2022-2023学年全国高中高三上数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高三上数学月考试卷
考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 已知集合，，则 A.B.C.D.
2. 的展开式中的常数项为 A.B.C.D.
3. 甲、乙两名同学在次数学考试中，成绩统计后用如图所示的茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成
绩分别用，表示，则下列结论正确的是A.，且甲比乙成绩稳定B.，且乙比甲成绩稳定C.，且甲比乙成绩稳定M ={x|−x −12>0}
x 2N ={x|−4<x <5}M ∩N =()R
(−3,4)
(4,5)
(−4,−3)∪(4,5)
x(1−)1x
−√5()
−5
5
−10
10
6x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙( )>x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙
>x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙
=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙
=¯¯¯¯¯
¯
D.，且乙比甲成绩稳定
4. 已知是角的终边上的点，则 A.
B.C.D.
5. 在 中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，.若，，，则的最小值为( )
A.B.C.D.
6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是( )
A.B.C.D.
7. 将甲、乙等位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ）=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙
P(3,4)αcos(π+α)=()
453
5
−3
5
−
4
5△ABC P =3BP −→−PC −→−P AB AC M N =λAM −→−AB −→−=μAN −→−AC −→−(λ>0,μ>0)λ+μ+13–√2
+12–√2
32
52
(0,+∞)y =x 3
y =|x |+1
y =−+1
x 2y =2|x|
5
A.种
B.种
C.种
D.种
8. 某班主任对全班名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示，则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )
分类认为作业多认为作业不多总数
喜欢玩电脑游戏不喜欢玩电脑游戏
总数参考公式：.
A.B.C.D.
9. 已知等比数列的各项均为正数，满足，
，记等比数列的前项和为，则当取得最大值时，( )
A.或
B.或
C.或
D.或
10. 如图，面积为的矩形中有一块阴影部分，若往矩形中随机投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个，则据此估计阴影部分的面积为（ ）A.B.C.2401801505405018927
81523262450
=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)99%
95%
90%
97.5%
{}a n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418
a n n T n T n n =89
910
1011
1112
4ABCD ABCD 1000ABCD 6001.2
1.4
1.6
D.
11. 已知函数为奇函数，则( )A.B.C.D.
12. 已知函数若方程 有四个不等的实数根，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.卷II （非选择题）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 若复数（为虚数单位），则的模为________．
14. 学校要求用种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．则该板报有_________种书写方案．（用数字填写答案）
15. 某学校早上开始上课，假设小王和小马在早上之间到校，且每人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则小王比小马至少早分钟到校的概率为________．
16. 已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过的所
1.8
f (x)=
+1−a
2x 12a =−2
−1
1
f(x)= ，x >0，1+2ln x x −4x −2，x <0，
x 3f(x)=ax a (−1,1)
(0,1)
(1,+∞)
(，e)1e z =
1−2i 3−i
i z 68:308:00−−8:205{}a n n S n =2+2S 2a 1=4a 5a 3{}a n 2021
有项的和为________．
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ） 17. 已知是递增的等比数列，，且成等差数列．求数列的通项公式；设．求数列的前项和. 18. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别
记录了年月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下表：
日 期月日月日月日月日月日
温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.
求选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率；
若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性
回归方程，并预报当温差为时，种子发芽数.附：回归直线方程：，其中，． 19. 已知函数.
求的最小正周期；
求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
20. 已知函数.
讨论的单调性；
若有三个零点，求的取值范围．
21.
已知函数讨论函数的单调性.
若恒成立，求实数的取值范围.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程，
{}a n =1a 12,,a 232
a 3a 4(1){}a n (2)=,n ∈
b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+2N ∗{}b n n S n 2019121125100121122123124125x C)(∘101113128
y 2325302616
23(1)22(2)121125122124y x =x +y ˆb ˆa
ˆC 14∘=x +y ˆb ˆa ˆ=
b ˆ−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x i 2x ¯¯¯2=−a ˆy ¯¯¯b ˆx
¯¯¯f(x)=sin x ⋅cos x −x +(x ∈R)3–√cos 23–√2
(1)f(x)(2)f(x)f (x)=−kx +x 3k 2(1)f (x)(2)f (x)k f(x)=2ln x +(a −1)x +1，a ∈R.(1)f(x)(2)g(x)=−f(x)≥0
x 2e 2x a xOy C 1{
x =t cos α,y =1+t sin α
t O x C 2+8ρcos θ+4ρsin θ+16=0ρ2C 2(0,1)C C A |PA|+|PB|=10C
（2）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程． 23. 已知函数．
（1）当时，求不等式解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
P (0,1)C 1C 2A B |PA|+|PB|=10
C 1f(x)=|x +a|+|x +2|(a ∈R)a =−1f(x)≥5f(x)≤|x +4|[0,2]a
参考答案与试题解析
2022-2023学年全国高三上数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵或，
，
∴.
故选.2.
【答案】
D
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 的展开式为：,
令，则，
故所求常数项为.
故选.
3.
【答案】M ={x|−x −12>0}={x|x <−3x 2x >4}N ={x|−4<x <5}M ∩N =(−4,−3)∪(4,5)D x(1−)1x −√5
x ⋅(−=(−1C r 515−r 1
x
−√)r )r C r 5x 1−r 2
1−=0r 2r =2(−1=10)2C 25D
茎叶图
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数、百分位数
【解析】
根据平均数和方差的定义进行计算即可求解．
【解答】
解：学生甲的平均成绩，学生乙的平均成绩.又，，则，，即乙的成绩更稳定.故选．
4.【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
诱导公式
【解析】
利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得的值．
【解答】
解：∵是角的终边上的点，∴，则.
故选.
5.【答案】==82x ¯¯¯甲68+76+79+86+88+956==82x ¯¯¯乙71+75+82+84+86+946=×[++s 2甲
16(68−82)2(76−82)2(79−82)2+++]=77(86−82)2(88−82)2(95−82)2=×[++s 2乙16(71−82)2(75−82)2(82−82)2+++]=(84−82)2(86−82)2(94−82)21673=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙>s 2甲s 2乙
D cos(π+α)P(3,4)αcos α=
35cos(π+α)=−cos α=−35C
向量的共线定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵，∴,
∴,
∵,，
∴,
∵三点共线,
,
.
当且仅当,即时等号成立.
∴ 的最小值为.
故选.
6.
【答案】
C
【考点】=3BP −→−PC −→−
−=3(−)AP −→−AB
−→−AC −→−AP −→−
=+AP −→−14AB −→−34AC −→−=λAM −→−AB −→−=μ
AN −→−AC −→−
=+AP −→−14λAM −→−34μ
AN −→−P,M,N ∴+=114λ34μ∴λ+μ=(λ+μ)(+)
14λ34μ=+++1434μ4λ3λ4μ
≥1+2⋅μ4λ3λ4μ
−−
−−−−−
√=1+2×3
–√4
=1+3
–√2=μ4λ3λ4μλ=,μ=1+3–
√43+3
–√4
λ+μ+13
–√2A
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性和单调性的定义结合函数的性质进行判断即可．
【解答】
解：，是奇函数，不满足条件，故错误；
，是偶函数，
当时，单调递增，不满足条件，故错误；
，是偶函数，且在上单调递减，满足条件，
故正确；
，是偶函数，当时，单调递增，不满足条件，
故错误.
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
独立性检验
【解析】
根据条件中所给的计算出的观测值的数据，把观测值同临界值进行比较，得到认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为．
【解答】
解：由题意，得，则，A y =x 3A B y =|x |+1x >0y =x +1B C y =−+1x 2(0,+∞)C D y =2|x|x >0y =2x D C 1−0.025=97.5%=≈5.059K 250×(18×15−8×9)227×23×24×26P(≥5.024)=0.025K 2
所以认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为
.
故选.
9.
【答案】
C
【考点】
等比中项
等差数列的前n 项和
【解析】
根据，推断出，进而表示出和，联立方程求得公比，进而根据等比数列的通项公式求得，进而求得，然后令求得的范围，答案可得．
【解答】
解：∵，
，∴可得，，，.
时，，
或时，取得最大值.
故选10.
【答案】
C
【考点】
模拟方法估计概率
【解析】
根据若往矩形投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个可估计落在阴影部分的概率，而落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积与矩形的面积比，从而可求出所求．
【解答】
解：根据几何概率的计算公式可得，向距形内随机投掷个点，落在矩形的非阴影部分中的点数为个，则落在矩形的阴影部分中的点数为个，
设阴影部分的面积为，落在阴影部分为事件，
∴落在阴影部分的概率，解得．故选．11.
1−0.025=97.5%D =lg b n a n =a n 10b n a 3a 6q a n b n ≥0b n n ⋅=16a 2a 16=+a 6a 7+a 3a 418=4a 9q =
12∴=2a 10=1a 11n >12<1a n ∴n =10n =11T n C.ABCD 1000ABCD 6001000ABCD 600ABCD 400S A P(A)=
=4001000S 4
S =1.6C
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
根据奇函数求解即可得答案．
【解答】解：因为函数为奇函数，所以,所以,整理得： ，
解得.
故选.
12.【答案】B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：方程有四个不等的实数根，等价于的图象与直线 有个交点，①当 时，，易知在上单调递增，在上单调递减，
②当 时，，易得在上单调递减，在上单调递增，
综合①②得 的图象与直线 的图象的位置关系如图所示：
f (−x)+f (x)=0
f (x)=
+1−a 2x 12f (−x)=+=+1−a 2−x 122x 1−a ⋅2x 12f (x)+f (−x)=+++=02x 1−a ⋅2x 121−a 2x 12
−2a ⋅+1−a +(+1)−a =0
()2x 22x ()2x 2a 22x a =1D f(x)=ax y =g(x)= ,2ln x +1x 2−−4,x 22x x >0,x <0,y =a 4x >0(x)=g ′−4ln x x 3
y =g(x)(0,1)(1,+∞)x <0(x)=2x +=g ′2x 22(+1)x 3x 2
y =g(x)(−∞,−1)(−1,0)y =g(x)y =a
则实数的取值范围是 .
故选.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计
20分 ）
13.
【答案】
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
直接利用复数的模运算法则化简求解即可．
【解答】
解：复数（为虚数单位），
则．
a 0<a <1B 2
–√2
z =1−2i
3−i i |z |=||
1−2i
3−i =|1−2i ||3−i |
=+(−212)
2−−
−−−−−−−√+(−132)2−−
−−−−−−−√=5
–√10
−−√=2
–√2–√
故答案为：．14.
【答案】
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：数学天地有种颜色，理综世界有种颜色，语文学院有种颜色，英语角有种颜色，则一共有种书写方案.
故答案为：.
15.
【答案】
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
16.
【答案】
【考点】
等比数列的前n 项和
等比数列的性质
【解析】2–√2600
65546×5×5×4=6006002046
此题暂无解析
【解答】
解：设的公比为，
由已知得解得，
所以，
令，则，
解得，
所以数列中的前项的和为：
．故答案为：．
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）
17.
【答案】
解：设数列}的公比为，
由题意及，知．
，，成等差数列，∴ ，
，即．
解得或（舍去）．
．
数列的通项公式为．∵ ，
．【考点】
数列的求和
等比数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
求等比数列的通项公式，较简单.
暂无
【解答】{}a n q (q >0){(1+q)=2+2，a 1
a 1≥4,
a 1q 4a 1q 2=q =2a 1=a n 2n <2021a n <20212n n ≤10{}a n 102++++⋯+=222324210=20462(1−)2101−22046(1){a n q =1a 1q >1∵2a 232a 3a 43=+2a 3a 4a 2∴3=+2q q 2q 3−3q +2=0q 2q =2q =1∴q =2∴{}a n =a n 2n−1(2)===−
b n 1⋅log 2a n+1log 2a n+21n (n +1)1n 1n +1∴=(1−)+(−)+⋯+(−)S n 1212131n 1n +1=1−1n +1=n n +1
(1){
解：设数列}的公比为，由题意及，知．
，，成等差数列，∴ ，
，即．
解得或（舍去）．
．
数列的通项公式为．
∵ ， ．18.
【答案】
解：设抽到不相邻两组数据为事件，
则事件包括，，，，，，，，，，从组数据中选取组数据共有种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，
所以.
由数据，求得：，，由公式，求得，；∴关于的线性回归方程为.当时，.【考点】
古典概型及其概率计算公式
求解线性回归方程
【解析】(1){a n q =1a 1q >1∵2a 232
a 3a 43=+2a 3a 4a 2∴3=+2q q 2q 3−3q +2=0q 2q =2q =1∴q =2∴{}a n =a n 2n−1(2)===−
b n 1
⋅log 2a n+1log 2a n+2
1n (n +1)1n 1n +1∴=(1−)+(−)+⋯+(−)S n 1212131n 1n +1
=1−
1n +1=n n +1
(1)A (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)52104P(A)=1−
=41035(2)==12x ¯¯¯10+11+13+12+85=27y ¯¯¯23+25+30+26+165=b ˆ52=−a =−3a ˆy ¯¯¯x ¯¯¯y x =x −3y ˆ52x =14=32y
ˆ
此题暂无解析
【解答】
解：设抽到不相邻两组数据为事件，
则事件包括，，，，，，，，，，从组数据中选取组数据共有种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，
所以.
由数据，求得：，，由公式，求得，；∴关于的线性回归方程为.当时，.19.
【答案】解：∵，的最小正周期为：.由，可得对称轴为，，由，可得对称中心为，.【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的对称性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
（1）用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据求得最小正周期．(1)A (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)52104P(A)=1−
=41035(2)==12x ¯¯¯10+11+13+12+85=27y ¯¯¯23+25+30+26+165=b ˆ52=−a =−3a ˆy ¯¯¯x ¯¯¯y x =x −3y ˆ52x =14=32y ˆ(1)f(x)=sin x ⋅cos x −x +3–√cos 23–√2=sin 2x −×+123–√cos 2x +123–√2=sin 2x −cos 2x 123–√2=sin(2x −)π3∴f(x)T ==π2π2(2)2x −=+kππ3π2x =+5π12kπ2k ∈Z 2x −=kππ3(+，0)π6kπ2
k ∈Z T =2πw
x −=+kπ
ππx −=kππ
（3）由正弦函数的对称性可知，利用求得函数的对称轴，由求得对称中心．
【解答】解：∵，的最小正周期为：.由，可得对称轴为，，由，可得对称中心为，.20.
【答案】
解：由题意可得，定义域为，.
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，，
当时，即，解得或，则在或上单调递增，在上单调递减.由可知，当时，不可能有三个零点，故舍去；要使得有三个零点，则，，且，即解得.【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的单调性
2x −
=+kππ3π22x −=kππ3
(1)f(x)=sin x ⋅cos x −x +3–√cos 23–√2=sin 2x −×+123–√cos 2x +123–√2=sin 2x −cos 2x 123–√2=sin(2x −)π3∴f(x)T ==π2π2(2)2x −=+kππ3π2x =+5π12kπ2k ∈Z 2x −=kππ3(+，0)π6kπ2k ∈Z (1)R (x)=3−k f ′x 2k ≤0(x)>0f ′f (x)R k >0(x)=3−k f ′x 2(x)>0f ′3−k >0x 2x <−k 3−−√x >k 3−−√f(x)(−∞,−)k 3−−√(,+∞)k 3−−√f(x)(−,)k 3−−√k 3−−√(2)(1)k ≤0f (x)f (x)f(−)>0k 3−−√f()<0k 3−−√k >0 (−−k ⋅(−)+>0，k 3−−√)3k 3−−√k 2(−k ⋅()+<0，k 3−−√)3k 3−−√k 2k >0,0<k <427
【解析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】
解：由题意可得，定义域为，.
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，，
当时，即，解得或，则在或上单调递增，在上单调递减.由可知，当时，不可能有三个零点，故舍去；要使得有三个零点，则，，且，即解得.21.
【答案】
解：定义域为，当时，恒成立，所以的递增区间为；当时，令得，所以的递增区间为；令得，所以的递减区间为.综上当时，在上递增，
当时，在递减，在递增.恒成立，即恒成立，(1)k (2)k (1)R (x)=3−k f ′x 2k ≤0(x)>0f ′f (x)R k >0(x)=3−k f ′x 2(x)>0f ′3−k >0x 2x <−k 3−−√x >k 3−−√f(x)(−∞,−)k 3−−√(,+∞)k 3−−√f(x)(−,)k 3−−√k 3−−√(2)(1)k ≤0f (x)f (x)f(−)>0k 3−−√f()<0k 3−−√k >0 (−−k ⋅(−)+>0，k 3−−√)3k 3−−√k 2(−k ⋅()+<0，k 3−−√)3k 3−−√k 2k >0,0<k <427(1)f(x)(0,+∞),(x)
=f ′(a −1)x +2x a ≥1(x)≥0f ′f(x)(0，+∞)a <1(x)>0f ′0<x <21−a f(x)(0,)21−a (x)<0f ′x >21−a f(x)(,+∞)21−a
a ≥1f(x)(0，+∞)a <1f(x)(,+∞)21−a (0,)21−a (2)g(x)=−2ln x −(a −1)x −1≥0
x 2e 2x a −1≤−2ln x −1x 2e 2x x
(x)=−2ln x −1
22x
令，
设，则，
易知当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以当且仅当时等号成立.
所以，
当且仅当时等号成立，
易知存在唯一
使其成立，所以所以，得.
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：定义域为，当时，恒成立，所以的递增区间为；当时，令得，
所以的递增区间为；
令得，
所以的递减区间为.
综上当时，在上递增，当时，在递减，
在递增.
恒成立，即恒成立，
令，
设，则，
易知当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以当且仅当时等号成立.
所以，
当且仅当时等号成立，h(x)=−2ln x −1
x 2e 2x x k(x)=−x −1e x (x)=−1k ′e x x <0(x)<0,k(x)k ′x >0(x)>0,k(x)k ′k(x)≥k(0)=0≥x +1
e x x =0=≥2x +2ln x +1x 2e 2x e 2x+2ln x 2ln x =−2x x h(x)≥=2
2x +2ln x +1−2ln x −1x a −1≤2a ≤3(1)f(x)(0,+∞),(x)=f ′(a −1)x +2x a ≥1(x)≥0f ′f(x)(0，
+∞)a <1(x)>0f ′0<x <21−a f(x)(0,)2
1−a (x)<0f ′x >2
1−a f(x)(,+∞)2
1−a a ≥1f(x)(0，+∞)a <1f(x)(,+∞)2
1−a (0,)2
1−a (2)g(x)=−2ln x −(a −1)x −1≥0x 2e 2x a −1≤−2ln x −1x 2e 2x x h(x)=−2ln x −1x 2e 2x x k(x)=−x −1e x (x)=−1k ′e x x <0(x)<0,k(x)k ′x >0(x)>0,k(x)k ′k(x)≥k(0)=0≥x +1
e x x =0=≥2x +2ln x +1x 2e 2x e 2x+2ln x 2ln x =−2x
易知存在唯一使其成立，
所以所以，得.
22.
【答案】
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
【解答】
23.
【答案】
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答x h(x)≥=2
2x +2ln x +1−2ln x −1x a −1≤2a ≤3。