北京市日坛中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

北京市日坛中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．经过()()2,0,5,3A B --两点的直线的斜率是（ ） A ．1 B ．1-
C ．±1
D ．32
-
2．已知向量()2,3,1a =--，()2,0,4b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（ ） A ．a c ⊥，b c ⊥ B ．//a b ，a c ⊥
C ．//a c ，a b ⊥
D ．以上都不对
【答案】C
【解析】根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解. 【详解】()()2,3,12,0,4440a b ⋅=--⋅=-+=，所以a b ⊥，
()2,3,1a =--，()4,6,2c =--，2c a =，所以//a c ，
()()2,0,44,6,2=880b c ⋅==⋅---+=，所以b c ⊥，
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的平行和垂直的判断，考查了向量的数量积和平行向量数量关系的应用，属于基础题.
3．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．4 B ．-4
C ．1
D ．-1
【答案】A
【分析】根据两直线垂直的充要条件知：32(6)0a +⨯-=，即可求a 的值. 【详解】由两直线垂直，可知：32(6)0a +⨯-=，即4a =. 故选：A
4．直线2y x =-与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
5．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝49和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切
C ．内含
D ．相交
【答案】D
【分析】根据两圆圆心之间的距离大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，那么两圆相交.
【详解】圆C 1：x 2＋y 2＝49，圆心为(0,0) ，半径17r = ， 圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，圆心为(3,4) ，半径24r = ， 两圆圆心之间距离为5，74547-<<+ ，故两圆相交， 故选：D
6．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）
A ．a b c -+-
B ．a b c -+
C ．11
22
a b c -+
D ．1122
a b c ---
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则，数形结合，即可得答案.
【详解】由题意得：()
111222
BD BO OD OB OA OC a b c =+=-++=-
+. 7．已知双曲线()22
221,0x y a b a b
-=>的一条渐近线方程为y ，它的一个焦点坐标为
()2,0，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
126
x y -=
B ．22
162
x y -=
C ．2
213
y x -=
D ．2
2
13
x y -=
8．离心率为12e =与椭圆22
1104
x y +=共焦点的椭圆方程为（ ）
A ．22
1126x y +=
B ．22
12418x y +=
C ．22
12412x y +=
D ．22
1129
x y +=
9．已知坐标原点到直线l 的距离为2，且直线l 与圆22(3)(4)49x y -+-=相切，则满足条件的直线l 有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
10．唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221
x y
+≤，若将军从()
2,0
A出发，河岸线所在直线方程40
x y
+-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A B．1C．D1
二、填空题
11．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值为_____. 【答案】2
【解析】根据两直线平行可得出关于实数a 满足的等式与不等式，由此可解得实数a 的值.
【详解】由于直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则24
2a a ⎧=⎨≠-⎩，解得2a =.
故答案为：2.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数值，考查计算能力，属于基础题. 12．已知向量(0,2,1)a =，(1,1,2)b =--，则a 与b 的数量积为______. 【答案】0
【分析】根据向量数量积的坐标运算直接求结果. 【详解】()()0121120a b ⋅=⨯-+⨯+⨯-=. 故答案为：0.
【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题型.
13．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点.设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为__________． 则(,MC x y =的一个法向量为()1,0,0m =据此有：sin MC m MC m
⋅⨯ 2x =
+
三、双空题
14．双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是______________；离心率是________.
15．已知圆2
2
:1
2
4C x y 与直线:(1),l y k x =+则圆心C 的坐标为_______，若
圆C 关于直线l 对称，则k =_____. 【答案】 ()1,2 1
【解析】由圆的标准方程直接定点圆心坐标，根据圆C 关于直线l 对称，由圆心在直线上求解.
【详解】因为圆2
2
:1
2
4C x y ，
所以求圆心坐标为：()1,2； 因为圆C 关于直线l 对称， 所以圆心在直线上，即2(11)k =+， 解得k =1
故答案为：()1,2；1
四、解答题
16．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；
（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求①ABC 的面积．
17．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.
(1)求证：1BC ∥平面1AED ； (2)求点1A 到平面1AED 的距离； (3)直线1AA 与平面AED 所成角的正弦值.
则()()(110,0,2,2,0,2,0,2,1AA AD AE ===设平面1AED 的一个法向量为(),,n x y z =100
AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z =
=，令，即(2,1,2n =-则点1A 到平面AED 14
3
AA n n
⋅=
；因为()2,0,0D ，所以()2,0,0AD =, 设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =，
00
AD m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1112020x y z =+=，令，即(0,1,m =-设直线1AA 与平面AED 所成角为θ，1114sin cos ,2AA m AA m AA m
θ⋅=<>=
=
⨯⋅与平面AED 所成角的正弦值为
5
18．已知两条直线1:10l ax y a +++=，()2:2130l x a y +-+=． （1）求证：直线1l 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若1l ，2l 不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A ，B ，求AB ； （3）若0a =，直线l 与2l 垂直，且________，求直线l 的方程．
从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满兄条件的直线l 有且仅有一条，并作答．
条件①：直线l 过坐标原点；
条件①：坐标原点到直线l 的距离为1； 条件①：直线l 与1l 交点的横坐标为2．
1
2l ，
()(1232a a a -=⨯≠⨯1-．
0=即：x
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点()1,0P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B 若ABO 的面积为35
（O 为坐标原点），求直线l 的方程．
因为ABO的面积为
23
m
=+≥
6
=±.
故直线的方程为
20．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，,
M N分别是,
PC AB的中点，且2
PA AB AD
== (1)求证：MN CD
⊥；
(2)平面PAB和平面MAB所成角的余弦值；
(3)在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点G的位置.
为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明0
MN CD
⋅=即可；
的法向量，利用向量关系可求出；
）设(0
AG AD
λλ
=>
PB GM
BC GM
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
即可求出
由题可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设
()()
1
1,,1,1,0,0,0,1,0
2
N C D
⎫
⎪
⎭
，
所以(
10,,1,2,0,02MN CD ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
因为0MN CD ⋅=，所以MN CD ⊥，即MN 易得平面PAB 的一个法向量为(0,1,0AD =()(10,0,0,2,0,0,1,,12A B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()12,0,0,1,2AB AM ⎛== ⎝的一个法向量为(),,n x y z =，00AB n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02
y z +=⎪⎩2y =，则0,1x z ==-，即(0,2,1n =-2cos ,1AD n
AD n AD n ⋅<>==⨯⋅由图可得平面PAB 和平面MAB 所成角为锐角，所以平面PAB 和平面MAB 所成角的余弦值为
满足()0AG AD λλ=>，所以11,2GM ⎛= ⎝()(2,0,0,2,1,0B C ，所以()(2,0,2,0,1,0PB BC =-=PBC ，则00PB GM BC GM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220102
λ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12λ=，平面PBC ，此时G 在AD 中点.
21．如图，椭圆2
2
:14y x Γ+=短轴左、右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴，y 轴分别交于点,E F ，与椭圆交于两点,C D .
（1）若CE FD =，求直线l 的方程；
（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 的值.
，CE FD =，故||224441m m -=+，设2=，代入数据计算得到答案),y ，(,D x y CE FD =，故||即2
28141
m m =+，（2）12y y +=。