北师版数学高一-2.3素材 利用单调性解答高考题

利用单调性求解高考题
函数的单调性是函数的重要性质之一，在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明、反函数等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及，下面就近两年的高考题举例分析.
一、利用单调性求函数定义域
此类题型主要考查利用单调性求有具体表达式的复合型函数的定义域.解题策略是利用内层函数的单调性解使表达式有意义的不等式，从而求得定义域.
例1(2006湖南·理科)函数y ＝log 2x －2的定义域是( )
A.(3,+∞)
B.[3, +∞)
C.(4, +∞)
D.[4, +∞)
解析：由log 2(x －2)≥0根据对数函数的单调性得x －2≥1，∴x ≥1，故选D.
二、利用单调性解不等式
此类题型主要考查以函数为背景的有关不等式.解答的策略是首先确定函数的单调性，然后利用单调性进行转化求解.
例2(2005年重庆·文理科)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x 的取值范围是 （ ）
A ．(-∞,2)
B ．(2,+∞)
C ．(-∞,-2)∪(2,+∞)
D ．（－2，2）
解析：∵f(2)=0且f(x)为偶函数，∴f(-2)=0，又∵f(x)在(-∞,0]递减，∴f(x)在(-2,0]递减，对于x ∈(-2,0]必有f(x)＜ 0，由对称性得对于x ∈[0,2)必有f(x)＜0，∴使得f(x)＜0的范围是(-2,2)，故选D.
例3(2006山东高考)设f(x)＝⎩⎨⎧ 2e x －1 x ＜2log 3(x 2－1) x ≥2
,则不等式f (x )＞2的解集为( ) A.（1，2）∪（3，+∞）
B （10，+∞）
C （1，2）∪（10，+∞）
D （1，2）
解析：不等式价于()⎩⎨⎧ x ＜22e x －1＞2或⎩⎨⎧ x ≥2log 3(x 2－1)＞2，此两个不等式的解集分别为1＜x ＜2或x ＞10，故选C.
三、利用单调性判断函数值的大小
此类题型主要考查利用基本函数的单调性、单调区间、图象，比较数或式的值的大小.解答过程要注意将两个自变量取值利用函数的性质及题设条件转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性进行比较．对于含有参数的问题，属性必要时要进行合理的分类讨论.
例4(2006浙江理科)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则
A.1＜n ＜m
B.1＜m ＜n
C.m ＜n ＜1
D.n ＜m ＜1
解析：由0＜a ＜1，知y ＝log a x 在[0，＋∞)为递减，所以又由log a m ＜log a n ＜0，得1＜n ＜m ，故选A.
例4(2005天津·文科)设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，则下面正确的结论是( )
A.f(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5)
B.f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)
C.f(6.5)＜f(3.5)＜f(1.5)
D.f(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5)
解析：f(x)是以6不周期的函数，∴f(x)=f(x+6)，∴f(6.5)=f(0.5+6)=f(0.5)， 又f(x)的图象关于x=3对称，∴f(x)=f(6-x)，∴f(3.5)=f(6-3.5)=f(2.5)，
又f(x)在(0,3)上单减，∴f(2.5)＜f(1.5)＜f(0.5)，∴f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)，故选B.
例5(2004福建·文科)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f(x)＝x －2，则（ ）
A ．f(sin 12)＜f(cos 12)
B ．f(sin π3)＞f(cos π3
) C ．f(sin1)＜f(cos1) D ．f(sin 32)＞f(cos 32
) 解析：∵f(x)＝f(x+2)，∴f(x)是周期函数且2为它的一个周期，
又f(x)是偶函数，由f(x)在区间[3，4]上是增函数知，f(x)在区间[－1，0]上是增函数，f(x)在区间[0,1]上是减函数，
∵0＜sin 12＜cos 12＜1，∴f(sin 12)＞f(cos 12)；1＞sin π3＞cos π3
＞0， ∴f(sin π3)＜f(cos π3
)；1＞sin1＞cos1＞0，∴f(sin1)＜f(cos1)； ∵1＞sin 32＞cos 32＞0，∴f(sin 32)＜f(cos 32
)，故选C. 四、利用单调性求解函数最值问题
此类题型主要考查已知函数在某区间的最值情况，求参数的值，其解答策略是首先确定函数的单调性，再根据单调区间的端点的值确定最值，建立方程进行求解.
例6(2004年天津高考题)若函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝( ) A.24 B. 22 C. 14 D.12 解析：函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)在区间[a,2a]上的最大值为log a a ，最小值为
log a (2a)，则
log a a ＝3log a (2a)，即a ＝(2a)3，解得a ＝24
，故选A. 例8(2004年湖北·理科)函数f(x)＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
D ．4 解析：∵y ＝a x 与log a (x ＋1)的单调性相同，∴函数f(x)＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调函数，
当a ＞1时，f(0)是最小值，f(1)是最大值；当0＜a ＜1时，f(0)是最大值，f(1)是最小值，
故f(0)＋f(1)＝a ，即a 0+log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12
，故选B.
五、利用函数的单调性求参数的范围
此类题型主要考查已知函数的单调性，求参数的范围.解题策略是根据函数的单调性及区间的端点值建立不等式(或组)进行求解.
例10(2004年湖南·文科)若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1
在区间[1，2]上都是减函
数，则a 的值范围是( ）
A ．(–1，0)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(0，1]
C ．（0，1）
D ．(0，1] 解析：f(x)=－x 2＋2ax ＝－(x －a)2＋a 2在[1,2]上是减函数的条件是a ≤1，又g(x)＝a x+1
在区间[1,2]上是减函数的条件是a ＞0，故0＜a ≤1，应选D.
例1 1(2004上海)若函数f(x)＝a|x －b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是______.
解析：考查函数的性质及分段函数的概念，f(x)=⎩⎨⎧ ax-ab+2 x ≥b -ax+ax+2 x ≤b
， ∵函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴必有a ＞0且[0,+∞)是[b,+∞)的子集，即a ＞0，且b ≤0.
五、利用单调性求解反函数问题
此类题型主要考查反函数存在的条件.因为单调函数的定义域与值域一一对应，符合函数存在反函数的充分必要条件，所以，在解题中可通过确定函数的单调性来讨论函数的反函数的存在问题.
例12(2004年北京·文理科)函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是( )
A.a ∈（－∞，1]
B.a ∈[2，+∞）
C.a ∈[1，2]
D.a ∈（－∞，1]∪[2，+∞）
解析：由反函数的定义知，二次函数在R 上不存在反函数，但在其任意综合的单调区间上都有反函数.这里二次函数的对称轴为x=a ，若在区间[1,2]上存在反函数，则充分必要条件是a ≤1或a ≥2，故选D.
例13(2006山东高考)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是
（A ） （B ） （C ） （D ）
解析：易知函数y=1＋a x (0＜a ＜1)是过定点(0，1)的递减函数，又由于原函数与反函数具有相同的单调性，故反函数的图象是过点(2，0)的递减函数，故选A .。