如何确定不等式恒成立的参数的取值范围
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弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋 弋
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等比数列 ． ｎ 一 ．１ 一ｌ（ ） １ １ ａ 一２ ｇ ｇ ｇ ｚ
．
・
．
．口 ： ＝ 口 ＝
．
一
【 ８ 在数 列 ｛ｎ 中， ， 一５ 例 】 ６ ｝ ｂ一７ ｂ ｂ ＋２・３ ４ 求数列 ｛ 的通项公式． ， ｎ） 分析 ： 为使 原递 推式两 端项 数 相 同， 并满 足 同一 对
＞Ｏ ’ 或 。 ’ 或 ＜０
成立 ， 以 ｚ １依一次 函数 的性质可知 ， 所 ≠ ， 只要
ｒ ｚ一 １ Ｏ’ ＞
零 的 充 要 条 件 是：
Ｉ （ ＞ｏ ｆｍ）
Ｉ（） ｎ＞ｏ
１｛一 （ １ （ ２ １ ｏ 厂 ）１－ ＋ ￣ｘ ） （ ｘ ）ｘ ＋ ＞ －
ｒ ． ｒ一 】 Ｏ， ＜
应关系 ， 可知左端 应 添加 含 ３ 的项及 常数 项 ， 故需设 两个待定系数 ，ｚ将 原递推式进行 恒等变形． ，
解 ： ＋ ・ ” ＋ —５ ２・３ ＋． ３ ＋ ６ ３ ２ ｂ＋ ： Ｌ １。
Ａ － ４ ５ ｂ ＋ ２ ＝ （ ・ ３ ＋ ＋ ） ．
列 ． 得 ＋ ３ 一 １ １ 易 — ５・５ ， 即 一 ３・５ 一３ ＋ ” 井
１ ．
．
． 一 ÷ ２ 一（）］ ｎ ６ ）一 （ 吉 ６ ． 吉
１
，
于 ｛ ６ ） 是 ａ ６ ） ～ 为 待定 系数 ， 的需设 两个待 定 系数 ， 为等 比数 列 ， 是ｎ （ ｝以 （ 詈 首 １ － 一丢一 有 转化 使
解 ： － 一 设 厂 ） （
Ｎ），
‘ ．
＋
＋ … ＋ （ ２且 Ｃ ≥ －
‘ ｎ Ｆ ） ｆ（ ） ｆ（ － １ － ｎ
“
“
“
（ ） ｚ ． Ⅱ 点评 ： 在正项数列 中， 形如 （ ） 一ｇ ）， （ ｒ 可通过 取对数化为线性递推 式 ａ＋ 一 ｎｌ ＋ ， 再构 造一 个新的
等 比 数 列 ， 问题 顺 利得 到 解 决． 使
【 ７ 数列 ｛ｎ中，。 ，ｎ 井 一 １ｎ ＋ （ ）州 ， 例 】 ａ｝ 口一 ５ ｎ
项，
点评 ： 为使原 递推 式 两边 项数 相 同， 的 需设 一个 有
且 ６ ）一 号 一（ 一 ・ 丢１
问题 得 到 解 决．
（ 责任 编辑 金 铃）
（）， ＝ （）一÷ ］ 一即 ６厶 １ ｏ ． １ ［ （）
３ ０
ｆ 学 ｏ 第期 学 参中 叫 总。 教 考旬 ‘ ８
一 ｛ ｏ对于 一厂 ’ ＋６恒小 于零 的条 件亦 ）。 ｒ ）０ ，＞ （＞ 小
．
或 １
．
厂 ４ 一 ４ ｚ １ ＋ （ 一 ２ ＋ １ ＞ ０， （） （一 ） ｘ ）
可类似给出） ．
故 ｚ ｌ ｚ 一３ ＞ 或 ＜ ．
【 １ 已知满足 户 ｓ ４ ，ＥＥ一， ］ 例 】 一４ｉ ａａ － 的所有实 ｎ － ｊ 数 Ｐ 不等式 ＋ ＋１ ｚ ， ＞２ ＋ 恒成立 ， ｚ的取值范围． 求
中学 教 学 参 考
解 题方 法与 技巧 一
如 何 确 定 不 等 式 恒 成 立 的 参 的 取 值 范 围 数
广 西博 白县 第三 高级 中学 （３６０ 李 ５ ７０ ）
确定不等式恒成立 的参数 的取值 范围 ， 中学 数学 是
的难 点之 一 ， 是 学 习 的 重 点 ， 而 ， 样 确 定 其 取 值 范 也 然 怎 围 呢 ？本 文 就 此类 问题 的几 种 基 本 解 法 加 以 论 述 ．
一
灏
４ｉ４，Ｅ［ ，］ ｓ ａａ ４． ｎ
现 在 考 察 关 于 Ｐ的 一 次 函 数 （ ） （ 一 １户＋ （ 户一 ｚ ）
一
、
利 用 一 次 函数 的性 质
２ ＋１ 恒为正 的条件 ： ｚ ） 显然 ， ｚ 当 一１时 ， （ ） Ｏ不 厂 户＞
一
次函数 一－ ｚ ＝ｎ ＋６ ｚＥ Ｅ ］ 厂 ） ｚ 在 （ ｍ， 上恒 大于
为使 ｂ 。 ． ｎ ＋ 。 ６＋坠 ． ” 十 ＋ 。 ３ｚ 与 ＋ ＋ 丝 ３ ＋
解由 ＋吉 形 ｎ＋（） ：。一 （） 为 １ 变 号 ＝ ｎ （）＋（）一 （ 专‘）一 吉 ． １ ） ＋ ÷１ １＋ ＋ ｌ 十 ｎ ｔ １ 扣 （ －（）］ ｑ １￣１ ． －ｑ） Ｓ－
解 ： ａ ｇ ， ］ ｓ ∈ １ １ ， 而 有 Ｐ一 由 ∈［一 知 ｉ － ｍ ］从
，
故 一 Ｅ 寺， 恒有厂ｐ＞０ 的 值 对于 切ｐ ［ ４ ］ （） 的ｚ 取
范 围 是 ｛＇ ＞ ｌ或 ＜ 一３ ． ５Ｉ ７ｘ － ｝
说 明 ： 不 等 式 恒成 立 的 问题 中， 在 若主 元 （ 参 数 ） 或
设 ＝（＋） 得一 ６ ３ １解 一． 专 ，
・
丝 满足 （ ） ． ＋ 的对应关系 令 一 一ｎ ＋ ３
．
，
，
解 得
１ ，
＿１ ．
‘ ． ．
ｂ ＋３ 一１ （ ３ 一１ ， —５ ６＋ ） 于是 数列 ｛ 十
３ 一１ 是以 ｂ＋３ 一１ ５为首项 ， 为公 比的等 比数 ｝ —１ ５
Ｚ Ｈ０ＮＧ Ｅ Ｊ Ａ ｌＥ Ｃ ＫＡＯ ＸＵ Ｉ ＯＸ Ｊ ＡＮ
能变为一次形式 ， 则可以利用一次 函数的性质来解．
二 、 集 比较 法 解 集 合 Ａ 上恒 成 立 的 不 等 式 意 即 不 等 式 的解 集 以 Ａ 为 子 集 ． 此 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 并 研 究 集 合 间 的 包 据 可
弋 弋
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等比数列 ． ｎ 一 ．１ 一ｌ（ ） １ １ ａ 一２ ｇ ｇ ｇ ｚ
．
・
．
．口 ： ＝ 口 ＝
．
一
【 ８ 在数 列 ｛ｎ 中， ， 一５ 例 】 ６ ｝ ｂ一７ ｂ ｂ ＋２・３ ４ 求数列 ｛ 的通项公式． ， ｎ） 分析 ： 为使 原递 推式两 端项 数 相 同， 并满 足 同一 对
＞Ｏ ’ 或 。 ’ 或 ＜０
成立 ， 以 ｚ １依一次 函数 的性质可知 ， 所 ≠ ， 只要
ｒ ｚ一 １ Ｏ’ ＞
零 的 充 要 条 件 是：
Ｉ （ ＞ｏ ｆｍ）
Ｉ（） ｎ＞ｏ
１｛一 （ １ （ ２ １ ｏ 厂 ）１－ ＋ ￣ｘ ） （ ｘ ）ｘ ＋ ＞ －
ｒ ． ｒ一 】 Ｏ， ＜
应关系 ， 可知左端 应 添加 含 ３ 的项及 常数 项 ， 故需设 两个待定系数 ，ｚ将 原递推式进行 恒等变形． ，
解 ： ＋ ・ ” ＋ —５ ２・３ ＋． ３ ＋ ６ ３ ２ ｂ＋ ： Ｌ １。
Ａ － ４ ５ ｂ ＋ ２ ＝ （ ・ ３ ＋ ＋ ） ．
列 ． 得 ＋ ３ 一 １ １ 易 — ５・５ ， 即 一 ３・５ 一３ ＋ ” 井
１ ．
．
． 一 ÷ ２ 一（）］ ｎ ６ ）一 （ 吉 ６ ． 吉
１
，
于 ｛ ６ ） 是 ａ ６ ） ～ 为 待定 系数 ， 的需设 两个待 定 系数 ， 为等 比数 列 ， 是ｎ （ ｝以 （ 詈 首 １ － 一丢一 有 转化 使
解 ： － 一 设 厂 ） （
Ｎ），
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＋ … ＋ （ ２且 Ｃ ≥ －
‘ ｎ Ｆ ） ｆ（ ） ｆ（ － １ － ｎ
“
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（ ） ｚ ． Ⅱ 点评 ： 在正项数列 中， 形如 （ ） 一ｇ ）， （ ｒ 可通过 取对数化为线性递推 式 ａ＋ 一 ｎｌ ＋ ， 再构 造一 个新的
等 比 数 列 ， 问题 顺 利得 到 解 决． 使
【 ７ 数列 ｛ｎ中，。 ，ｎ 井 一 １ｎ ＋ （ ）州 ， 例 】 ａ｝ 口一 ５ ｎ
项，
点评 ： 为使原 递推 式 两边 项数 相 同， 的 需设 一个 有
且 ６ ）一 号 一（ 一 ・ 丢１
问题 得 到 解 决．
（ 责任 编辑 金 铃）
（）， ＝ （）一÷ ］ 一即 ６厶 １ ｏ ． １ ［ （）
３ ０
ｆ 学 ｏ 第期 学 参中 叫 总。 教 考旬 ‘ ８
一 ｛ ｏ对于 一厂 ’ ＋６恒小 于零 的条 件亦 ）。 ｒ ）０ ，＞ （＞ 小
．
或 １
．
厂 ４ 一 ４ ｚ １ ＋ （ 一 ２ ＋ １ ＞ ０， （） （一 ） ｘ ）
可类似给出） ．
故 ｚ ｌ ｚ 一３ ＞ 或 ＜ ．
【 １ 已知满足 户 ｓ ４ ，ＥＥ一， ］ 例 】 一４ｉ ａａ － 的所有实 ｎ － ｊ 数 Ｐ 不等式 ＋ ＋１ ｚ ， ＞２ ＋ 恒成立 ， ｚ的取值范围． 求
中学 教 学 参 考
解 题方 法与 技巧 一
如 何 确 定 不 等 式 恒 成 立 的 参 的 取 值 范 围 数
广 西博 白县 第三 高级 中学 （３６０ 李 ５ ７０ ）
确定不等式恒成立 的参数 的取值 范围 ， 中学 数学 是
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一
灏
４ｉ４，Ｅ［ ，］ ｓ ａａ ４． ｎ
现 在 考 察 关 于 Ｐ的 一 次 函 数 （ ） （ 一 １户＋ （ 户一 ｚ ）
一
、
利 用 一 次 函数 的性 质
２ ＋１ 恒为正 的条件 ： ｚ ） 显然 ， ｚ 当 一１时 ， （ ） Ｏ不 厂 户＞
一
次函数 一－ ｚ ＝ｎ ＋６ ｚＥ Ｅ ］ 厂 ） ｚ 在 （ ｍ， 上恒 大于
为使 ｂ 。 ． ｎ ＋ 。 ６＋坠 ． ” 十 ＋ 。 ３ｚ 与 ＋ ＋ 丝 ３ ＋
解由 ＋吉 形 ｎ＋（） ：。一 （） 为 １ 变 号 ＝ ｎ （）＋（）一 （ 专‘）一 吉 ． １ ） ＋ ÷１ １＋ ＋ ｌ 十 ｎ ｔ １ 扣 （ －（）］ ｑ １￣１ ． －ｑ） Ｓ－
解 ： ａ ｇ ， ］ ｓ ∈ １ １ ， 而 有 Ｐ一 由 ∈［一 知 ｉ － ｍ ］从
，
故 一 Ｅ 寺， 恒有厂ｐ＞０ 的 值 对于 切ｐ ［ ４ ］ （） 的ｚ 取
范 围 是 ｛＇ ＞ ｌ或 ＜ 一３ ． ５Ｉ ７ｘ － ｝
说 明 ： 不 等 式 恒成 立 的 问题 中， 在 若主 元 （ 参 数 ） 或
设 ＝（＋） 得一 ６ ３ １解 一． 专 ，
・
丝 满足 （ ） ． ＋ 的对应关系 令 一 一ｎ ＋ ３
．
，
，
解 得
１ ，
＿１ ．
‘ ． ．
ｂ ＋３ 一１ （ ３ 一１ ， —５ ６＋ ） 于是 数列 ｛ 十
３ 一１ 是以 ｂ＋３ 一１ ５为首项 ， 为公 比的等 比数 ｝ —１ ５
Ｚ Ｈ０ＮＧ Ｅ Ｊ Ａ ｌＥ Ｃ ＫＡＯ ＸＵ Ｉ ＯＸ Ｊ ＡＮ
能变为一次形式 ， 则可以利用一次 函数的性质来解．
二 、 集 比较 法 解 集 合 Ａ 上恒 成 立 的 不 等 式 意 即 不 等 式 的解 集 以 Ａ 为 子 集 ． 此 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 并 研 究 集 合 间 的 包 据 可