选准好思路,巧解解答题(高中数学)

2 和 tan (2 3) cot 都成立 ? 若存在 , 求出 3 2
, 的值;若不存在.请说明理由.

2
解 : 由 已 知 可 得

3
, 所 以 , tan(

2
)
tan

2
tan 1 tan2tan
3 , 又 由
t a n
故 tan
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解答题专项训练
1. 求函数 y 3 sin x cos x (

3
x

2
)的值域.
1. 解 :整理函数解析式可得 y 2 sin(x 据正弦函数的图像可得

6
) , 因为

3
x

2
, 所以 ,

6
x

6

1 sin( x ) 1 ,故函数的值域为 [1, 2] . 2 6 1 2.已知点点 A(1,2),点 B(-2,6),点 P 在直线 AB 上,且满足 | AP | | AB | ,求点 P 的坐标. 3
3.解: OG 所 以 , ( m) a

1 3

1 1 1 b = [ a ( n)b] , 故 3 3 3
1 m 3 3 ,消去 可得: ( 1 n) 1 3 3
1 1 1 1 1 ( m)( n) ,整理即得 3 . 3 3 9 m n



8 2 ， 5
) 的值. 2 8 解: 由 m (cos ,sin ) ， n ( 2 sin ,cos ) 知：
求 cos(


m n ( 2 cos sin ,cos sin )
∴ mn

8 2 8 2 2 2 即 ( 2 cos sin ) (cos sin ) 5 5

1 m tan . 1 m
证明:由 sin m sin(2 ) 可得 sin[( ) ] m sin[( ) ] 即 sin( ) cos cos( )sin m[sin( ) cos cos( )sin ]

2
4
.

4
,所以 tan

2
1 , tan

2
2 3 , tan 1 .

6
,

点评:本题实际上就是根据要探索是否成立的结论 2 建立了方程组,进而转化为方程的解的问题再求解.
2
2 和 tan (2 3) cot 3 2
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5 3 1 1 , A 2 ,∵ 0 A , 6 A 6 6 sin A 2 cos A 2 1 sin 6 2
4
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m n 1.
(Ⅰ).求角 A ；
1 sin 2 B 3 ，求 tan B cos 2 B sin 2 B 6.解： (Ⅰ).∵ m n 1 ∴ 1, 3 cos A,sin A 1 即 3 sin A cos A 1
(Ⅱ).若
( 2

2
3 ) 可得 c o tan t tan 2 3 ,所以, tan tan 3 3 . 2 2 2



, tan 是一元二次方程 x2 (3 3) x 2 3 0 的两个根.
解得 x1 1 , x2 2 3 .因为 0 故这样的 , 存在,且








4 a b (sin 1,cos 1) (sin 1)2 (cos 1)2
(2).
sin 2 2sin 1 cos 2 2 cos 1 2(sin cos ) 3 2 2 sin(
2



立?若存在,求出对应的 值和点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 : 本题的关键是通过 PN MN 找出 MP 与 PN 关系 ,从而建立关于 的方程. 由
2




, 即 PN (MP PN ) , 整 理 可 得 PN 2 MN ( 0) 可 得 P N M N
点评:本题其实就是把条件代入逐步进行化简 ,把条件划到最简后稍作变形就是我们所要求 的结论.这种题目可以称之为“从条件到结论的直达型问题”. 二、联系巧寻找,沟通妙解题 有时候需要把条件和结论联系起来才能正确解答问题,这就需要正确地找出条件与结论 之间的关系.寻找条件与结论之间的共同点就成为解题的关键. 例 2.已知 sin m sin(2 ) ,求证: tan( )
(11 3 5,
9 5 ). 2
点评: 本题中的 是一个字母给出的分情况就更麻烦了 ,一般也需要进行讨论 ,并且讨论的 情况不容易确定,而直接采用向量的运算使整个运算过程变得简单. 四、巧建方程(组),妙解探索题 有些探索型题目需要从结论出发,根据要探索的结论建立方程(组),再解方程(组)即可 得出要探索的结论. 例 4. 是否存在锐角 , , 使 2
值.

1 1 1 1 2 1 OC (OA OB ) a b , PG OG OP ( m)a b , 3 3 3 3 3 3 1 1 QG OG OQ a ( n)b ,又 PQ 过△ABO 重心 3 3 G,则 PG QG .

或
故 p = ( 2k ,3) (k Z ) . 3
π π 5.已知向量 a ＝(sinθ ,1), b ＝(1,cosθ ),－ ＜θ ＜ ． 2 2
(Ⅰ).若 a ⊥ b ,求 θ ; (Ⅱ).求｜ a ＋ b ｜的最大值. 5.解: (1). a b, a b 0 sin cos 0
整理可得： 25 2(cos sin ) 14 即 cos( 而由 ( , 2 ) 知

4
)

5 9 ( , ) 得 ( ) ( , ) 2 2 2 8 8 8
7 25
cos( ) 1 4 4 cos( ) . ∴ 2 8 2 5
2 2 , 2B 或 ,C B A 或 . 6 3 3 3 3 2 2 2 (2). f ( A, B) sin 2 A cos ( A) 3 sin 2 A cos 2( A) 2 2 2 sin 2 2 A cos2 2 A 3 sin 2 A cos 2 A 2 2 cos(2 A ) 3 . 3
(1 m) sin( ) cos (1 m) cos( )sin
两边同时除以 cos cos( ) 整理即得 tan( )
1 m tan . 1 m
1
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点评:本题若直接展开条件中角关系问题会变得很复杂 ,通过观察我们发现角之间存在某种 关系,于是把条件中的角进行合理的拆分就达到了沟通条件与结论的目的,从而顺利求解. 三、运算巧妙联系,避免分类讨论 有些问题看似需要分类讨论,其实选择合适的办法是可以避免某些分类讨论问题的 .并 且不会丢失正确的解的情况. 例 3. 已知点 M(2,3),N(8,4)在直线 MN 上是否存在点 P,使 MP PN MN ( 0) 成
4.已知 A,B,C 为ABC 的内角, 且 f ( A, B) sin 2 2 A cos2 2B 3sin 2 A cos 2B 2 (1).当 f ( A, B) 取最小值时,求 C;
3
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(2)当 A B

2
时,将函数 f ( A, B) 按向量 p 平移后得到函数 f ( A) 2cos 2 A 求 p .
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选准好思路,巧解解答题
西安翔龙教育 赵先举 710000 解答题不仅需要掌握答题的方法,好要写出详细的解答过程,这就使得解答题比一般的 选择题和填空体都稍微复杂一些.但是,选择好的思路仍然非常重要.好的思路应当是计算灵 活,过程简洁.下面结合具体例子加以说明. 一、化简条件,直达结论 有些题目实际上就是把所给条件进行化简,把条件划到最简答案也就出来了,这类问题 通常是条件较为复杂,而要求的结论较为简单. 例 1. 已知向量 m (cos ,sin ), n ( 2 sin ,cos ), 且 mn （ , 2）
2.解:由于不知道点 P 的具体位置,需要分情况讨论: (1).当 AP
2 ,根 3
1 1 1 1 AB 时,可得 AP ( AP BP ) AP BP ,即 P 分线段 AB 的比为 . 3 3 2 2 1 1 1 (2) 2 6 10 10 2 2 故点 P 的横坐标 x 0 ,纵坐标为 y ,即点 P (0, ) ; 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 (2).当 AP AB 时,可得 AP ( AP BP ) AP BP ,即 P 分线段 AB 的比 3 3 4 1 2 为 .同理点 P(2, ) . 4 3 1 1 3.如图所示,PQ 过△ABO 的重心 G, OA a , OB b , Op ma , OQ nb ,试求: 的 m n
1 1 1 MP ,于是 , PN ,这说明,P 分 MN 的比既可表示为 ,也可表示为



解之可得
5 1 5 1 9 5 或 , 代 入 公 式 可求 点 P 坐 标 为 (11 3 5, )或 2 2 2
2
4.解:(1). f ( A, B) (sin 2 A 3 sin 2 A ) (cos 2 B cos 2 B ) 1
2
3 4
1 4
(sin 2 A
∴A
1 3 2 1 3 , sin 2 B 时取得最小值, ) (sin 2 B ) 2 1 ,当 sin 2 A 2 2 2 2
当 sin(

4
)3

) =1 时, a b 有最大值,此时 最大值为 2 2 3 2 1 . 4 4,

1, 6. 已 知 A, B, C 是 三 角 形 ABC 三 内 角 , 向 量 m

3 , n c o A s , sA i n， 且