精品解析：四川省宜宾市叙州区第一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3.考试结束，监考人只将答题卡收回。

一．选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.已知全集,，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求集合B的补集，然后与集合A取并集即可.
【详解】，=，，
则，
故选：D
【点睛】本题考查集合的补集与并集运算，属于简单题.
2.若复数，则的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算复数z,然后由共轭复数的定义即可得到答案.
【详解】
则的共轭复数是-1+i,
故选：C
【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，属于简单题.
3.展开式中的常数项为（）
A. 6
B. 8
C. 12
D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】
先写出二项式的通项公式，然后令x的指数为0，即可得到常数项.
【详解】展开式中通项公式＝（﹣2）r C4r x4﹣2r，
当4﹣2r＝0时，展开式为常数，此时r＝2，
展开式的常数项为：T3＝4C42＝24．
故选：D．
【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，注意正确应用公式是解题的关键，考查计算能力．
4.已知实数满足，则的最小值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】由实数x，y满足得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝x﹣，由，解得B（2，0）
当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，
所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；
故选：C．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.
详解：由题设有，
当时，；
当时，，
从而当时，，选C.
点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式. 6.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）
A. 吉利，奇瑞
B. 吉利，传祺
C. 奇瑞，吉利
D. 奇瑞，传祺
【答案】A
【解析】
分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.
详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.
点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.
7.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
8.若在是减函数，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值
详解：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
点睛：函数的性质：
(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由
求增区间;
由求减区间.
9.已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
10.过双曲线的左焦点作圆的切线，此切线与的左支、右支分别交于，两点，则线段的中点到轴的距离为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
因为直线过双曲线左焦点，设直线为，因为与圆相切知，解得，当
时不与双曲线右支相交，故舍去，所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得，所以，即中点的纵坐标为3，所以线段的中点到轴的距离为3，故选B.
11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题可知，又在上单调递减，所以
，得：，故得的取值范围为，故选D．
12.已知函数满足，若函数与图像的交点为
则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两函数的对称中心均为（3，2）可知出x1+x2+x3+…+x m＝3m，y1+y2+y3+…+y m＝2m，从而得出结论．【详解】∵，即，
∴f（x）的图象关于点（3，2）对称，
∵＝也关于点（3，2）对称，
∴x1+x2+x3+…+x m＝，y1+y2+y3+…+y m＝＝2m，
则x1+x2+x3+…+x m+ y1+y2+y3+…+y m＝5m
故选:B．
【点睛】本题考查函数的对称性的性质，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题。

13.已知向量，，若，则_____．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，解得，所以，所以．考点：1、向量平行的充要条件；2、平面向量的模．
14.已知在中，，则的面积为_____．
【答案】
【解析】
试题分析：由正弦定理得：，，因为，所以，即
，所以，即，所以边上的高是，所以的面积是，所以答案应填：．
考点：1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．
【思路点睛】本题主要考查的是正弦定理、三角形的面积公式和两角差的正弦公式，属于容易题，本题利用正弦定理把边转化为角，变形后为角的正弦式，利用勾股定理算三角形的高，代入三角形的面积公式即可．
15.已知离散型随机变量服从正态分布，且，则_____．
【答案】
【解析】
∵随机变量X服从正态分布，
∴μ=2，得对称轴是x=2．
∵
，
∴P（2<ξ<3）==0.468，
∴
P（1＜ξ＜3）=0.468=．
故答案为：
．
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
16.已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
如图所示，
设已知的正八面体，易知平面于球心，
且点为正方形的中心，设球心与正四棱锥的侧面相切于点
连接，则，，
由，得
即正八面体的内切球的半径为
为正八面体表面上的任意一点
则，
即的取值范围是
点睛：本题考查了空间内的向量点乘问题，将其转化为从点出发的向量，利用立体几何知识求出相切时的长度，继而算出取值范围，本题的难点在于向量的转化上，同时也是解题的方法。

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足
．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．【解析】
分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)
；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．18.如图，在中，角，，所对的边分别为，，，，它的面积
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若是边上的一点，，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到边ac的关系，再根据三角形面积公式得到，即可求出正弦值；（2）根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，所以或
，结合第一问，求出最后结果。

(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为
所以
（2）因为，所以，
在中，由正弦定理得，
所以
由余弦定理得，
所以或，
因为是边上的一点，所以，
因为，所以，
所以.
点睛：这个题目考查的是正余弦定理在解三角形中的应用。

在三角形中知道两角一边，构造方程可以考虑
正弦定理，较为简单。

三角形中已知两边和夹角考虑余弦定理较为简单，两边和其中一个对角，考虑正弦定理较为简单。

选择合适的方法对于解决三角形问题是非常重要的。

19.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，
.
（Ⅰ）判断平面与平面是否垂直，并给出证明；
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用反证法证明，假设面PBC⊥面PCD，过点B作BQ⊥PC于Q，由面面垂直的性质可得BQ⊥CD，知BC⊥CD，则CD⊥PC，由平面底面，则CD⊥PD，出现矛盾；（Ⅱ）取AD中点O，连PO，OB，证明OA、OB、OP两两互相垂直，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如空间直角坐标系O﹣xyz，分别求面P AB与面PBC的法向量，由两法向量所成角余弦值可得二面角A﹣PB﹣C余弦值．【详解】（Ⅰ）平面与平面不垂直.证明如下：
假设平面平面，过点作于
∵平面平面，平面平面
∴平面
∴
在直角梯形中，由，知
又∵
∴ 平面，故
∵ 平面底面，平面底面，
∴ 平面∴
在中，不可能有两个直角，所以假设不成立
（Ⅱ）设的中点为，连接，
∵∴
∵ 平面底面，平面底面
∴底面
∵在直角梯形中，，∴
以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系
∵，，
∴，，，
∴，，，
设平面的法向量为
由，取
同理可得平面的法向量
∴.
由图形可知，所求二面角为钝角
∴二面角的余弦值
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
20.如图，椭圆：的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，
为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条直线与椭圆分别交于且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）定点坐标为.
【解析】
分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.
(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设
，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点. 详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.
∵是的中位线，且，
∴，即，整理得.①
又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，
∴，整理得，即，②
联立①②可得，变形得，解得，进而.
∴椭圆的方程式为.
(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.
设直线与轴交于点，直线的方程为，
联立，消去，得，
∴，，
由三点共线，即，
将，代入整理得，
即，从而，化简得，解得，于是直线
的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，
∴直线与的交点是定点，定点坐标为.
点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；
（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.
21.已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）的取值范围为.
【解析】
试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意
，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若
对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则
，当时，，或，，则，∴在
上递增，从而.若，令，当
时，；
当时，.∴综合得出结论即可
解析：（1），
当时，，∴在上单调递增.
当时，，故当或时，在上单调递增.
当时，令，得或；
令，得.
∴在上单调递减，在，上单调递增.
（2）设，则，
当时，，或，，则，
∴在上递增，从而.
此时，在上恒成立.
若，令，当时，；
当时，.
∴，则不合题意.
故的取值范围为.
点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可
22.在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方
程.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.
于是，.
.
由得，.
所以的斜率为或.
【此处有视频，请去附件查看】
23.设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等
式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。