第四章图形的相似专项1相似三角形的常见模型课件北师大版数学九年级上册

( D )
A.∠B = ∠ADE
B.∠C = ∠AED
AC
C.
AE
AC
D.
AE
=
AB
AD
=
BC
DE
第1题图
【解析】 A项，由两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ ABC与
△ ADE相似，A项不符合题意；B项，由两角分别相等的两个三角形相似，
可判定△ ABC与△ ADE相似，B项不符合题意；C项，由两边成比例且夹
（1）某学校“智慧方园”数学
社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ ABC中，点O在线
段BC上，∠BAO = 30∘ ，∠OAC = 75∘ ，AO = 3 3，BO: CO = 1: 3，求
AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD//AC，交AO的延长线于点D，通过
构造△ ABD可以解决问题（如图1）．请你帮助社团求出AB的长．
=
EA
；
ED
证明： ∵ ∠ = ∠，∠ = ∠，
∴△ ∼△ ，∴


=

.

（2）∠DAC = ∠CBD．
解: ∵


=


，∴


=

，

又∵ ∠ = ∠，
∴△ ∼△ ，∴ ∠ = ∠．
7.[2023贵港港北区期中]




∴△ ∼△ ，∴
= ,∴
= ．




类型3 X型及其变形
AB//CD →△ ABO ∼△ DCO
∠B = ∠D或∠A = ∠C →△ ABO ∼△ CDO
6.如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E，且∠ABD = ∠ACD．
求证：
EB
（1）
EC
（1）证明：△ ABD ∼△ CBA.
证明：∵ 是斜边上的高，∴ ∠ = ∘ ，
∵ ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∠，
又∵ ∠为公共角，∴△ ∼△ .
（2）若AB = 6，BC = 10，求BD的长.
解：由（1）知△ ∼△ ，
∴

本项不符合题意；D项，∠C =
不符合题意．
BC
∠C，
AC
=
CD
，可得△
BC
CBD ∼△ CAB，本项
【归纳总结】
判定两个三角形相似的基本思路
（1）若条件中有一等角，则可找另一等角，或找夹等角的两边对应
成比例；（2）若条件中有两边成比例，则找这两条边的夹角相等，或找
第三边成比例.
4.[2023湘潭中考]在Rt △ ABC中，∠BAC = 90∘ ，AD是斜边BC上的高.
∴ = ，∴ ∠ = ∠，
又∵ ∠�� = ∠,∴ ∠ = ∠.
∵ ∠ + ∠ = ∘ ，∠ + ∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∠，∴ ∠ = ∠,
又∵ ∠ = ∠，∴△ ∼△ ，∴


=

.

∵ ∠ = ∠ = ∘ ，∠ = ∠，
∴ CD =
1
BC
3
1
3
= × 12 = 4.
类型2 子母型与双垂直型
∠ACD = ∠B →△ ACD ∼△ ABC
△ ACD ∽△ ABC ∽△ CBD
3.[2023滨州经济开发区第一中学期末]如图，在
△ ABC中，D是AC上一点，连接BD，添加下列
条件中的一个，不能判断△ CBD ∼△ CAB的是
角相等的两个三角形相似，可判定△ ABC与△ ADE相似，C项不符合题意.
2.一题多解[2024贵港覃塘区期中]如图，在Rt △ ABC中，
∠ACB = 90∘ ，AC = 6，BC = 12，点D在边BC上，点E
在线段AD上，EF ⊥ AHale Waihona Puke 于点F，EG ⊥ EF交AB于点G，若
4
EF = EG，则CD的长为___.
∴ = =
．
（2）请参考（1）中思路，解决如下问题：

=


，∴


=

，∴

= . .
5.如图，∠BAC = 90∘ ，AD ⊥ BC于点D，AE = EC，ED的延长线交AB的
AB
延长线于点F.求证：
AC
=
DF
.
AF
证明：∵ ⊥ ，∴ ∠ = ∘ .
∵ = ，∴ 是 △ 斜边的中线，
第2题图
【解析】 解法一如图1，过点D作DM ⊥ BC交AB于点M，
易证DC = DM，设CD = x，则DM = x，由DM//AC，
易得△ BDM ∼△
x = 4.
BD
BCA，所以
BC
=
DM
12−x
，即
AC
12
=
x
，解得
6
解法二如图2，延长FE，交AB于点N，易得
Rt △ ENG ∼ Rt △ CBA，
第四章 图形的相似
专项1 相似三角形的常见模型
过专项 阶段强化专项训练
类型1 A型及其变形
DE//BC →△ ADE ∼△ ABC
∠AED = ∠ABC或
∠ADE = ∠ACB →△ AED ∼△ ABC
1.[2024陕西师大附中期中]如图，添加以下哪个
条件，仍不能直接证明△ ABC与△ ADE相似？
解：∵ //，∴ ∠ = ∠ = ∘ ，
又∵ ∠ = ∠，∴△ ∼△ ，
∴


=


∵ =
=

．

，∴ =
∴ = + =



= ，
．
∵ ∠ = ∘ ，∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∘ − ∠ − ∠ = ∘ = ∠，
∴ EN: EG = CB: CA = 12: 6 = 2: 1,又∵ EF = EG，
∴ EN: EF = 2: 1.由题中条件易得△ AEN ∼△ ADB,
△ AEF ∼△ ADC,∴ EN: BD = AE: AD,
EF: CD = AE: AD，∴ EN: BD = EF: CD，
∴ BD: CD = EN: EF = 2: 1，
( B )
A.∠A = ∠DBC
BD
B.
AB
C.∠BDC = ∠ABC
BC
D.
AC
=
BC
AC
=
CD
BC
【解析】 A项，∠C = ∠C，∠A = ∠DBC，可得△ CBD ∼△ CAB，本项不
符合题意；B项，根据∠C =
BD
∠C，
AB
=
BC
，不能判断△
AC
CBD ∼△ CAB，本
项符合题意；C项，∠C = ∠C，∠BDC = ∠ABC，可得△ CBD ∼△ CAB，