex =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1tg t e t e =--+，则'()1tg t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．考点：（1）3.2.2导数与函数单调性；（2）3.2.4导数与函数最值;(3) 3.2.5导数与不等式.难度：D备注：高频考点、易错点 22. 见解析. 解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故A D E F ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则O E A E ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．考点：（1）12.1.3相似三角形的性质；（2）12.1.5圆的切线的性质与判定. 难度：A备注：高频考点、易错点 23. 见解析.解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23cos ,)αα．所以2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：（1）12.2.1极坐标和直角坐标的互化；（2）12.2.6圆锥曲线的参数方程的应用.难度：B备注：高频考点、易错点 24. 见解析.解析：（Ⅰ）因为2()2a b a b ab +=++，2()2c d c d cd +=++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22()()a b c d +>+．因此a b c d +>+．（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d-<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ）得a b c d +>+． （ⅱ）若a b c d +>+，则22()()a b c d +>+，即2a b ab ++>2c d cd ++．因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．考点：（1）12.3.5证明不等式的基本方法；（2）11.3.5分析法. 难度：B备注：高频考点、易错点。